Network Time Series Models for Multivariate Volatility Forecasting

기술 요약: 다변량 변동성 예측을 위한 네트워크 시계열 모델

문제 정의
실현 변동성(Realized Volatility, RV)을 정확하게 예측하는 것은 금융 리스크 관리 및 의사결정에 있어 매우 중요하다. HAR(Heterogeneous Autoregressive) 모델은 그 간결성과 일간, 주간, 월간 변동성 성분을 포착하는 능력 덕분에 단변량 RV 예측의 표준 벤치마크로 자리 잡았으나, 이를 다변량 환경으로 확장하는 데에는 어려움이 따른다. 전통적인 다변량 접근 방식인 VHAR(Vector HAR) 모델은 자산 수가 증가함에 따라 과잉 매개변수화(overparameterization) 문제로 인해 추정의 불안정성을 겪는 경우가 많다. 또한, 기존의 다변량 모델들은 자산 간의 교차 섹션 스필오버(cross-sectional spillovers) 및 네트워크 의존성에 관한 사전 정보를 간결한 방식으로 명시적으로 통합하지 못하는 경우가 빈번하다. 그래프 기반 방법론이 실현 공분산 행렬(HAR-DRD)에는 적용되어 왔으나, 실현 분산 벡터 프로세스에 직접 적용하는 연구는 아직 미진한 상태이다.

방법론
저자들은 HAR 모델의 계층적 다중 시계(multi-horizon) 구조와 일반화된 네트워크 자기회귀(GNAR) 프로세스를 결합한 GNHAR(Generalised Network Heterogeneous Autoregressive) 모델을 제안한다.

1. 모델 사양:

   • GNHAR 모델은 자기회귀 항과 네트워크 기반의 시차 항을 결합하여 로그 변환된 실현 분산 벡터 $X_t$를 예측한다.
   • 이 모델은 노드가 자산을 나타내고 에지가 스필오버 효과를 나타내는 그래프 $G = (V, E)$를 활용한다.
   • 모델은 일간, 주간, 월간 집계 성분($X^{(d)}, X^{(w)}, X^{(m)}$)을 포함하며, 가중 인접 행렬 $W^{(r)}$을 통해 특정 단계까지의 네트워크 의존성($s^{(d)}, s^{(w)}, s^{(m)}$)을 허용한다.
   • 두 가지 매개변수화 전략이 사용된다: individual-$\alpha$(노드별 자기회기 계수)와 global-$\alpha$(노드 간 공통 계수)이며, 후자는 상당한 매개변수 간결성($O(pN^2)$인 표준 VAR 대비 $O(p + \sum s_l)$)을 제공한다.

2. 확장:

   • 점프-연속 분해(JC-GNHAR): 이 프레임워크는 Andersen 등(2007)의 접근 방식을 따라 RV의 연속 경로와 점프 성분을 별도로 모델링하도록 확장된다. 이를 통해 연속적인 정보 흐름에 의한 변동성 스필오버와 급격한 가격 점프에 의한 스필오버를 분리할 수 있다.
   • 외생 변수(GNHARX): GNHARX 프레임워크를 통해 노드별 외생 프로세스, 특히 옵션 내재 변동성(IV)을 포함하도록 일반화하여 선행적인 시장 기대치를 통합할 수 있다.

3. 네트워크 구축:

   • 본 연구는 네 가지 유형의 네트워크 구조를 평가한다:
     • 완전 연결(Fully Connected): 균일한 상호 의존성을 가정한다.
     • 그랜저 인과성(Granger Causal, GC): Benjamini–Hochberg 또는 Bonferroni 보정을 거친 그랜저 인과성 검정을 통해 추론된 유향 그래프이다.
     • 연결성 지수(Connectedness Index, CI): 직접적 및 간접적 충격 전파를 포착하는 Diebold-Yilmaz 연결성 지수로부터 도출된 유향 및 가중 그래프이다.
   • 네트워크는 시변 의존성을 포착하기 위해 이동 창(rolling windows)을 사용하여 동적으로 구축된다.

4. 실험 설계:

   • 데이터: 2013년 8월부터 2022년 1월까지의 글로벌 10개 주식 시장 지수(미국, 유럽, 아시아, 인도)에 대한 5분 단위 실현 분산 데이터.
   • 평가: $h = 1, 5, 10, 22, 44$의 예측 지평(horizon)에 대해 외표본(out-of-sample) 예측을 생성하기 위해 1000일의 이동 창 방식을 사용한다.
   • 지표: 성능은 평균 절대 예측 오차(MAFE)와 평균 제곱 예측 오차(MSFE)를 통해 평가된다. 통계적 유의성은 모델 신뢰 집합(MCS) 및 Diebold-Mariano(DM) 테스트를 통해 검증된다.

주요 결과

• 예측 성능: GNHAR 모델은 모든 예측 지평과 네트워크 구조에서 단변량 HAR 벤치마크를 일관되게 능가한다. 성능 격차는 예측 지평이 길어질수록 커지며, 가장 우수한 네트워크 모델은 벤치마크 대비 $h=44$에서 MAFE를 최대 40%까지 감소시킨다.
• 최적 구성:
  • Global-$\alpha$ vs. Individual-$\alpha$: Global-$\alpha$ 사양이 Individual-$\alpha$ 사양보다 성능이 현저히 우수하며, 후자는 종종 불안정하여 모델 신뢰 집합에서 제외된다.
  • 네트워크 선택: CI22(지평 22에서의 연결성 지수) 네트워크를 기반으로 한 모델이 일반적으로 가장 낮은 오차를 보인다. 이는 더 긴 지평의 연결성 측도가 일간 노이즈를 더 잘 필터링하고 지속적인 체계적 관계를 포착함을 시사한다.
  • 네트워크 차수(Order): (일간 및 월간 네트워크 의존성을 포함하는) 차수 $(1, 0, 1)$이 단기 예측에서 특히 우수한 결과를 자주 보여준다.
• 점프-연속 분해:
  • JC-GNHAR 모델은 가중 네트워크(CI1, CI22)와 결합될 때 벤치마크를 크게 개선하며, $h=1$에서 최대 38%의 MAFE 감소를 달성한다.
  • 그러나 잘못 설정된 구성(예: individual-$\alpha$) 하에서는 표준 GNHAR이 더 견고하다. DM 테스트 결과, 최적의 설정(예: CI22 상의 global-$\alpha$)에서는 JC-GNHAR이 GNHAR을 능가할 수 있지만, 일반적인 설정에서는 표준 GNHAR이 더 안정적임을 보여준다.
• 외생 변수: GNHARX 프레임워크를 통한 옵션 내재 변동성(IV)의 포함 여부를 탐색한다. 연구 결과, global-$\lambda$ 사양이 individual-$\lambda$ 사양보다 우수하며, 외생 변수의 고차 시차(higher-order lags)는 수치적 불안정성을 초래하는 것으로 나타났다.

의의 및 주장
본 논문은 유향 그래프를 통해 교차 섹션 스필오버를 명시적으로 포함하는 간결한 다변량 시계열 사양을 제공한다고 주장한다. 과잉 매개변수화된 벡터 자기회귀 모델과 달리, GNHAR 접근 방식은 간결한 매개변수 세트를 통해 시장 간 의존성의 강화 또는 약화를 추적할 수 있으며, 이는 시장 안정성에 대한 시변적 정량 평가를 제공한다.

저자들은 세 가지 주요 기여를 강조한다:

1. 직접적인 벡터 모델링: 단순히 공분산 행렬뿐만 아니라 실현 분산 프로세스의 벡터에 직접 네트워크 시계열 프레임워크를 적용하였다.
2. 새로운 분석: 점프-연속 분해와 그래프 구성 간의 상호작용을 조사하고, 노드별 옵션 내재 변동성을 외생 프로세스로 검토하였다.
3. 해석 가능성: 추정된 계수가 개별 주식의 역학 및 그 상호작용의 크기를 파악하는 통찰을 제공하며, 평온한 시기와 금융 위기(예: COVID-19 발생) 기간 모두에서 계층적 HAR 성분의 역할을 명확히 한다.

본 연구는 네트워크 기반 선형 모델이 기초적인 HAR 프레임워크보다 자산 간 연결성을 더 효과적으로 설명할 뿐만 아니라, 비선형 그래프 신경망에서 흔히 발생하는 과적합 문제를 피하면서도 해석 가능성을 유지한다고 결론짓는다.