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Network Time Series Models for Multivariate Volatility Forecasting

यह शोध पत्र जनरललाइज्ड नेटवर्क HAR (GNHAR) मॉडल प्रस्तुत करता है, जो क्रॉस-सेक्शनल स्पिलओवर के एक निर्देशित ग्राफ का लाभ उठाकर मल्टीवेरिएट रियलाइज्ड वोलैटिलिटी के पूर्वानुमान के लिए एक संक्षिप्त और सटीक ढांचा प्रदान करता है, जो विभिन्न मार्केट रेजीमों में मानक बेंचमार्क से बेहतर प्रदर्शन करने के साथ-साथ बाजार की स्थिरता का एक समय-परिवर्तनीय मूल्यांकन भी प्रदान करता है।

मूल लेखक: Chiara Boetti, Matthew A. Nunes

प्रकाशित 2026-06-03

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Chiara Boetti, Matthew A. Nunes

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

एक बड़ी तस्वीर: शेयर बाजार के "मौसम" की भविष्यवाणी करना

कल्पना कीजिए कि आप मौसम की भविष्यवाणी करने की कोशिश कर रहे हैं। आप जानते हैं कि कल का मौसम आज के मौसम पर निर्भर करता है, लेकिन यह पिछले सप्ताह और पिछले महीने में क्या हुआ था, उस पर भी निर्भर करता है। इसके अलावा, एक शहर में आया तूफान अक्सर पड़ोसी शहर के मौसम को भी प्रभावित करता है।

वित्तीय दुनिया में, अस्थिरता (volatility) एक स्टॉक के "मौसम" की तरह है। यह इस बात का माप है कि किसी स्टॉक की कीमत कितनी तेजी से ऊपर-नीचे हो रही है। निवेशकों के लिए जोखिम प्रबंधन करने हेतु इस अस्थिरता की भविष्यवाणी करना अत्यंत महत्वपूर्ण है।

यह शोध पत्र दस अलग-अलग शेयरों (जैसे S&P 500, डाउ जोन्स, और यूरोप एवं एशिया के बाजार) के लिए इस वित्तीय "मौसम" की भविष्यवाणी करने का एक नया तरीका प्रस्तावित करता है। लेखक इस नई पद्धति को GNHAR (Generalised Network Heterogeneous Autoregressive) कहते हैं।

पुराने तरीकों के साथ समस्या

पारंपरिक रूप से, पूर्वानुमान लगाने वाले प्रत्येक स्टॉक को अलग-थलग देखते थे, जैसे बोस्टन की परवाह किए बिना केवल न्यूयॉर्क के मौसम की रिपोर्ट देखना। वे HAR (Heterogeneous Autoregressive) नामक एक मानक मॉडल का उपयोग करते थे। यह मॉडल स्मार्ट है क्योंकि यह तीन समय पैमानों (time scales) को देखता है:

दैनिक (Daily): कल क्या हुआ था?
साप्ताहिक (Weekly): पिछले सप्ताह में क्या हुआ था?
मासिक (Monthly): पिछले महीने में क्या हुआ था?

हालाँकि, शेयर बाजार एक जुड़ा हुआ तंत्र है। जब अमेरिकी बाजार में घबराहट होती है, तो यह अक्सर यूरोपीय बाजार को भी डरा देती है। पुराने मॉडल अक्सर इन संबंधों को अनदेखा कर देते थे या उन्हें इस तरह से मॉडल करने की कोशिश करते थे जो बहुत जटिल और त्रुटियों के प्रति संवेदनशील था (जैसे भीड़ भरे कमरे में हर व्यक्ति के बीच होने वाली हर एक बातचीत को याद रखने की कोशिश करना)।

समाधान: शेयरों का "सोशल नेटवर्क"

लेखक शेयर बाजार को एक सोशल नेटवर्क की तरह मानने का सुझाव देते हैं।

नोड्स (लोग): प्रत्येक स्टॉक नेटवर्क में एक व्यक्ति की तरह है।
एजेस (दोस्ती): उनके बीच के संबंध यह दर्शाते हैं कि एक स्टॉक की अस्थिरता दूसरे स्टॉक में कितनी "स्पिलओवर" (प्रभाव डालती) होती है।

उन्होंने एक मानचित्र (ग्राफ) बनाया जो दिखाता है कि कौन किसको प्रभावित करता है। उन्होंने इन मानचित्रों को दो तरीकों से बनाया:

"ग्रेंजर" (Granger) मानचित्र: इस आधार पर कि क्या स्टॉक A की पिछली हलचलें स्टॉक B की भविष्य की हलचलों की भविष्यवाणी करती हैं।
"कनेक्टेडनेस" (Connectedness) मानचित्र: इस आधार पर कि स्टॉक A में आया एक झटका (shock) स्टॉक B की अनिश्चितता में कितना योगदान देता है।

इस "दोस्ती के मानचित्र" को अपने मॉडल में फीड करके, GNHAR मॉडल यह कह सकता है: "स्टॉक A आज अस्थिर होने वाला है, और चूंकि स्टॉक B एक करीबी 'दोस्त' है (नेटवर्क के माध्यम से जुड़ा हुआ है), इसलिए स्टॉक B के भी घबराहट महसूस करने की संभावना है।"

नए मॉडल के मुख्य घटक

यह शोध पत्र एक सुपर-सटीक पूर्वानुमान बनाने के लिए तीन मुख्य विचारों को मिलाता है:

1. समय की परतें (दैनिक, साप्ताहिक, मासिक)
पुराने HAR मॉडल की तरह, GNHAR अल्पकालिक, मध्यम अवधि और दीर्घकालिक रुझानों को देखता है। यह केवल कल को नहीं देखता; यह पिछले एक महीने के बाजार के "मिजाज" को भी देखता है।

2. "जंप" बनाम "स्मूथ" राइड
शेयरों की कीमतें दो तरह से चलती हैं:

स्मूथ (Smooth): धीमी, निरंतर गति (जैसे हाईवे पर कार चलाना)।
जंपी (Jumpy): बड़ी खबरों के कारण अचानक आने वाले तेज उछाल (जैसे कार का गड्ढे से टकराना)।
लेखकों ने पाया कि इन दोनों प्रकार की गतिविधियों को अलग करने से मॉडल को यह समझने में मदद मिलती है कि अस्थिरता क्यों हो रही है। यदि कोई स्टॉक "जंप" कर रहा है, तो वह किसी विशिष्ट संकट के प्रति प्रतिक्रिया दे रहा होगा। यदि वह "स्मूथ" है, तो वह केवल सामान्य बाजार शोर है। उनका मॉडल दोनों को ट्रैक कर सकता है।

3. "क्रिस्टल बॉल" (ऑप्शन-इम्प्लाइड वेरिएंस)
मॉडल "ऑप्शन-इम्प्लाइड वेरिएंस" का भी उपयोग करने की कोशिश करता है। इसे बाजार का अपना "क्रिस्टल बॉल" समझें। यह बीमा अनुबंधों (ऑप्शंस) की कीमतों से प्राप्त एक संख्या है जो बताती है कि ट्रेडर्स भविष्य में अस्थिरता की क्या अपेक्षा करते हैं। लेखकों ने यह देखने के लिए कि क्या यह पूर्वानुमान में मदद करता है, इसे एक अतिरिक्त सामग्री के रूप में जोड़ा।

उन्होंने क्या पाया? (परिणाम)

लेखकों ने शांत समय और अराजक समय (जैसे 2020 की महामारी का संकट) दोनों के दौरान दस प्रमुख शेयर सूचकांकों पर अपने मॉडल का परीक्षण किया। यहाँ उनकी खोजें दी गई हैं:

कनेक्शन मायने रखते हैं: जिस मॉडल ने "सोशल नेटवर्क" मानचित्र का उपयोग किया (GNHAR), वह उन पुराने मॉडलों की तुलना में अस्थिरता की भविष्यवाणी करने में बहुत बेहतर था जो शेयरों को एक-एक करके देखते थे। यह एक ऐसे मौसम पूर्वानुमान की तरह था जिसे पता था कि पड़ोसी शहरों में तूफान आ रहा है।
सादगी की जीत: उनके मॉडल का सबसे सटीक संस्करण आश्चर्यजनक रूप से सरल था। इसे हर शेयर के बीच के हर संबंध को ट्रैक करने की आवश्यकता नहीं थी। यह तब सबसे अच्छा काम करता था जब इसने सबसे महत्वपूर्ण संबंधों पर ध्यान केंद्रित किया और एक "ग्लोबल" नियम (सभी के लिए नियमों का एक सेट) का उपयोग किया, न कि प्रत्येक स्टॉक के लिए एक अद्वितीय नियम का।
दीर्घकालिक बनाम अल्पकालिक:
- अल्पकालिक भविष्यवाणियों (कल के लिए) के लिए, बाजार के "स्मूथ" और "जंपी" हिस्सों को अलग करने से सबसे अधिक मदद मिली।
- दीर्घकालिक भविष्यवाणियों (एक या दो महीने के लिए) के लिए, वह मॉडल विजेता रहा जिसने नेटवर्क में "मासिक" संबंधों को देखा।
संकट का समय: मॉडल ने 2020 के बाजार क्रैश के दौरान बहुत अच्छा प्रदर्शन किया। जबकि अन्य मॉडल अचानक आई अराजकता से भ्रमित हो गए, नेटवर्क मॉडल समझ गया कि जब सिस्टम का एक हिस्सा घबराता है, तो पूरा सिस्टम भी संभवतः उसी दिशा में जाएगा।

निष्कर्ष

यह शोध पत्र तर्क देता है कि शेयर बाजार कितना "तूफानी" होगा, इसकी भविष्यवाणी करने के लिए आपको केवल व्यक्तिगत शेयरों को ही नहीं देखना चाहिए। आपको उनके बीच के संबंधों के नेटवर्क को देखना चाहिए।

एक "सोशल नेटवर्क" मानचित्र को दैनिक, साप्ताहिक और मासिक रुझानों के स्मार्ट अवलोकन के साथ जोड़कर, लेखों ने एक ऐसा उपकरण बनाया है जो पिछले तरीकों की तुलना में अधिक सटीक, अधिक स्थिर और समझने में आसान है। यह आपके पिछवाड़े के मौसम को देखने वाले पूर्वानुमान से पूरे महाद्वीप के मौसम पैटर्न को देखने वाले पूर्वानुमान में अपग्रेड करने जैसा है।

तकनीकी सारांश: बहुचर अस्थिरता पूर्वानुमान के लिए नेटवर्क टाइम सीरीज़ मॉडल

समस्या विवरण
रियलाइज्ड वोलेटिलिटी (RV) का सटीक पूर्वानुमान वित्तीय जोखिम प्रबंधन और निर्णय लेने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। जबकि हेटेरोजीनियस ऑटोरेग्रेसिव (HAR) मॉडल अपनी सरलता और दैनिक, साप्ताहिक और मासिक अस्थिरता घटकों को पकड़ने की क्षमता के कारण यूनिवैरिएट RV पूर्वानुमान के लिए एक मानक बेंचमार्क बन गया है, इस ढांचे को मल्टीवेरिएट (बहुचर) परिवेश में विस्तारित करना चुनौतियां प्रस्तुत करता है। पारंपरिक मल्टीवेरिएट दृष्टिकोण, जैसे कि वेक्टर HAR (VHAR) मॉडल, अक्सर ओवरपैरामीट्राइजेशन (अत्यधिक पैरामीटराइजेशन) से ग्रस्त होते हैं जब संपत्तियों की संख्या बढ़ती है, जिससे अनुमान लगाने में अस्थिरता आती है। इसके अलावा, मौजूदा मल्टीवेरिएट मॉडल अक्सर संपत्तियों के बीच क्रॉस-सेक्शनल स्पिलओवर और नेटवर्क निर्भरता के संबंध में पूर्व जानकारी को संक्षिप्त रूप में स्पष्ट रूप से शामिल करने में विफल रहते हैं। हालांकि ग्राफ-आधारित विधियों को रियलाइज्ड कोवेरिएंस मैट्रिसेस (HAR-DRD) पर लागू किया गया है, लेकिन रियलाइज्ड वेरिएंस वेक्टर्स के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग को अभी भी कम खोजा गया है।

कार्यप्रणाली
लेखक जनरलाइज्ड नेटवर्क हेटेरोजीनियस ऑटोरेग्रेसिव (GNHAR) मॉडल प्रस्तावित करते हैं, जो HAR मॉडल की पदानुक्रमित मल्टी-होरिज़न संरचना को जनरलाइज्ड नेटवर्क ऑटोरेग्रेसिव (GNAR) प्रक्रियाओं के साथ एकीकृत करता है।

मॉडल विनिर्देश (Model Specification):
- GNHAR मॉडल लॉग-ट्रांसफॉर्म किए गए रियलाइज्ड वेरिएंस, $X_t$ के एक वेक्टर का पूर्वानुमान लगाता है, जो ऑटोरेग्रेसिव टर्म्स को नेटवर्क-आधारित लैग्ड टर्म्स के साथ जोड़ता है।
- यह एक ग्राफ $G = (V, E)$ का उपयोग करता है जहाँ नोड्स संपत्तियों का प्रतिनिधित्व करते हैं और किनारे (edges) स्पिलओवर प्रभावों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
- यह दैनिक, साप्ताहिक और मासिक संचित घटकों ( $X^{(d)}, X^{(w)}, X^{(m)}$ ) को शामिल करता है और विशिष्ट चरणों तक नेटवर्क निर्भरता ( $s^{(d)}, s^{(w)}, s^{(m)}$ ) को वेटेड एडजेसेंसी मैट्रिसेस $W^{(r)}$ के माध्यम से अनुमति देता है।
- दो पैरामीटराइजेशन रणनीतियों का उपयोग किया जाता है: इंडिविजुअल- $\alpha$ (नोड-विशिष्ट ऑटोरेग्रेसिव गुणांक) और ग्लोबल- $\alpha$ (नोड्स में सामान्य गुणांक), जिसमें बाद वाला महत्वपूर्ण पैरामीटर सरलता ( $O(p + \sum s_l)$ बनाम मानक VAR के लिए $O(pN^2)$ ) प्रदान करता है।
विस्तार (Extensions):
- जंप-कंटीन्यूअस डिकंपोजिशन (JC-GNHAR): फ्रेमवर्क को RV के निरंतर पथ (continuous path) और जंप घटकों को अलग से मॉडल करने के लिए विस्तारित किया गया है, जो एंडरसन एट अल. (2007) के दृष्टिकोण का अनुसरण करता है। यह निरंतर सूचना प्रवाह बनाम अचानक मूल्य उछाल (price jumps) द्वारा संचालित अस्थिरता स्पिलओवर के बीच अंतर करने की अनुमति देता है।
- एक्सोजेनस वेरिएबल्स (GNHARX): मॉडल को नोड-विशिष्ट एक्सोजेनस प्रक्रियाओं, विशेष रूप से ऑप्शन-इम्प्लाइड वेरिएंस (IV) को शामिल करने के लिए सामान्यीकृत किया गया है, जिससे भविष्योन्मुखी बाजार अपेक्षाओं के एकीकरण की अनुमति मिलती है।
नेटवर्क निर्माण:
- अध्ययन चार प्रकार की नेटवर्क संरचनाओं का मूल्यांकन करता है:
  - फुल्ली कनेक्टेड (Fully Connected): समान अन्योन्याश्रयता (interdependence) मानता है।
  - ग्रेंजर कॉज़ल (Granger Causal - GC): ग्रेंजर कॉज़लिटी टेस्ट (बेन्जामिनी-होचबर्ग या बोनफेरोनी सुधारों के साथ) से प्राप्त निर्देशित ग्राफ।
  - कनेक्टेडनेस इंडेक्स (Connectedness Index - CI): डिबोल्ड-यिलमाज़ कनेक्टेडनेस इंडेक्स से प्राप्त निर्देशित और भारित ग्राफ, जो प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष शॉक प्रसार को कैप्चर करता है।
- नेटवर्क्स को समय-परिवर्तनीय निर्भरताओं को कैप्चर करने के लिए रोलिंग विंडोज़ का उपयोग करके गतिशील रूप से बनाया गया है।
प्रायोगिक डिजाइन:
- डेटा: अगस्त 2013 से जनवरी 2022 तक 10 वैश्विक स्टॉक मार्केट इंडेक्स (US, EU, Asia, India) के लिए 5-मिनट का रियलाइज्ड वेरिएंस डेटा।
- मूल्यांकन: आउट-ऑफ-सैंपल पूर्वानुमानों को हॉरिजन $h = 1, 5, 10, 22, 44$ पर उत्पन्न करने के लिए 1000 दिनों के रोलिंग विंडो दृष्टिकोण का उपयोग किया जाता है।
- मेट्रिक्स: प्रदर्शन का आकलन मीन एब्सोल्यूट फोरकास्ट एरर (MAFE) और मीन स्क्वेर्ड फोरकास्ट एरर (MSFE) के माध्यम से किया जाता है। सांख्यिकीय महत्व का परीक्षण मॉडल कॉन्फिडेंस सेट (MCS) और डिबोल्ड-मारियानो (DM) परीक्षणों के माध्यम से किया जाता है।

प्रमुख परिणाम

पूर्वानुमान प्रदर्शन: GNHAR मॉडल सभी हॉरिजन और नेटवर्क संरचनाओं में यूनिवैरिएट HAR बेंचमार्क की तुलना में लगातार बेहतर प्रदर्शन करते हैं। प्रदर्शन का अंतर जैसे-जैसे पूर्वानुमान हॉरिजन बढ़ता है, व्यापक होता जाता है, जहाँ सर्वश्रेष्ठ नेटवर्क मॉडल बेंचमार्क की तुलना में $h=44$ पर MAFE में 40% तक की कमी दिखाते हैं।
इष्टतम विन्यास (Optimal Configuration):
- ग्लोबल- $\alpha$ बनाम इंडिविजुअल- $\alpha$ : ग्लोबल- $\alpha$ विनिर्देश इंडिविजुअल- $\alpha$ की तुलना में काफी बेहतर प्रदर्शन करता है, जो अक्सर अस्थिर होता है और मॉडल कॉन्फिडेंस सेट से बाहर रखा जाता है।
- नेटवर्क चयन: CI22 (हॉरिजन 22 पर कनेक्टेडनेस इंडेक्स) नेटवर्क पर आधारित मॉडल आम तौर पर सबसे कम त्रुटियां देते हैं। यह सुझाव देता है कि लंबे-हॉरिजन वाले कनेक्टेडनेस उपाय दैनिक शोर (noise) को बेहतर तरीके से फ़िल्टर करते हैं और निरंतर प्रणालीगत संबंधों को कैप्चर करते हैं।
- नेटवर्क ऑर्डर: ऑर्डर $(1, 0, 1)$ (दैनिक और मासिक नेटवर्क निर्भरता को शामिल करना) विशेष रूप से अल्पकालिक पूर्वानुमानों के लिए सबसे अच्छे परिणाम देता है।
जंप-कंटीन्यूअस डिकंपोजिशन:
- JC-GNHAR मॉडल, भारित नेटवर्क्स (CI1, CI22) के साथ जुड़ने पर बेंचमार्क में महत्वपूर्ण सुधार करता है, जो $h=1$ पर MAFE में 38% तक की कमी लाता है।
- हालांकि, मिसस्पेसिफाइड कॉन्फ़िगरेशन (जैसे, इंडिविजुअल- $\alpha$ ) के तहत, मानक GNHAR अधिक मजबूत (robust) है। DM परीक्षण संकेत देते हैं कि जबकि JC-GNHAR इष्टतम सेटिंग्स (जैसे, CI22 पर ग्लोबल- $\alpha$ ) में outperform कर सकता है, मानक GNHAR विभिन्न कॉन्फ़िगरेशन में आम तौर पर अधिक स्थिर रहता है।
एक्सोजेनस वेरिएबल्स: GNHARX फ्रेमवर्क के माध्यम से ऑप्शन-इम्प्लाइड वेरिएंस (IV) के समावेश का अन्वेषण किया गया है। अध्ययन पाता है कि ग्लोबल- $\lambda$ विनिर्देश इंडिविजुअल- $\lambda$ विनिर्देशों की तुलना में श्रेष्ठ हैं, और एक्सोजेनस वेरिएबल्स के उच्च-क्रम लैग्स संख्यात्मक अस्थिरता की ओर ले जाते हैं।

महत्व और दावे
यह शोध दावा करता है कि यह एक परिमित (parsimonious) मल्टीवेरिएट टाइम सीरीज़ विनिर्देश प्रदान करता है जो एक निर्देशित ग्राफ के माध्यम से क्रॉस-सेक्शनल स्पिलओवर को स्पष्ट रूप से शामिल करता है। ओवरपैरामीटराइज्ड वेक्टर ऑटोरेग्रेसिव मॉडल के विपरीत, GNHAR दृष्टिकोण एक संक्षिप्त पैरामीटर सेट प्रदान करता है जो बाजार की निर्भरताओं के मजबूत होने या कमजोर होने को ट्रैक कर सकता है, जिससे बाजार की स्थिरता का समय-परिवर्तनीय मात्रात्मक मूल्यांकन संभव होता है।

लेखक तीन प्राथमिक योगदानों को रेखांकित करते हैं:

प्रत्यक्ष वेक्टर मॉडलिंग: केवल कोवेरिएंस मैट्रिसेस के बजाय रियलाइज्ड वेरिएंस प्रक्रियाओं के वेक्टर्स पर सीधे नेटवर्क टाइम सीरीज़ फ्रेमवर्क को लागू करना।
नवीन विश्लेषण: जंप-कंटीन्यूअस डिकंपोजिशन और ग्राफिकल कॉन्फ़िगरेशन के बीच परस्पर क्रिया की जांच करना, और एक्सोजेनस प्रक्रियाओं के रूप में नोड-विशिष्ट ऑप्शन-इम्प्लाइड वेरिएंस की भूमिका का परीक्षण करना।
व्याख्यात्मकता (Interpretability): एक ऐसा ढांचा प्रदान करना जहाँ अनुमानित गुणांक व्यक्तिगत स्टॉक डायनेमिक्स और उनकी अंतःक्रियाओं के परिमाण को समझने में मदद करते हैं, जिससे शांत अवधि और वित्तीय संकट (जैसे, कोविड-19 का प्रकोप) दोनों के दौरान पदानुक्रमित HAR घटकों की भूमिका स्पष्ट होती है।

अध्ययन निष्कर्ष निकालता है कि नेटवर्क-आधारित रैखिक मॉडल न केवल आधारभूत HAR फ्रेमवर्क की तुलना में संपत्तियों के अंतर्संबंधों को अधिक प्रभावी ढंग से समझते हैं, बल्कि गैर-रेखीय ग्राफ न्यूरल नेटवर्क में सामान्य ओवरफिटिंग समस्याओं से भी बचते हैं, और व्याख्यात्मकता बनाए रखते हैं।