MJSAC: McCormick Relaxation-based Waveform Design for Joint Sensing and Communication

기술 요약: MJSAC – 결합 센싱 및 통신을 위한 맥코믹 완화 기반 파형 설계

문제 정의
5G Advanced 및 6G 기술의 맥락에서, 결합 센싱 및 통신(JSAC)은 레이더와 통신 기능을 통합하여 하드웨어와 스펙트럼 자원을 효율적으로 공유하는 것을 목표로 합니다. 기존의 파형 설계 방식은 송신단에서 채널 상태 정보(CSI)를 요구하지 않고 심볼을 전송하기 위해 비빔 패턴 불변 공분산 행렬(beampattern-invariant covariance matrices)을 생성하는 데 중점을 두는 경우가 많으나, 이는 심각한 한계점을 가집니다: 바로 통신 성능이 저하된다는 점입니다. 구체적으로, Sana 등의 연구와 같은 기존 방식들은 동일한 빔 패턴을 공유하는 공분산 행렬 집합을 생성하지만, 이들 사이의 기하학적 거리를 최대화하는 데 실패합니다. 이러한 분리성 부족은 수신기가 전송된 심볼(공분산 행렬)을 효과적으로 구별할 수 없게 만들어 높은 심볼 오차율(SER)을 초래합니다. 또한, 성능을 최대화하는 대안적 접근 방식(예: Fan 등의 연구)은 일반적으로 송신단에서의 완전한 CSI를 요구하며, 매 전송 시마다 복잡한 온라인 파형 생성을 수반하므로 많은 시나리오에서 실용적이지 않습니다.

방법론
본 논문은 $L$-알파벳 변조 방식에 대한 $L$개의 공분산 행렬을 생성하는 새로운 파형 설계 알고리즘인 MJSAC(McCormick-based JSAC)를 제안합니다. 핵심 목표는 센싱을 위해 요구되는 일관된 빔 패턴을 엄격하게 유지하면서, 이 공분산 행렬들 사이의 상호 거리(프로베니우스 노름으로 측정)를 최대화하는 것입니다.

기술적 접근 방식은 다음 단계들을 포함합니다:

1. 정식화(Formulation): 문제는 참조 공분산 행렬 $R$과 $L-1$개의 새로운 행렬 $Z_i$ 사이의 제곱 프로베니우스 노름 합을 최대화하고, 동시에 $Z_i$ 행렬들 간의 쌍별 거리를 최대화하는 것으로 정의됩니다. 이는 빔 패턴이 $R$과 동일하도록 보장하는 제약 조건(대각 및 부대각 요소의 트레이스 일치)과 모든 행렬이 양의 준정부호(PSD)를 유지해야 한다는 제약 조건 하에 수행됩니다.
2. 순차적 최적화(Sequential Optimization): 원래의 최적화 문제는 스펙트라헤드론(spectrahedron) 상에서 볼록 함수를 최대화하는 것이므로 비볼록(non-convex)이며 다루기 어렵습니다. 이를 해결하기 위해, 저자들은 이전에 추정된 행렬들을 고정시킨 상태에서 하나의 행렬 $Z_k$를 한 번에 하나씩 추정하는 순차적 접근 방식을 채택합니다.
3. 맥코믹 완화(McCormick Relaxation): 비볼록 목적 함수(비선형 항 $Z_k(p,q)^2$을 포함)를 처리하기 위해, 저자들은 맥코믹 완화를 적용합니다. 이 기술은 비선형 항을 나타내는 유계된 보조 변수를 도입하여 목적 함수를 선형화합니다. 이 변환을 통해 비볼록 문제를 선형 목적 함수와 볼록 제약 조건을 가진 표준 준정부호 계획법(SDP) 문제로 전환합니다.
4. 오프라인 생성(Offline Generation): 결과적인 SDP는 표준 솔버(예: CVX)를 사용하여 해결됩니다. 결정적으로, 이 과정은 채널 정보($h$)를 필요로 하지 않으며 오프라인에서 수행됩니다. 결과로 나온 공분산 행렬들의 제곱근은 전송을 위한 성좌점(심볼) 역할을 합니다.

주요 기여

• 새로운 파형 설계: 빔 패턴 불변성(센싱용)과 최대 분리성(통신용)을 모두 갖춘 공분산 행렬을 생성하는 MJSAC을 도입하였습니다.
• 비볼록 최적화 솔루션: 도전적인 비볼록 파형 설계 문제를 다루기 쉬운 볼록 SDP로 변환하기 위해 맥코믹 완화를 적용하였습니다.
• 채널 독립적 동작: 심볼 생성을 위한 송신단의 채널 상태 정보(CSI) 필요성을 제거하여, 오프라인 계산 및 온라인 계산 부하 감소를 가능하게 했습니다.
• 확장성: MJSAC 알고리즘은 안테나 수($N$)와 변조 알파벳 크기($L$)에 따라 확장되며, 행렬 공간 내에서 잘 분리된 심볼을 생성합니다.

수치적 결과
시뮬레이션은 다양한 안테나 구성($N=8, 12, 16$) 및 빔 패턴(무지향성 및 지향성)에 대해 MJSAC을 BPSK, Sana 등의 방식(Sana-Omni/Direc), 그리고 Fan 등의 방식(Fan-Omni/Direc)과 비교하여 수행되었습니다.

• 심볼 오차율(SER): MJSAC은 모든 시나리오에서 BPSK와 Sana 등의 방식보다 일관되게 우수한 성능을 보였습니다. $N=8$인 경우 Fan-Omni가 약간 더 나은 성능을 보였으나, $N=12$ 및 $N=16$인 경우 MJSAC이 Fan-Omni를 능가했습니다.
• 거리 분석: 심볼 간의 프로베니우스 노름 차이에 대한 히트맵은 MJSAC이 안테나 수가 증가함에 따라 심볼 간의 간격을 현저히 크게 생성함을 보여주었으며, 이는 검출 성능 향상과 직접적인 상관관계가 있습니다.
• 복잡도: MJSAC은 Fan-Omni/Direc의 온라인 복잡도에 비해 높은 계산 복잡도($O(N^7)$)를 가지지만, 이 계산은 오프라인에서 수행됩니다. 반면, Fan-Omni/Direc는 전송 횟수 및 프레임 길이에 의존하는 온라인 계산을 필요로 하므로, MJSAC이 반복적인 사용에 있어 더 확장성이 높습니다.

의의 및 주장
본 논문은 MJSAC이 JSAC 파형 설계의 근본적인 트레이드오프인 센싱 성능(빔 패턴 일관성)과 통신 신뢰성(심볼 구별 가능성) 사이의 문제를 해결한다고 주장합니다. 채널 정보에 의존하지 않고 공분산 행렬 간의 거리를 최대화함으로써, MJSAC은 레이더 기능을 유지하면서 통신 성능을 향적으로 높이는 견고한 솔루션을 제공합니다. 저자들은 심볼 간의 간격을 넓히는 것이 이전의 빔 패턴 불변 설계에서 자주 간과되었던 요소이며, 이를 통해 SER을 줄이는 것이 매우 중요하다는 점을 강조하며, M-JAC이 송신단에서 채널 정보를 사용하는 기존 알고리즘보다 더 효율적이고 확장 가능한 프레임워크를 제공함으로써 더 우수한 성능을 보인다고 단언합니다.