MJSAC: McCormick Relaxation-based Waveform Design for Joint Sensing and Communication

Resumen Técnico: MJSAC – Diseño de Forma de Onda Basado en la Relajación de McCormick para la Detección y Comunicación Conjuntas

Planteamiento del Problema
En el contexto de las tecnologías 5G Advanced y 6G, la Detección y Comunicación Conjunta (JSAC, por sus siglas en inglés) busca unificar las capacidades de radar y comunicación para compartir de manera eficiente el hardware y los recursos del espectro. Mientras que los enfoques actuales de diseño de formas de onda se centran a menudo en generar matrices de covarianza invariantes al patrón de haz para transmitir símbolos sin requerir Información del Estado del Canal (CSI) en el transmisor, estos sufren una limitación crítica: un bajo rendimiento de comunicación. Específicamente, los métodos actuales (como los de Sana et al.) generan conjuntos de matrices de covarianza que comparten el mismo patrón de haz, pero no logran maximizar la distancia geométrica entre ellas. Esta falta de separación resulta en una Tasa de Error de Símbolo (SER) elevada porque el receptor no puede distinguir eficazmente entre los símbolos transmitidos (matrices de covarianza). Además, otros enfoques que sí maximizan el rendimiento (como el de Fan et al.) suelen requerir CSI completa en el transmisor e implican una generación de forma de onda en línea computacionalmente intensiva para cada transmisión, lo cual es poco práctico para muchos escenarios.

Metodología
El artículo propone MJSAC (MJSAC basado en McCormick), un novedoso algoritmo de diseño de formas de onda que genera un conjunto de $L$ matrices de covarianza para un esquema de modulación de alfabeto $L$. El objetivo central es maximizar las distancias mutuas (medidas por la norma de Frobenius) entre estas matrices de covarianza, manteniendo estrictamente un patrón de haz consistente requerido para la detección.

El enfoque técnico implica los siguientes pasos:

1. Formulación: El problema se define como la maximización de la suma de las normas de Frobenius al cuadrado entre una matriz de covarianza de referencia $R$ y un conjunto de $L-1$ nuevas matrices $Z_i$, así como la maximización de las distancias de par en par entre las matrices $Z_i$. Esto debe realizarse sujeto a restricciones que aseguren que el patrón de haz sea idéntico a $R$ (mediante la coincidencia de la traza de los elementos diagonales y subdiagonales) y que todas las matrices permanezcan Semidefinidas Positivas (PSD).
2. Optimización Secuencial: El problema de optimización original es no convexo e intratable debido a la maximización de una función convexa sobre un espectraedro. Para resolverlo, los autores emplean un enfoque secuencial, estimando una matriz $Z_k$ a la vez mientras se mantienen fijas las matrices previamente estimadas.
3. Relajación de McCormick: Para manejar la función objetivo no convexa (que involucra términos cuadráticos $Z_k(p,q)^2$), los autores aplican la relajación de McCormick. Esta técnica linealiza la función objetivo mediante la introducción de variables auxiliares acotadas para representar los términos no lineales. Esta transformación convierte el problema no convexo en un problema de Programación Semidefinida (SDP) estándar con una función objetivo lineal y restricciones convexas.
4. Generación Offline: El SDP resultante se resuelve utilizando solvers estándar (por ejemplo, CVX). Crucialmente, este proceso no requiere información del canal ($h$) y se realiza fuera de línea (offline). Las raíces cuadradas de las matrices de covarianza resultantes sirven como los puntos de la constelación (símbolos) para la transmisión.

Contribuciones Clave

• Diseño de Forma de Onda Novedoso: Introducción de MJSAC, que genera matrices de covarianza que son tanto invariantes al patrón de haz (para detección) como máximamente separadas (para comunicación).
• Solución de Optimización No Convexa: La aplicación de la relajación de McCormick para transformar un desafiante problema de diseño de forma de onda no convexo en un SDP convexo tratable.
• Operación Independiente del Canal: El método elimina la necesidad de Información del Estado del Canal (CSI) en el transmisor para la generación de símbolos, permitiendo el cálculo fuera de línea y reduciendo la carga computacional en línea.
• Escalabilidad: El algoritmo escala con el número de antenas ($N$) y el tamaño del alfabeto de modulación ($L$), generando símbolos que están bien separados en el espacio de matrices.

Resultados Numéricos
Se realizaron simulaciones comparando MJSAC contra BPSK, el método de Sana et al. (Sana-Omni/Direc) y el método de Fan et al. (Fan-Omni/Direc) a través de diferentes configuraciones de antenas ($N=8, 12, 16$) y patrones de haz (omnidireccional y direccional).

• Tasa de Error de Símbolo (SER): MJSAC superó consistentemente a BPSK y al método de Sana et al. en todos los escenarios. Para $N=8$, Fan-Omni tuvo un rendimiento ligeramente superior, pero para $N=12$ y $N=16$, MJSAC superó a Fan-Omni.
• Análisis de Distancia: Los mapas de calor de las diferencias de la norma de Frobenius entre los símbolos demostraron que MJSAC genera separaciones significativamente mayores entre los símbolos a medida que aumenta el número de antenas, lo que se correlaciona directamente con un mejor rendimiento de detección.
• Complejidad: Aunque MJSAC tiene una mayor complejidad computacional ($O(N^7)$) en comparación con la complejidad en línea de Fan-Omni/Direc, este cálculo se realiza fuera de línea. En contraste, Fan-Omni/Direc requiere un cálculo en línea dependiente del número de transmisiones y la longitud de la trama, lo que hace que MJSAC sea más escalable para su uso repetido.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma que MJSAC aborda el compromiso fundamental en el diseño de formas de onda JSAC entre el rendimiento de detección (consistencia del patrón de haz) y la fiabilidad de la comunicación (distinguibilidad de los símbolos). Al maximizar la distancia entre las matrices de covarianza sin depender de la CSI, MJSAC ofrece una solución robusta que mejora el rendimiento de la comunicación manteniendo la funcionalidad de radar. Los autores sostienen que su método supera a los algoritmos convencionales, incluyendo aquellos que utilizan información del canal en el transmisor, al proporcionar un marco más eficiente y escalable para sistemas de detección y comunicación conjuntos. El trabajo destaca que aumentar la separación entre los símbolos es crítico para reducir la SER, un factor que a menudo se pasa por alto en los diseños anteriores invariantes al patrón de haz.