Shifted convolution sums of coefficients of symmetric power $L$-functions with $k$-full kernels over sums of squares in arithmetic progressions

기술 요약: 산술 급수 내 제곱수의 합에 대한 $k$-full 커널을 가진 대칭 거듭제곱 $L$-함수 계수의 이동된 합성곱 합

문제 정의
본 논문은 $SL(2, \mathbb{Z})$에 대한 정규화된 헤케 고유형(Hecke eigenform) $f$의 $j$차 대칭 거듭제곱 $L$-함수의 계수 $\lambda_{\text{sym}^j f}(n)$의 부분합과 2차 모멘트의 해석적 거동을 조사한다. 연구는 $n$이 $m$개 제곱수의 합($n = a_1^2 + \dots + a_m^2$)으로 표현될 수 있고 $n \equiv 1 \pmod q$를 만족하는 정수 수열에 초점을 맞추며, 여기서 $q$는 큰 정수이고 $m \in \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$이다.

또한, 저자들은 $k$-full 커널 함수 $a(n)$ ($k \ge 2$)에 의해 뒤틀린(twisted) 이 계수들의 이동된 합성곱 합을 조사한다. $k$-full 커널 함수는 $n = a_1(n)a_2(n)$이 $k$-free 부분과 $k$-full 부분으로의 유일한 분해를 가질 때, $a(n) = a(a_2(n))$인 함수로 정의된다. 본 논문은 또한 이러한 특정 산술 급수 상에서 수열 $a(n)\lambda_{\text{sym}^j f}(n+1)$의 부호 변화 빈도를 분석한다.

방법론
증명은 다음과 같은 해석적 정수론 기법들의 조합에 의존한다:

1. 디리클레 문자의 직교성: $1 \pmod q$에 합동인 정수들에 대한 합은 모든 디리클레 문자에 대한 합으로 변환되며, 이때 주 문자를 비주 문자(non-principal characters)와 분리한다.
2. 디리클레 급수의 인수분해: 저자들은 $\lambda_{\text{sym}^j f}(n)$의 계수와 정수를 제곱수의 합으로 표현하는 방법의 수(denoted $r_m(n)$)와 관련된 산술 함수가 곱해진 디리클레 급수를 구성한다. 이 급수들은 문자로 뒤틀린 대칭 거듭제곱 $L$-함수들과 더 넓은 반평면에서 절대 수렴하는 보조 디리클레 급수들의 곱으로 인수분해된다.
3. 페론 공식(Perron's Formula) 및 경로 적분: 부분합을 추정하기 위해 페론 공식이 적용된다. 적분 경로는 일반적으로 $\Re(s) = 1/2 + \epsilon$ 또는 이와 유사한 곳으로 이동하며, 이를 통해 코시의 잔류 정리(Cauchy's residue theorem)를 사용하여 주항(main terms, poles)을 추출하고, 새로운 경로를 따른 적분을 통해 오차항을 제한한다.
4. $L$-함수의 유계(Bounds): 오차항은 $\zeta(s)$, 디리클레 $L$-함수, 그리고 문자로 뒤틀린 대칭 거듭제곱 $L$-함수의 볼록성 유계(convexity bounds) 및 평균값 추정(4차 모멘트 유계)을 사용하여 제어된다.
5. $k$-full 함수의 분해: $k$-full 커널이 포함된 이동된 합성곱 합의 경우, 저자들은 정수의 $k$-free 부분과 $k$-full 부분의 유일한 분해를 활용한다. 그들은 $k$-full 성분의 크기에 따라 합의 범위를 나누고, 산술 급수에 대한 이전에 확립된 유계들을 적용한다.
6. 부호 변화 분석: 부호 변화의 수는 귀류법에 의해 도출된다. 수열이 짧은 구간 동안 일정한 부호를 유지한다고 가정하면, 저자들은 (이동된 합성곱 추정치로부터 얻은) 합의 상한과 (2차 모멘트 추정치로부터 얻은) 2차 모멘트의 하한을 비교한다. 구간이 너무 길 경우 모순이 발생하며, 이는 부호 변화의 존재를 의미한다.

주요 기여 및 결과
본 논문은 다음과 같은 구체적인 합들에 대한 점근식과 오차 유계를 확립한다:

• 제곱수의 합에 대한 부분합 (정리 1 & 2): 저자들은 $n$이 $m$개 제곱수의 합이고 $n \equiv 1 \pmod q$인 $\sum \lambda_{\text{sym}^j f}(n)$에 대한 유계를 도출한다.
  • $m=2$인 경우, 이 합은 $O(x^{1+\epsilon - \frac{1}{j+1}} q^{1+\epsilon} / \phi(q))$이다.
  • $m \in \{4, 6, 8, 10, 12\}$인 경우, 이 합은 $O(x^{\frac{m}{2}+\epsilon - \frac{2}{j+3}} q^{\frac{j+1}{j+3}+\epsilon} / \phi(q))$이다.
• 제곱수의 합에 대한 2차 모멘트 (정리 3 & 4): 본 논문은 $\sum \lambda_{\text{sym}^j f}^2(n)$의 2차 모멘트에 대한 점근식을 제공한다.
  • $m=2$인 경우, 주항은 $x$에 선형적이며($c_{j,f} \frac{\phi(q)}{q} x$), 오차항은 $O(x^{1+\epsilon - \frac{1}{(j+1)^2}} q^{1+\epsilon} / \phi(q))$이다.
  • $m \in \{4, 6, 8, 10, 12\}$인 경우, 주항은 $x^{m/2}$에 비례하며 오차항은 $O(x^{\frac{m}{2}+\epsilon - \frac{2}{(j+1)^2}} q^{1+\epsilon} / \phi(q))$이다.
• $k$-full 커널을 가진 이동된 합성곱 합 (정리 5 & 6): 저자들은 $\sum a(n) \lambda_{\text{sym}^j f}(n+1)$ 및 $\sum a^2(n) \lambda_{\text{sym}^j f}^2(n+1)$ 형태의 합을 조사한다 (여기서 $n+1$은 제곱수의 합이다).
  • 2차 모멘트에 대한 점근식을 얻었으며, 주항은 $x^{m/2}$ 차수이고 $k, j, m$에 의존하는 명시적인 오차 유계를 갖는다.
  • $k$-full 커널을 가진 1차 모멘트에 대해, 저자들은 $O(x^{\frac{m}{2} - \frac{2k-2}{3k(j+1)} + \epsilon})$ 형태의 상한을 제공한다.
• 부호 변화 (정리 7 & 8): 1차 모멘트의 유계와 2차 모멘트의 유계를 결합함으로써, 본 논문은 수열 $a(n)\lambda_{\text{sym}^j f}(n+1)$이 빈번하게 부호를 바꾼다는 것을 증명한다.
  • $m=2$인 경우, 구간 $(x, 2x]$에서 적어도 $x^{1-\delta_j}$ 번의 부호 변화가 발생한다 (특정 범위 내의 $\delta_j$에 대하여).
  • $m \in \{4, 6, 8, 10, 12\}$인 경우에도 유사한 부호 변화의 하한이 확립된다.

의의 및 주장
본 논문은 $k$-full 커널 함수를 통합하고 합의 범위를 산술 급수 내의 $m$개 제곱수의 합으로 제한함으로써, 기존의 이동된 합성곱 합 연구(특히 Lü, Wang, Venkatasubrayeddary, Sankaranarayanan의 연구)를 확장한다고 주장한다. 결과들은 법(modulus) $q$, 제곱수의 개수 $m$, 그리고 대칭 거듭제곱의 차수 $j$에 의존하는 명시적인 오차항을 제공한다. 부호 변화에 대한 조사는 $k$-full 커널에 의해 가중치가 부여되었을 때 이들 대칭 거듭제곱 계수의 진동적 거동에 대한 새로운 통찰을 제공한다. 저자들은 이러한 결과들을 도출된 부분합 및 모멘트 유계의 응용으로 위치시키며, 이 특정적인 해석적 정수론 문제의 범위를 벗어난 더 넓은 적용을 주장하지 않는다.