Shifted convolution sums of coefficients of symmetric power $L$-functions with $k$-full kernels over sums of squares in arithmetic progressions

技術要約：算術級数における平方数の和に対する、$k$-full カーネルを用いた対称冪 $L$ 関数の係数のシフトされた畳み込み和

問題設定
本論文は、完全モジュラー群 $SL(2, \mathbb{Z})$ に対する正規化されたヘッケ固有形式 $f$ の第 $j$ 対称冪 $L$ 関数の係数 $\lambda_{\text{sym}^j f}(n)$ の部分和および二次のモーメントの解析的挙動を調査している。研究の焦点は、$n$ が $m$ 個の平方数の和（$n = a_1^2 + \dots + a_m^2$）として表され、かつ特定の合同条件 $n \equiv 1 \pmod q$（ここで $q$ は大きな整数、$m \in \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$）を満たす整数の列である。

さらに、著者らはこれらの係数を $k$-full カーネル関数 $a(n)$（ここで $k \ge 2$）で重み付けしたシフトされた畳み込み和を検討している。$k$-full カーネル関数は、$n = a_1(n)a_2(n)$ を $k$-free 部分と $k$-full 部分への一意な分解としたとき、$a(n) = a(a_2(n))$ となるものとして定義される。また、本論文では、これらの特定の算術級数における数列 $a(n)\lambda_{\text{sym}^j f}(n+1)$ の符号変化の頻度についても分析を行っている。

手法
証明は、解析的数論の手法、具体的には以下の組み合わせに基づいている：

1. ディリクレ指標の直交性： $1 \pmod q$ に合同な整数の和を、すべてのディリクレ指標 $\chi \pmod q$ に関する和へと変換し、主指標 $\chi_0$ と非主指標を分離する。
2. ディリクレ級数の因子分解： $\lambda_{\text{sym}^j f}(n)$ の係数と、整数の平方数の和としての表現数（$r_m(n)$ で表される）に関連する算術関数を組み合わせたディリクレ級数を構成する。これらの級数は、文字でツイストされた対称冪 $L$ 関数と、より広い半平面で絶対収束する補助的なディリクレ級数の積へと因子分解される。
3. ペロンの公式と輪郭積分： 部分和を推定するために、ペロンの公式を適用する。積分路は（通常 $\Re(s) = 1/2 + \epsilon$ またはそれに類する場所へ）左側にシフトされ、コーシーの剰余定理を利用して主項（極）を抽出し、新しい輪郭に沿った積分によって誤差項を抑える。
4. $L$ 関数の評価： 誤差項は、$\zeta(s)$、ディリクレ $L$ 関数、および文字でツイストされた対称冪 $L$ 関数の凸性評価および平均値評価（四次のモーメント評価）を用いて制御される。
5. $k$-full 関数の分解： $k$-full カーネルを含むシフトされた畳み込み和については、整数を $k$-free 部分と $k$-full 部分に分解する一意な分解を利用する。$k$-full 成分のサイズに基づいて和の範囲を分割し、先に確立された算術級数上の和の評価を適用する。
6. 符号変化の分析： 符号変化の数は背理法によって導かれる。数列が短い区間で一定の符号を維持すると仮定した場合、シフトされた畳み込みの推定から得られる上界と、二次のモーメントの推定から得られる下界を比較する。区間が大きすぎる場合、矛盾が生じるため、符号変化が存在することを示唆する。

主要な貢献と結果
本論文は、いくつかの特定の和に関する漸近公式と誤差項の評価を確立している：

• 平方数の和に関する部分和（定理 1 & 2）： 著者らは、$n$ が $m$ 個の平方数の和であり、$n \equiv 1 \pmod q$ である場合の $\sum \lambda_{\text{sym}^j f}(n)$ の評価を導出している。
  • $m=2$ の場合、この和は $O(x^{1+\epsilon - \frac{1}{j+1}} q^{1+\epsilon} / \phi(q))$ である。
  • $m \in \{4, 6, 8, 10, 12\}$ の場合、この和は $O(x^{\frac{m}{2}+\epsilon - \frac{2}{j+3}} q^{\frac{j+1}{j+3}+\epsilon} / \phi(q))$ である。
• 平方数の和に関する二次のモーメント（定理 3 & 4）： 本論文は、二次のモーメント $\sum \lambda_{\text{sym}^j f}^2(n)$ に関する漸近公式を提供している。
  • $m=2$ の場合、主項は $x$ に関して線形であり（$c_{j,f} \frac{\phi(q)}{q} x$）、誤差項は $O(x^{1+\epsilon - \frac{1}{(j+1)^2}} q^{1+\epsilon} / \phi(q))$ である。
  • $m \in \{4, 6, 8, 10, 12\}$ の場合、主項は $x^{m/2}$ に比例し、誤差項は $O(x^{\frac{m}{2}+\epsilon - \frac{2}{(j+1)^2}} q^{1+\epsilon} / \phi(q))$ である。
• $k$-full カーネルを用いたシフトされた畳み込み和（定理 5 & 6）： 著者らは、$\sum a(n) \lambda_{\text{sym}^j f}(n+1)$ および $\sum a^2(n) \lambda_{\text{sym}^j f}^2(n+1)$ という形の和を調査している（ここで $n+1$ は平方数の和である）。
  • 二次のモーメントについて、主項が $x^{m/2}$ のオーダーであり、誤差項が $k, j, m$ に依存する明示的な形を持つ漸近公式を得ている。
  • $k$-full カーネルを持つ一次のモーメントについては、$O(x^{\frac{m}{2} - \frac{2k-2}{3k(j+1)} + \epsilon})$ という形の評価の上限を提供している。
• 符号変化（定理 7 & 7）： 一次のモーメントの評価と二次のモーメントの評価を組み合わせることで、本論文は数列 $a(n)\lambda_{\text{sym}^j f}(n+1)$ が頻繁に符号を変えることを証明している。
  • $m=2$ の場合、区間 $(x, 2x]$ において、特定の範囲の $\delta_j$ に対して少なくとも $x^{1-\delta_j}$ 回の符号変化がある。
  • $m \in \{4, 6, 8, 10, 12\}$ の場合も、同様の符号変化の下限が確立されている。

意義と主張
本論文は、これまでのシフトされた畳み込み和に関する研究（具体的には Lü, Wang, Venkatasubbareddy, および Sankaranarayanan によるもの）を、$k$-full カーネル関数を組み込み、かつ和を算術級数における $m$ 個の平方数の和に制限することで拡張したものであると主張している。得られた結果は、モジュラス $q$、平方数の数 $m$、および対称冪の次数 $j$ に依存する明示的な誤差項を提供している。符号変化の研究は、$k$-full カーネルによって重み付けされた際の、これらの対称冪係数の振動的な挙動に関する新たな知見を与えるものである。著者らは、これらの結果を、導出された部分和およびモーメントの評価の応用として位置付けており、これら特定の解析的数論の問題の範囲を超えた広範な適用を主張するものではない。