Shifted convolution sums of coefficients of symmetric power $L$-functions with $k$-full kernels over sums of squares in arithmetic progressions

技术摘要：在算术级数中关于平方和的对称幂 L-函数的系数之移位卷积和与 k-全核（k-Full Kernels）

问题陈述
本文研究了与全模群 $SL(2, \mathbb{Z})$ 的归一化 Hecke 特征形式 $f$ 的第 $j$ 次对称幂 $L$-函数系数 $\lambda_{\text{sym}^j f}(n)$ 相关的偏和及其二阶矩的解析行为。研究重点在于那些可以表示为 $m$ 个平方之和（$n = a_1^2 + \dots + a_m^2$）且满足特定同余条件 $n \equiv 1 \pmod q$ 的整数序列，其中 $q$ 是一个大整数且 $m \in \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$。

此外，作者还研究了这些系数在由 $k$-全核函数 $a(n)$（其中 $k \ge 2$）扭转下的移位卷积和。一个 $k$-全核函数定义为 $a(n) = a(a_2(n))$，其中 $n = a_1(n)a_2(n)$ 是其唯一的 $k$-无平方部分（$k$-free part）与 $k$-全部分（$k$-full part）的分解。本文还分析了序列 $a(n)\lambda_{\text{sym}^j f}(n+1)$ 在这些特定算术级数中的符号变化频率。

方法论
其证明依赖于解析数论技术的结合，具体包括：

1. 狄利克雷特征的正交性： 关于同余于 $1 \pmod q$ 的整数求和被转化为对模 $q$ 的所有狄利克雷特征的求和，从而将主特征 $\chi_0$ 与非主特征分离。
2. 狄利克雷级数的因子分解： 作者构造了包含 $\lambda_{\text{sym}^j f}(n)$ 系数并乘以与整数表示为平方和的次数（记作 $r_m(n)$）相关的算术函数的狄利克雷级数。这些级数被因子分解为由扭转了特征的对称幂 $L$-函数以及在更宽半平面内绝对收敛的辅助狄利克雷级数组成的乘积。
3. 佩龙公式（Perron's Formula）与轮廓积分： 为了估计偏和，应用了佩龙公式。积分线被向左移动（通常到 $\Re(s) = 1/2 + \epsilon$ 或类似位置），利用柯西残数定理提取主项（极点），并通过沿新轮廓的积分来控制误差项。
4. L-函数的界限： 误差项通过使用 $L$-函数（包括 $\zeta(s)$、狄利克雷 $L$-函数以及由特征扭转的对称幂 $L$-函数）的凸性界限和均值估计（四阶矩界限）来控制。
5. k-全函数的分解： 对于涉及 $k$-全核的移位卷积和，作者利用整数向 $k$-无平方部分与 $k$-全部分的唯一分解。他们根据 $k$-全部分的规模对求和范围进行划分，并应用先前建立的关于算术级数的界限。
6. 符号变化分析： 符号变化的次数是通过矛盾法推导出来的。假设序列在一段短区间内保持恒定的符号，作者将求和的上界（由移位卷积估计得出）与二阶矩的下界（由二阶矩估计得出）进行比较。如果该区间过长，则会产生矛盾，从而意味着存在符号变化。

主要贡献与结果
本文为几种特定的求和建立了渐近公式和误差界限：

• 关于平方和的偏和（定理 1 & 2）： 作者导出了 $\sum \lambda_{\text{sym}^j f}(n)$ 的界限，其中 $n$ 是 $m$ 个平方之和且 $n \equiv 1 \pmod q$。
  • 当 $m=2$ 时，该和为 $O(x^{1+\epsilon - \frac{1}{j+1}} q^{1+\epsilon} / \phi(q))$。
  • 当 $m \in \{4, 6, 8, 10, 12\}$ 时，该和为 $O(x^{\frac{m}{2}+\epsilon - \frac{2}{j+3}} q^{\frac{j+1}{j+3}+\epsilon} / \phi(q))$。
• 关于平方和的二阶矩（定理 3 & 4）： 本文提供了二阶矩 $\sum \lambda_{\text{sym}^j f}^2(n)$ 的渐近公式。
  • 当 $m=2$ 时，主项关于 $x$ 是线性的（$c_{j,f} \frac{\phi(q)}{q} x$），误差项为 $O(x^{1+\epsilon - \frac{1}{(j+1)^2}} q^{1+\epsilon} / \phi(q))$。
  • 当 $m \in \{4, 6, 8, 10, 12\}$ 时，主项正比于 $x^{m/2}$，误差项为 $O(x^{\frac{m}{2}+\epsilon - \frac{2}{(j+1)^2}} q^{1+\epsilon} / \phi(q))$。
• 带有 k-全核的移位卷积和（定理 5 & 6）： 作者研究了形式为 $\sum a(n) \lambda_{\text{sym}^j f}(n+1)$ 和 $\sum a^2(n) \lambda_{\text{sym}^j f}^2(n+1)$ 的求和，其中 $n+1$ 是平方和。
  • 他们得到了二阶矩的渐近公式，其主项阶数为 $x^{m/2}$，并给出了依赖于 $k, j, m$ 的显式误差界限。
  • 对于带有 $k$-全核的一阶矩，他们提供了形式为 $O(x^{\frac{m}{2} - \frac{2k-2}{3k(j+1)} + \epsilon})$ 的上界。
• 符号变化（定理 7 & 8）： 通过结合一阶矩和二阶矩的界限，本文证明了序列 $a(n)\lambda_{\text{sym}^j f}(n+1)$ 频繁发生符号变化。
  • 当 $m=2$ 时，在区间 $(x, 2x]$ 中至少有 $x^{1-\delta_j}$ 次符号变化，其中 $\delta_j$ 在特定范围内。
  • 当 $m \in \{4, 6, 8, 10, 12\}$ 时，建立了类似的符号变化次数下界。

意义与声明
本文声称通过引入 $k$-全核函数并将求和限制在表示为 $m$ 个平方之和的整数算术级数中，扩展了之前的移位卷积和研究工作（特别是 Lü, Wang, Venkatasubbareddy 和 Sankaranarayanan 的工作）。所得结果提供了依赖于模数 $q$、平方数个数 $m$ 以及对称幂次数 $j$ 的显式误差项。关于符号变化的研究为这些对称幂系数在由 $k$-全核加权时的振荡行为提供了新的见解。作者将这些结果定位为对所推导出的偏和及矩之界限的应用，并未声称在这些特定的解析数论问题范围之外具有更广泛的应用。