Shifted convolution sums of coefficients of symmetric power $L$-functions with $k$-full kernels over sums of squares in arithmetic progressions

Resumo Técnico: Somas de Convolução Deslocadas de Coeficientes de Funções L de Potência Simétrica com Núcleos $k$-Cheios sobre Somas de Quadrados em Progressões Aritméticas

Enunciado do Problema
Este artigo investiga o comportamento analítico de somas parciais e de segundos momentos dos coeficientes $\lambda_{\text{sym}^j f}(n)$ associados à $j$-ésima potência simétrica da função $L$ de uma forma de Hecke normalizada $f$ para o grupo modular completo $SL(2, \mathbb{Z})$. O estudo foca em sequências de inteiros $n$ que podem ser expressos como uma soma de $m$ quadrados ($n = a_1^2 + \dots + a_m^2$) e satisfazem uma condição de congruência específica $n \equiv 1 \pmod q$, onde $q$ é um inteiro grande e $m \in \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$.

Além disso, os autores examinam as somas de convolução deslocada desses coeficientes torcidos por uma função de núcleo $k$-cheia $a(n)$ (onde $k \ge 2$). Uma função de núcleo $k$-cheia é definida tal que $a(n) = a(a_2(n))$, onde $n = a_1(n)a_2(n)$ é a decomposição única em uma parte $k$-livre e uma parte $k$-cheia. O artigo também analisa a frequência de mudanças de sinal na sequência $a(n)\lambda_{\text{sym}^j f}(n+1)$ sobre essas progressões aritméticas específicas.

Metodologia
As demonstrações baseiam-se em uma combinação de técnicas de teoria analítica dos números, especificamente:

1. Ortogonalidade de Caracteres de Dirichlet: As somas sobre inteiros congruentes a $1 \pmod q$ são transformadas em somas sobre todos os caracteres de Dirichlet módulo $q$, separando o caráter principal $\chi_0$ dos caracteres não principais.
2. Fatoração de Séries de Dirichlet: Os autores constroem séries de Dirichlet envolvendo os coeficientes $\lambda_{\text{sym}^j f}(n)$ multiplicados por funções aritméticas relacionadas ao número de representações de inteiros como somas de quadrados (denotado por $r_m(n)$). Essas séries são fatoradas em produtos de funções $L$ de potência simétrica torcidas por caracteres e séries de Dirichlet auxiliares que convergem absolutamente em semiplanos mais amplos.
3. Fórmula de Perron e Integração de Contorno: Para estimar as somas parciais, a fórmula de Perron é aplicada. A linha de integração é deslocada para a esquerda (tipicamente para $\Re(s) = 1/2 + \epsilon$ ou similar), utilizando o teorema do resíduo de Cauchy para extrair termos principais (polos) e limitar os termos de erro via integrais ao longo do novo contorno.
4. Limites para Funções $L$: Os termos de erro são controlados usando limites de convexidade e estimativas de valor médio (limites de quarto momento) para funções $L$, incluindo $\zeta(s)$, funções $L$ de Dirichlet e funções $L$ de potência simétrica torcidas por caracteres.
5. Decomposição de Funções $k$-Cheias: Para as somas de convolução deslocada envolvendo núcleos $k$-cheios, os autores utilizam a decomposição única de inteiros em partes $k$-livres e $k$-cheias. Eles dividem o intervalo de soma com base no tamanho do componente $k$-cheio e aplicam os limites estabelecidos anteriormente para somas sobre progressões aritméticas.
6. Análise de Mudança de Sinal: O número de mudanças de sinal é deduzido por contradição. Assumindo que a sequência mantém um sinal constante sobre um intervalo curto, os autores comparam o limite superior da soma (derivado das estimativas de convolução deslocada) com o limite inferior do segundo momento (derivado das estimativas de segundo momento). Uma contradição surge se o intervalo for muito grande, implicando a existência de mudanças de sinal.

Contribuições Principais e Resultados
O artigo estabelece fórmulas assintóticas e limites de erro para várias somas específicas:

• Somas Parciais sobre Somas de Quadrados (Teoremas 1 & 2): Os autores derivam limites para $\sum \lambda_{\text{sym}^j f}(n)$ onde $n$ é uma soma de $m$ quadrados e $n \equiv 1 \pmod q$.
  • Para $m=2$, a soma é $O(x^{1+\epsilon - \frac{1}{j+1}} q^{1+\epsilon} / \phi(q))$.
  • Para $m \in \{4, 6, 8, 10, 12\}$, a soma é $O(x^{\frac{m}{2}+\epsilon - \frac{2}{j+3}} q^{\frac{j+1}{j+3}+\epsilon} / \phi(q))$.
• Segundos Momentos sobre Somas de Quadrados (Teoremas 3 & 4): O artigo fornece fórmulas assintóticas para o segundo momento $\sum \lambda_{\text{sym}^j f}^2(n)$.
  • Para $m=2$, o termo principal é linear em $x$ ($c_{j,f} \frac{\phi(q)}{q} x$) com um termo de erro de $O(x^{1+\epsilon - \frac{1}{(j+1)^2}} q^{1+\epsilon} / \phi(q))$.
  • Para $m \in \{4, 6, 8, 10, 12\}$, o termo principal é proporcional a $x^{m/2}$ com um termo de erro de $O(x^{\frac{m}{2}+\epsilon - \frac{2}{(j+1)^2}} q^{1+\epsilon} / \phi(q))$.
• Somas de Convolução Deslocada com Núcleos $k$-Cheios (Teoremas 5 & 6): Os autores investigam somas da forma $\sum a(n) \lambda_{\text{sym}^j f}(n+1)$ e $\sum a^2(n) \lambda_{\text{sym}^j f}^2(n+1)$ onde $n+1$ é uma soma de quadrados.
  • Eles obtêm fórmulas assintóticas para o segundo momento com um termo principal de ordem $x^{m/2}$ e limites de erro explícitos dependendo de $k$, $j$ e $m$.
  • Para o primeiro momento com um núcleo $k$-cheio, eles fornecem limites superiores da forma $O(x^{\frac{m}{2} - \frac{2k-2}{3k(j+1)} + \epsilon})$.
• Mudanças de Sinal (Teoremas 7 & 8): Ao combinar os limites para o primeiro momento e o segundo momento, o artigo prova que a sequência $a(n)\lambda_{\text{sym}^j f}(n+1)$ muda de sinal frequentemente.
  • Para $m=2$, existem pelo menos $x^{1-\delta_j}$ mudanças de sinal no intervalo $(x, 2x]$ para qualquer $\delta_j$ em um intervalo específico.
  • Para $m \in \{4, 6, 8, 10, 12\}$, um limite inferior semelhante para o número de mudanças de sinal é estabelecido.

Significância e Alegações
O artigo afirma estender trabalhos anteriores sobre somas de convolução deslocada (especificamente aqueles de Lü, Wang, Venkatasubbareddy e Sankaranarayanan) ao incorporar funções de núcleo $k$-cheio e restringir a soma a inteiros representáveis como somas de $m$ quadrados em progressões aritméticas. Os resultados fornecem termos de erro explícitos que dependem do módulo $q$, do número de quadrados $m$ e do grau da potência simétrica $j$. A investigação de mudanças de sinal oferece novos insights sobre o comportamento oscilatório desses coeficientes de potência simétrica quando ponderados por núcleos $k$-cheios. Os autores posicionam esses resultados como aplicações dos limites derivados para somas parciais e momentos, sem alegar aplicações mais amplas além do escopo desses problemas específicos de teoria analítica dos números.