Critical Zeros and Unconditional Mean Value Theorems for twisted $\hbox{PGL}(2)$ and $\hbox{PGL}(3)$ $\mathrm{L}$-functions

기술 요약: Twisted $PGL(2)$및$PGL(3)$ $L$-함수에 대한 임계 영점(Critical Zeros) 및 무조건적 평균값 정리

문제 정의
본 논문은 해석적 정수론의 두 가지 핵심 문제, 즉 자가형(automorphic) $L$-함수의 영점이 임계선(critical line) 위에 놓여 있는 비율을 확립하고, 이들의 평균값에 대한 무조건적 점근 공식(unconditional asymptotic formulas)을 도출하는 문제를 다룬다. 저자들은 $r \in \{2, 3\}$인 $PGL_r(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$의 큐스피달 자가형 표현(cuspidal automorphic representation) $\Pi$에 대하여, $Q$까지의 작도(conductor)를 가진 기약 디리클레 문자의 집합을 통해 $L(s, \Pi \times \chi)$라는 $L$-함수의 가족을 조사한다.

레빈슨 방법(Levinson's method)을 고차수 $L$-함수(특히 차수가 3인 경우)로 확장하는 데 있어 주요한 장애물은 일반화된 라만우잔 추측(Generalized Ramanujan Conjecture, GRC)에 대한 미증명된 경계치에 대한 의존성이다. 디리클레 계수에 대한 $O_\epsilon(n^\epsilon)$ 경계치는 GRC 하에서만 알려져 있으며, 이는 디리클레 계수의 점근적 대형 체(Asymptotic Large Sieve, ALS)를 자가형 폼에 적용할 때 발생하는 문제이다. 차수가 3인 경우, 리만 제타 함수의 6차 모멘트에 대한 점근 공식을 얻는 것은 현재의 방법으로는 접근 불가능한 것으로 간주된다. 따라서 개별적인 차수 3 $L$-함수에 레빈슨 방법을 직접 적용하는 것은 불가능하다. 본 연구는 트위스트된 $L$-함수의 '가족'을 연구함으로써 이러한 장벽을 극복하고, GRC를 가정하지 않고도 무조건적인 결과를 달성하고자 한다.

방법론
저자들은 자가형 $L$-함수에 맞춤화된 정교하고 유연하며 균일한 버전의 점근적 대형 체(ALS)를 개발한다. 핵심 논증은 다음과 같은 이동된 트위스트된 평균 제곱(shifted twisted mean square)을 분석하는 것이다:
$$M_{\alpha, \beta}(h, k; \Pi) = \sum_{(q, q_\Pi)=1} W\left(\frac{q}{Q}\right) \sum_{\chi}^* \chi(h)\chi(k) \int_{\mathbb{R}} \eta(t) L(1/2+\alpha+it, \Pi \times \chi) L(1/2+\beta-it, \tilde{\Pi} \times \chi) \left(\frac{h}{k}\right)^{-it} dt$$
여기서 합은 작도 $q$에 대한 기약 문자 $\chi \pmod q$에 대한 합이며, 적분은 매끄러운 테스트 함수 $\eta$에 의해 가중치가 부여된다.

기술적 실행은 다음과 같은 몇 가지 정교한 단계들을 포함한다:

1. 제수 교체(Divisor Switching) 및 직교성: 저자들은 하이브리드 대형 체(Hybrid Large Sieve, HLS)와 디리클레 문자에 대한 직교 관계를 세 번 적용한다. 변수를 분리하고 컨덕터 크기를 줄이기 위해 "제수 교체" 기법을 사용하여, 파라미터 $C$의 크기에 따라 합을 대각(diagonal, $D$), 비대각(off-diagonal, $L$), 비대각(off-diagonal, $U$) 성분으로 분리한다.
2. 산술적 복잡성 처리: 저자들은 GRC를 가정하지 않고 자가형 계수 $\lambda_\Pi(n)$의 산술을 관리하기 위해 많은 노력을 기울인다. 저자들은 디리클레 다항식 계수에 대한 "조건($\Lambda$)"과 $\Pi$의 계수의 4차 모멘트에 관한 "가설($\Pi_4$)"을 도입한다.
   • $PGL(2)$의 경우, 가설($\Pi_4$)은 무조건적으로 알려져 있다 (Moreno–Shahidi).
   • $PGL(3)$의 경우, 가설($\Pi_4$)은 자기 쌍대(self-dual)가 아닌 경우에 대해 가정되며, 자기 쌍대 표현에 대해서는 무조건적으로 알려져 있다 (Jiang–Lü).
3. GCD 합 및 이선형 추정(Bilinear Estimates): GRC의 완전한 형태 없이 비대각 항을 제한하기 위해, 저자들은 GCD 합(특히 Dyer–Harman 경계)과 이선형 형식에 대한 깊은 추정치를 활용한다. 이를 통해 GRC가 없으면 필요했을 $\lambda_\Pi(n)$에 대한 날카로운 점별 경계(pointwise bounds)를 우회할 수 있다.
4. 헤케 대수 계산: 저자들은 정교한 헤케 대수 관계와 오일러 곱 전개를 처리하기 위해 기호 계산(Mathematica)을 광범위하게 사용한다. 이는 GRC가 가정되지 않은 영역에서 국소 인자(local factors)의 명시적 공식을 도출하고 산술적 인자의 정칙성(holomorphy)을 검증하는 데 필수적이다.
5. 레빈슨 방법: 평균값 정리가 확립되면, 역 $L$-함수의 계수를 사용하여 구성된 몰리파이어(mollifier)를 사용하여 레빈슨 방법을 적용한다. 이 과정에서 임계선 위에 있는 영점의 비율을 평균 제곱의 점근적 거동을 기반으로 계산한다.

주요 기여 및 결과

• PGL(3)에 대한 무조건적 양의 비율: 본 논문은 자기 쌍대 큐스피달 자가형 표현 $\Pi_0$의 $PGL(3)$에 대하여,$Q \to \infty$일 때$L(s, \Pi_0 \times \chi)$의 영점 중 적어도$1/9 - O(\epsilon)$이 임계선 위에 있음을 증명한다. 이는 해당 유형의$PGL(3)$ $L$-함수 가족에 대한 최초의 무조건적 결과이다. 비자기 쌍대 $\Pi$의 경우, 결과는 가설($\Pi_4$) 하에 성립한다.
• PGL(2)에 대한 개선된 결과: 저자들은 $PGL(2)$에 대해서도 상응하는 결과를 얻었으며, 적어도$1/3 - O(\epsilon)$의 영점이 임계선 위에 있음을 보여준다. 이 결과들은 완전히 무조건적이며, 트위스트된 가족의 맥락에서 이전의 시도들보다 정량적으로 더 강력하고 새로운 결과이다.
• 새로운 점근 공식: 본 논문은 임의의 계수를 가진 디리클레 다항식과 곱해진 $L(s, \Pi \times \chi)$의 평균 제곱에 대한 멱승 절감 오차항(power-saving error term)을 가진 새로운 점근 공식을 확립한다. 이는 하이브리드 범위 $Q^\epsilon \le T \le Q^{1/3-\epsilon}$에서 성립한다.
  • $T = Q^\epsilon$일 때, 디리클레 다항식은 길이 $\theta < 1/2 - \epsilon$를 가질 수 있다.
  • $\theta = 0$일 때, 오차항은 $O_\epsilon(Q^{7/4+\epsilon})$이다.
• CFKRS 추측에 대한 증거: 도출된 점근 공식은 큰 트위스트(large twists) 및 큰 수직 이동(large vertical shifts)에 관한 Conrey–Farmer–Keating–Rubinstein–Snaith (CFKRS) 추측에 대한 증거를 제공한다.
• 정교화된 점근적 대형 체: 본 연구는 GRC에 대한 미증명된 진전이 필요하지 않은 버전의 ALS를 개발한다. 이는 GCD 합과 이선형 추정을 사용하여 산술 구조의 분석을 정교하게 함으로써, 차수가 3인 $L$-함수에 대해 무조건적인 결과를 얻을 수 있음을 보여준다.

의의
저자들은 본 연구가 고차 자가형 $L$-함수에 레빈슨 방법을 적용하는 데 있어 오랫동안 지속된 어려움을 해결한다고 주장한다. 개별 $L$-함수에서 가족으로 연구 대상을 옮기고 트위스트의 특정 산술적 구조를 활용함으로써, 일반화된 라만우잔 추측을 우회한다. 이 논문은 모멘트 계산에서의 "대각(diagonal)" 항들이 영점의 수치적 비율($1/9$)을 결정하는 데 충분하며, "비대각(off-diagonal)" 분석은 정교한 체(sieve) 기법과 GCD 합 추정을 통해 무조건적으로 제어될 수 있음을 강조한다.

복잡한 $PGL(3)$의 헤케 대수 관계를 처리하기 위한 기호 계산의 사용은 중요한 기술적 동력으로 언급되었으며, 이를 통해 저자들은 손으로 다루기 힘든 복잡한 산술적 인자의 정칙성을 검증할 수 있었다. 이 결과는 미증명된 추측에 의존하지 않고, 동시적인 큰 값의$L$-함수 및 영점 밀도 추정(zero-density estimates)을 포함한 해석적 정수론의 향후 응용을 위한 견고한 틀을 제공한다.