Critical Zeros and Unconditional Mean Value Theorems for twisted $\hbox{PGL}(2)$ and $\hbox{PGL}(3)$ $\mathrm{L}$-functions

技术摘要：关于扭转 $PGL(2)$与$PGL(3)$ $L$-函数的临界零点与无条件均值定理

问题陈述
本文探讨了解析数论中的两个核心问题：建立自守 $L$-函数在临界线上的零点比例，以及推导其均值的无条件渐近公式。具体而言，作者研究了 $L(s, \Pi \times \chi)$ 这一族 $L$-函数，其中 $\Pi$ 是 $PGL_r(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$ 的尖点自守表示（$r \in \{2, 3\}$），而 $\chi$ 在导体最高为 $Q$ 的原始狄利克雷特征中变化。

将 Levinson 方法推广到高阶 $L$-函数（特别是 3 阶）的主要障碍在于，该方法依赖于尚未被证明的广义 Ramanujan 猜想（GRC）的界。以往对自守形式应用渐近大筛法（ALS）时，通常需要狄利克雷系数满足 $O_\epsilon(n^\epsilon)$ 的界，而这仅在 GRC 成立的情况下才已知。对于 3 阶情况，获得黎曼 Zeta 函数的六阶矩渐近公式被广泛认为在当前方法下是难以实现的，这使得直接对单个 3 阶 $L$-函数应用 Levinson 方法变得不可行。本研究旨在通过研究扭转 $L$-函数的“族”（family），利用平均化效应来克服这些障碍，从而在不假设 GRC 的情况下获得无条件的结果。

方法论
作者开发了一个精细、灵活且统一的渐近大筛法（ALS）版本，专门用于自守 $L$-函数。其核心论证涉及分析移位的扭转均方值：
$$M_{\alpha, \beta}(h, k; \Pi) = \sum_{(q, q_\Pi)=1} W\left(\frac{q}{Q}\right) \sum_{\chi}^* \chi(h)\chi(k) \int_{\mathbb{R}} \eta(t) L(1/2+\alpha+it, \Pi \times \chi) L(1/2+\beta-it, \tilde{\Pi} \times \chi) \left(\frac{h}{k}\right)^{-it} dt$$
其中求和是对模 $q$ 的原始特征 $\chi$ 进行，积分由平滑测试函数 $\eta$ 加权。

技术执行过程包含几个复杂的步骤：

1. 除子切换与正交性： 作者应用了混合大筛法（HLS）以及狄利克雷特征的三次正交关系。他们采用了“除子切换”（divisor switching）技术来分离变量并减小导体规模，根据参数 $C$ 的大小将求和分为对角项（$D$）、非对角项（$L$）和非对角项（$U$）。
2. 处理算术复杂度： 大量工作致力于在不假设 GRC 的情况下管理自守系数 $\lambda_\Pi(n)$ 的算术性质。作者引入了针对狄利克雷多项式系数的“条件 ($\Lambda$)”以及关于 $\Pi$ 系数四阶矩的“假设 ($\Pi_4$)”。
   • 对于 $PGL(2)$，假设 ($\Pi_4$) 是无条件已知的（Moreno–Shahidi）。
   • 对于 $PGL(3)$，假设 ($\Pi_4$) 对于非自对偶表示是假设性的，但对于自对偶表示是无条件已知的（Jiang–Lü）。
3. GCD 和与双线性估计： 为了在不使用完整 GRC 的情况下控制非对角项，作者利用了对 GCD 和（特别是 Dyer–Harman 界）及双线性型的深度估计。这使得他们能够绕过对 $\lambda_\Pi(n)$ 精确点值界的需求。
4. Hecke 代数计算： 本文大量使用符号计算（Mathematica）来处理复杂的 Hecke 代数关系和欧拉乘积展开。这对于导出局部因子的显式公式，以及在不假设 GRC 的区域内验证算术因子的全纯性是必不可少的。
5. Levinson 方法： 一旦建立了均值定理，作者便使用由反向 $L$-函数系数构造的磨光器（mollifier）应用 Levinson 方法。这涉及基于均方值的渐近行为来计算位于临界线上的零点比例。

主要贡献与结果

• **$PGL(3)$的无条件正比例：** 本文证明了对于自对偶尖点自守表示$\Pi_0$ of $PGL(3)$，当$Q \to \infty$时，$L(s, \Pi_0 \times \chi)$的零点中至少有$1/9 - O(\epsilon)$位于临界线上。这是此类$PGL(3)$ $L$-函数族中首个无条件的结果。对于非自对偶 $\Pi$，该结果在假设 ($\Pi_4$) 下成立。
• **改进的 $PGL(2)$结果：** 作者得到了相应的$PGL(2)$结果，表明至少有$1/3 - O(\epsilon)$ 的零点位于临界线上。这些结果是完全无条件的，在定量上比之前的尝试更强，并且在这一特定扭转族背景下似乎是全新的。
• 新的渐近公式： 本文建立了一个带有幂次节省误差项的新渐近公式，该公式描述了 $L(s, \Pi \times \chi)$ 乘以具有任意系数的狄利克雷多项式的均方值。该公式在混合范围 $Q^\epsilon \le T \le Q^{1/3-\epsilon}$ 内成立。
  • 当 $T = Q^\epsilon$ 时，狄利克雷多项式的长度可以为 $\theta < 1/2 - \epsilon$。
  • 当 $\theta = 0$ 时，误差项为 $O_\epsilon(Q^{7/4+\epsilon})$。
• 对 CFKRS 猜想的证据： 所导出的渐近公式为关于大扭转和大垂直位移的 Conrey–Farmer–Keating–Rubinstein–Snaith (CFKRS) 猜想提供了证据。
• 精细化的渐近大筛法： 本研究开发了一个不需要依赖未证明的 GRC 进展的 ALS 版本。它表明，通过仔细分析求和的算术结构（特别是使用 GCD 和与双线性估计），可以获得 3 阶 $L$-函数的无条件结果。

意义
作者声称，这项工作解决了将 Levinson 方法应用于高阶自守 $L$-函数时长期存在的困难。通过从研究单个 $L$-函数转向研究“族”，并利用扭转的特定算术性质，他们绕过了对广义 Ramanujan 猜想的需求。研究强调，在矩计算中的“对角”项足以确定零点的数值比例（$1/9$），而“非对角”项的分析虽然微妙，但可以通过精细的筛法技术和 GCD 和估计得到无条件的控制。

使用符号计算来处理 $PGL(3)$ 中复杂的 Hecke 代数关系被视为一个关键的技术赋能因素，这使得作者能够验证在不假设 GRC 的情况下，那些在手工处理中难以处理的复杂算术因子的全纯性。其结果为未来在解析数论中的应用提供了一个稳健的框架，包括同时的大值 $L$-函数和零点密度估计，且无需依赖未被证明的猜想。