Critical Zeros and Unconditional Mean Value Theorems for twisted $\hbox{PGL}(2)$ and $\hbox{PGL}(3)$ $\mathrm{L}$-functions

Resumo Técnico: Zeros Críticos e Teoremas de Valor Médio Incondicionais para Funções L de PGL(2) e PGL(3) Torcidas

Enunciado do Problema
O artigo aborda dois problemas centrais na teoria analítica dos números: estabelecer a proporção de zeros de funções $L$ automórficas situados na linha crítica e derivar fórmulas assintóticas incondicionais para seus valores médios. Especificamente, os autores investigam a família de funções $L$, $L(s, \Pi \times \chi)$, onde $\Pi$ é uma representação automórfica cuspidal de $PGL_r(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$ para $r \in \{2, 3\}$, e $\chi$ varia sobre caracteres de Dirichlet primitivos de condutor até $Q$.

Um obstáculo primário na extensão do método de Levinson para funções $L$ de grau superior (especificamente grau 3) é a dependência de limites não provados em direção à Conjectura de Ramanujan Generalizada (GRC). Aplicações anteriores do Crivo Assintótico Grande (ALS) a formas automórficas frequentemente exigiam o limite $O_\epsilon(n^\epsilon)$ para coeficientes de Dirichlet, o que só é conhecido sob a GRC. Para o grau 3, obter uma fórmula assintótica para o sexto momento da função zeta de Riemann é amplamente considerado inacessível pelos métodos atuais, tornando a aplicação direta do método de Levinson a funções $L$ individuais de grau 3 inviável. Este trabalho busca superar essas barreiras estudando a família das funções $L$ torcidas, explorando a média para alcançar resultados incondicionais sem assumir a GRC.

Metodologia
Os autores desenvolvem uma versão refinada, flexível e uniforme do Crivo Assintótico Grande (ALS) adaptada para funções $L$ automórficas. O núcleo do argumento envolve a análise do quadrado médio torcido deslocado:
$$M_{\alpha, \beta}(h, k; \Pi) = \sum_{(q, q_\Pi)=1} W\left(\frac{q}{Q}\right) \sum_{\chi}^* \chi(h)\chi(k) \int_{\mathbb{R}} \eta(t) L(1/2+\alpha+it, \Pi \times \chi) L(1/2+\beta-it, \tilde{\Pi} \times \chi) \left(\frac{h}{k}\right)^{-it} dt$$
onde a soma é sobre caracteres primitivos $\chi \pmod q$ e a integral é ponderada por uma função de teste suave $\eta$.

A execução técnica envolve vários passos sofisticados:

1. Troca de Divisores e Ortogonalidade: Os autores aplicam o Crivo Grande Híbrido (HLS) e relações de ortogonalidade para caracteres de Dirichlet três vezes. Eles empregam uma técnica de "troca de divisores" para separar variáveis e reduzir o tamanho do condutor, dividindo a soma em componentes diagonal ($D$), fora da diagonal ($L$) e fora da diagonal ($U$) com base no tamanho de um parâmetro $C$.
2. Gestão da Complexidade Aritmética: Uma parte significativa do trabalho é dedicada ao gerenciamento da aritmética dos coeficientes automórficos $\lambda_\Pi(n)$ sem assumir a GRC. Os autores introduzem uma "Condição ($\Lambda$)" sobre os coeficientes do polinômio de Dirichlet e uma "Hipótese ($\Pi_4$)" em relação ao quarto momento dos coeficientes de $\Pi$.
   • Para $PGL(2)$, a Hipótese ($\Pi_4$) é conhecida incondicionalmente (Moreno–Shahidi).
   • Para $PGL(3)$, a Hipótese ($\Pi_4$) é assumida para casos não autoduais, mas é conhecida incondicionalmente para representações autoduais (Jiang–Lü).
3. Somas de GCD e Estimativas Bilineares: Para limitar os termos fora da diagonal sem a GRC completa, os autores utilizam estimativas profundas para somas de GCD (especificamente a cota de Dyer–Harman) e formas bilineares. Isso permite contornar a necessidade de limites pontuais agudos para $\lambda_\Pi(n)$ que seriam necessários de outra forma.
4. Computações de Álgebra de Hecke: O artigo utiliza extensivamente computação simbólica (Mathematica) para lidar com relações elaboradas de álgebra de Hecke e expansões de produtos de Euler. Isso é necessário para derivar fórmulas explícitas para fatores locais e verificar a holomorfia de fatores aritméticos em regiões onde a GRC não é assumida.
5. Método de Levinson: Uma vez estabelecido o teorema do valor médio, os autores aplicam o método de Levinson usando um suavizador (mollifier) construído a partir dos coeficientes da função $L$ inversa. Isso envolve o cálculo da proporção de zeros na linha crítica baseada no comportamento assintótico do quadrado médio.

Principais Contribuições e Resultados

• Proporção Positiva Incondicional para PGL(3): O artigo prova que, para uma representação automórfica cuspidal autodual $\Pi_0$ de $PGL(3)$, pelo menos $1/9 - O(\epsilon)$ dos zeros de $L(s, \Pi_0 \times \chi)$ residem na linha crítica conforme $Q \to \infty$. Este é o primeiro resultado incondicional deste tipo para uma família de funções $L$ de $PGL(3)$. Para $\Pi$ não autodual, o resultado é válido sob a Hipótese ($\Pi_4$).
• Resultados Melhorados para PGL(2): Os autores obtêm resultados correspondentes para $PGL(2)$, mostrando que pelo menos $1/3 - O(\epsilon)$ dos zeros residem na linha crítica. Estes resultados são totalmente incondicionais, quantitativamente mais fortes que tentativas anteriores, e parecem ser novos neste contexto específico de famílias torcidas.
• Nova Fórmula Assintótica: O artigo estabelece uma nova fórmula assintótica com um termo de erro de economia de potência para o quadrado médio de $L(s, \Pi \times \chi)$ multiplicado por um polinômio de Dirichlet com coeficientes arbitrários. Isso é válido no intervalo híbrido $Q^\epsilon \le T \le Q^{1/3-\epsilon}$.
  • Quando $T = Q^\epsilon$, o polinômio de Dirichlet pode ter comprimento $\theta < 1/2 - \epsilon$.
  • Quando $\theta = 0$, o termo de erro é $O_\epsilon(Q^{7/4+\epsilon})$.
• Evidência para as Conjecturas CFKRS: A fórmula assintótica derivada fornece evidência para as conjecturas de Conrey–Farmer–Keating–Rubinstein–Snaith (CFKRS) relativas a grandes torções e grandes deslocamentos verticais.
• Refinamento do Crivo Assintótico Grande: O trabalho desenvolve uma versão do ALS que não requer progresso não provado em direção à GRC. Demonstra que, ao analisar cuidadosamente as estruturas aritméticas das somas (especificamente usando somas de GCD e estimativas bilineares), é possível obter resultados incondicionais para funções $L de grau 3.

Significado
Os autores afirmam que este trabalho resolve uma dificuldade de longa data na aplicação do método de Levinson para funções $L$ automórficas de grau superior. Ao passar de funções $L$ individuais para famílias e utilizar a aritmética específica das torções, eles contornam a necessidade da Conjectura de Ramanujan Generalizada. O artigo destaca que os termos "diagonais" no cálculo do momento são suficientes para determinar a proporção numérica de zeros ($1/9$), enquanto a análise "fora da diagonal", embora sutil, pode ser controlada incondicionalmente usando as técnicas de crivo refinadas e estimativas de soma de GCD.

O uso de computação simbólica para lidar com as intrincadas relações de álgebra de Hecke para $PGL(3)$ é notado como um facilitador técnico crucial, permitindo que os autores verifiquem a holomorfia de fatores aritméticos complexos que seriam intratáveis manualmente. Os resultados fornecem um arcabouço robusto para aplicações futuras em teoria analítica dos números, incluindo valores simultâneos grandes de funções $L$ e estimativas de densidade de zeros, sem depender de conjecturas não provadas.