Critical Zeros and Unconditional Mean Value Theorems for twisted $\hbox{PGL}(2)$ and $\hbox{PGL}(3)$ $\mathrm{L}$-functions

技術要約：ねじれた $PGL(2)$および$PGL(3)$ $L$ 関数における臨界零点と無条件平均値定理

問題設定
本論文は、解析的数論における二つの中心的な問題、すなわち、クリティカルライン（臨界線）上に存在する自己共役 $L$ 関数の零点の割合を確立すること、およびそれらの平均値に関する無条件の漸近公式を導出することを扱っている。具体的には、著者らは、$\Pi$ を $PGL_r(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$（ここで $r \in \{2, 3\}$）の尖点自己共役表現とし、$\chi$ を導手が最大 $Q$ の範囲にある原始ディリクレ指標の範囲とする、ねじれた $L$ 関数の族 $L(s, \Pi \times \chi)$ を調査している。

レヴィンソン（Levinson）の手法を高次（特に次数3）の $L$ 関数へ拡張する際の主要な障害は、一般化ラマンジャンの予想（GRC）への未証明の評価への依存である。ディリクレ係数に対する漸近大篩法（Asymptotic Large Sieve; ALS）のこれまでの適用では、GRCの下でのみ既知である $O_\epsilon(n^\epsilon)$ という係数の評価を必要とすることが多かった。次数3の場合、リーマンゼータ関数の6次のモーメントの漸近公式を得ることは、現在の手法では極めて困難であると考えられているため、個々の次数3の $L$ 関数に対してレヴィンソンの手法を直接適用することは不可能である。本研究は、これらの障壁を克服するために、$L$ 関数の「族」を研究し、GRCを仮定せずに平均化を利用することで、無条件の結果を得ることを目的としている。

手法
著者らは、自己共役 $L$ 関数に合わせて精緻化・柔軟化・一様化した、新しいバージョンの漸近大篩法（ALS）を開発している。議論の核となるのは、シフトされたねじれた平均二乗 $M_{\alpha, \beta}(h, k; \Pi)$ の解析である：
$$M_{\alpha, \beta}(h, k; \Pi) = \sum_{(q, q_\Pi)=1} W\left(\frac{q}{Q}\right) \sum_{\chi}^* \chi(h)\chi(k) \int_{\mathbb{R}} \eta(t) L(1/2+\alpha+it, \Pi \times \chi) L(1/2+\beta-it, \tilde{\Pi} \times \chi) \left(\frac{h}{k}\right)^{-it} dt$$
ここで、和は原始指標 $\chi \pmod q$ に関するものであり、積分は滑らかなテスト関数 $\eta$ によって重み付けされている。

技術的な実行には、いくつかの高度なステップが含まれる：

1. 約数スイッチングと直交性： 著者らは、ハイブリッド大篩法（Hybrid Large Sieve; HLS）とディリクレ指標の直交関係を3回適用する。変数分離と導手のサイズの縮小のために「約数スイッチング（divisor switching）」の手法を用い、パラメータ $C$ に基づいて和を対角成分（$D$）、非対角成分（$L$）、および非対角成分（$U$）に分割する。
2. 算術的複雑性の処理： 著者らは、GRCを仮定せずに、自己共役的な係数 $\lambda_\Pi(n)$ の算術を管理することに多大な労力を割いている。著者らは、ディリクレ多項式の係数に関する「条件 ($\Lambda$)」と、$\Pi$ の係数の4次モーメントに関する「仮説 ($\Pi_4$)」を導入している。
   • $PGL(2)$の場合、仮説 ($\Pi_4$) は無条件に既知である（Moreno–Shahidi）。
   • $PGL(3)$の場合、仮説 ($\Pi_4$) は非自己共役な表現については仮定されるが、自己共役な表現については無条件に既知である（Jiang–Lü）。
3. GCD和と双線型評価： 完全なGRCなしで非対角項を抑えるために、著者らはGCD和（特にDyer–Harmanの評価）と双線型形式を用いた深い評価を利用している。これにより、GRCの下で必要とされる $\lambda_\Pi(n)$ の鋭い点値評価を回避することができる。
4. ヘッケ代数の計算： 著者らは、複雑なヘッケ代数の関係式やオイラー積の展開を扱うために、記号計算（Mathematica）を広範に使用している。これは、GRCが仮定されていない領域において、局所因子の明示的な公式を導出し、算術因子の整属性を検証するために不可欠である。
5. レヴィンソンの手法： 平均値定理が確立された後、逆 $L$ 関数の係数から構成されたモリファイア（mollifier）を用いて、レヴィンソンの手法を適用する。これには、クリティカルライン上の零点の割合を、平均二乗の漸近的挙動に基づいて計算することが含まれる。

主な貢献と結果

• **$PGL(3)$に対する無条件の正の割合：** 本論文は、$PGL(3)$の自己共役な尖点自己共役表現$\Pi_0$に対して、$Q \to \infty$のとき、$L(s, \Pi_0 \times \chi)$の零点の少なくとも$1/9 - O(\epsilon)$がクリティカルライン上に存在することを証明している。これは、一族の$PGL(3)$ $L$ 関数に関するこの種の最初の無条件の結果である。非自己共役な $\Pi$ については、仮説 ($\Pi_4$) のもとで結果が成立する。
• **$PGL(2)$に対する改善された結果：** 著者らは$PGL(2)$に対しても対応する結果を得て、零点の少なくとも$1/3 - O(\epsilon)$ がクリティカルライン上に存在することを示した。これらの結果は完全に無条件であり、ねじれた族の文脈においては、これまでの試みよりも定量的に強く、新しいものである。
• 新しい漸近公式： 任意の係数を持つディリクレ多項式を乗じた $L(s, \Pi \times \chi)$ の平均二乗に関する、べき減少誤差項を伴う新しい漸近公式を確立した。これはハイブリッド範囲 $Q^\epsilon \le T \le Q^{1/3-\epsilon}$ で成立する。
  • $T = Q^\epsilon$ のとき、ディリクレ多項式は長さ $\theta < 1/2 - \epsilon$ を持つことができる。
  • $\theta = 0$ のとき、誤差項は $O_\epsilon(Q^{7/4+\epsilon})$ である。
• CFKRS予想への証拠： 導出された漸近公式は、大きなねじれ（large twists）および大きな垂直シフト（large vertical shifts）に関するConrey–Farmer–Keating–Rubinstein–Snaith (CFKRS) 予想への証拠を提供している。
• 洗練された漸近大篩法： 本研究は、GRCへの未証明の進展を必要としないバージョンのALSを開発している。GCD和と双線型評価を用いて算術構造（特に和の算術的構造）を注意深く分析することで、次数3の $L$ 関数について無条件の結果が得られることを示している。

意義
著者らは、この研究が、高次の自己共役 $L$ 関数にレヴィンソンの手法を適用する際の長年の困難を解決したと主張している。個々の $L$ 関数から「族」へと対象を移し、ねじれの特定の算術を利用することで、一般化ラマンジャンの予想を回避している。本論文は、「対角」項のモーメント計算が、数値的な零点の割合（$1/9$）を決定するのに十分であることを強調しており、非対角項の解析は微妙ではあるものの、洗練された篩法とGCD和の評価を用いることで無条件に制御できることを示している。

複雑な $PGL(3)$のヘッケ代数の関係式を扱うための記号計算の使用は、重要な技術的実現要素として指摘されており、これにより、手計算では困難な複雑な算術因子の整属性を検証することが可能となった。本研究の結果は、未証明の予想に依存することなく、同時的な$L$ 関数の大きな値や零点密度評価を含む、数論における将来的な応用への堅牢な枠組みを提供するものである。