A proof of Andrews-El Bachraoui's conjecture on the parity of coefficients of a $q$-series

기술 요약: $q$-급수의 계수 기우성에 관한 Andrews-El Bachraoui 추측의 증명

문제 정의
본 논문은 Andrews와 El Bachraoui가 도입한 특정 $q$-급수 $T_o(q)$의 계수의 기우성(parity)에 관한 추측을 다룬다. 급수 $T_o(q)$는 분할 함수 $s_1(n)$에 대한 생성 함수의 "홀수 동반자(odd companion)"로 정의된다. 함수 $s_1(n)$은 정수 $n$을 서로 다른 부분들로 나누는 두 가지 색상의 분할의 수를 세는데, 이때 가장 작은 부분은 지정된 하나의 색상으로만 나타나야 하며, 그보다 큰 모든 부분은 두 가지 색상 중 하나 또는 둘 다로 나타날 수 있다는 제약을 가진다.

Andrews와 El Bachraoui는 이전에 $s_1(n)$의 modulo 4에 대한 완전한 기술을 확립하였으나, $T_o(q)$의 계수 $t_o(n)$의 기우성(modulo 2)에 대한 문제는 미해결 과제로 남겨두었다. 구체적으로, 그들은 $8n + 9$가 $p \equiv 5, 7 \pmod 8$인 소수 인수를 홀수 지수로 갖는 경우(동등하게, $8n + 9$가 이차 형식 $x^2 + 2y^2$에 의해 표현될 수 없는 경우) $t_o(n) \equiv 0 \pmod 2$라고 추측하였다.

방법론
저자들은 고전적인 $q$-급수 항등식, 모듈로 산술, 그리고 이차 형식 이론의 결합을 사용하여 이 추측을 해결하고 추가적인 합동식을 도출한다.

1. 급수 조작 및 모듈로 축소:
   증명은 Euler의 오각형 수 정리와 Andrews 및 El Bachraoui가 확립한 항등식을 활용하여 $2qT_o(q)$를 무한 곱과 합의 형태로 표현하는 것으로 시작된다. modulo 2에서 작업함으로써, 저자들은 항등식 $(q; q)_\infty^2 \equiv (q^2; q^2)_\infty \pmod 2$를 이용하여 $T_o(q)$의 식을 단순화한다.

2. 이차 형식과의 연결:
   대수적 조작을 통해, 계수 $t_o(n)$은 이차 형식을 포함하는 디오판토스 방정식의 정수 해의 개수와 관련된다. 구체적으로, $t_o(n)$의 기우성은 $2(6k+1)^2 + (12m+1)^2 = 3(8n+9)$ 및 이와 유사한 변형된 형태의 방정식의 가해성(solvability)에 의존함이 보여진다.

3. 표현론의 적용:
   저자들은 이차 형식 $x^2 + 2y^2$에 의한 정수의 표현 수에 관한 고전적인 결과를 인용한다. 이 결과는 정수 $N$이 $x^2 + 2y^2$에 의해 표현되는 방법이 0개인 것은 $N$의 소인수 분부에 $q \equiv 5, 7 \pmod 8$인 소수가 홀수 승수로 포함되어 있을 때와 필요충분조건임을 명시한다. $3(8n+9)$의 소인수 분해를 분석함으로써, 저자들은 $8n+9$에 대한 조건이 도출된 디오판토스 방정식의 해의 부존재를 함의하며, 이로 인해 $t_o(n)$이 짝수가 됨을 입증한다.

4. Modulo 8 및 밀도 확장:
   $s_1(n)$에 대한 modulo 8의 무한한 합동식 가족을 증명하기 위해, 저자들은 $S_1(q)$의 식과 $T_o(q)$의 유도된 전개를 결합한다. 그들은 $24n+3$이 특정 이차 형식에 의해 표현되는 수를 세는 항 $u(n)$을 분석한다. Legendre 기호의 성질과 $p \equiv 5, 7 \pmod 8$인 소수의 밸류에이션(valuation)을 사용하여, 특정 산술 급수에서 관련 이차 형식이 해를 갖지 않음을 보여준다. 마지막으로, 밀도 결과를 확립하기 위해 저자들은 "희소한(lacunary)" 멱급수(0이 아닌 계수의 밀도가 0인 급수)에 관한 Landau의 정리를 적용하여, $s_1(n)$의 구성 요소들이 희소함을 논한다.

주요 기여 및 결과

• 추측 1.2의 확인: 본 논문의 주요 결과는 Andrews와 El Bachraoui의 추측을 증명하는 것이다. 저자들은 만약 $8n + 9$가 $x^2 + 2y^2$에 의해 표현되지 않는다면(즉, $8n + 9$가 홀수 지수를 가진 $p \equiv 5, 7 \pmod 8$인 소수 인수를 갖는다면), $t_o(n) \equiv 0 \pmod 2$임을 확립한다.
• Modulo 8에 대한 무한 합동식 가족: 본 논문은 $s_1(n)$에 대한 무한한 합동식 가족을 제공하는 정리 1.4를 증명한다. 임의의 소수 $p \equiv 5, 7 \pmod 8$과 정수 $n, k \ge 0$ ($p \nmid n$인 경우)에 대하여 다음이 성립한다:
  $$s_1\left(p^{2k+1}n + \frac{p^{2k+2}-1}{8}\right) \equiv 0 \pmod 8.$$
  저자들은 $p=5$와 $k=0$인 구체적인 예시를 통해, $j \in \{0, 5, 10, 15\}$일 때 $s_1(25n + 8 + 5j) \equiv 0 \pmod 8$임을 보여준다.
• 자연 밀도 결과: 본 논문은 정리 1.5를 증명하여, $s_1(n)$이 8로 나누어떨어지지 않는 정수 $n$의 집합이 자연 밀도 0을 가짐을 보여준다. 즉, $s_1(n)/8$은 자연 밀도 1로 정수 값을 갖는다.

의의
본 논문은 두 가지 색상의 구별된 분할 및 오목한 합성(concave compositions)과 관련된 분할 함수의 산술적 성질에 관한 특정 추측을 확증한다. 홀수 동伴자 급수의 계수의 기우성을 해결함으로써, 저자들은 $S_1(q)$의 구조에 대한 더 깊은 이해를 제공한다. 나아가, $s_1(n)$에 대한 modulo 8 합동식과 밀도 결과를 확립함으로써, 기존에 알려진 modulo 4 결과를 넘어 $s_1(n)$의 산술적 거동을 확장한다.

저자들은 향-연구의 자연스러운 방향으로 이러한 합동식을 더 높은 2의 거듭제곱(modulo 16, 32 등)으로 확장하고, 고정된 $k \ge 4$에 대해 $s_1(n) \equiv 0 \pmod{2^k}$인 정수의 산술 밀도를 결정하는 것을 언급하며 결론을 맺는다.