A proof of Andrews-El Bachraoui's conjecture on the parity of coefficients of a $q$-series

技術要約：q級数の係数のパリティに関する Andrews-El Bachraoui の予想の証明

問題設定
本論文は、Andrews と El Bachraoui によって導入された特定の $q$ 級数 $T_o(q)$ の係数のパリティ（奇偶性）に関する予想を扱う。級数 $T_o(q)$ は、分割関数 $s_1(n)$ の母関数 $S_1(q)$ の「奇数伴随（odd companion）」として定義される。関数 $s_1(n)$ は、整数 $n$ の、最小のパーツが指定された一色の色のみで現れ、それより大きいすべてのパーツが二つの色のいずれか一方または両方の色で現れるという制約を持つ、二色の相異なるパーツへの分割数をカウントするものである。

Andrews と El Bachraoui は、以前に $s_1(n)$ のモジュロ 4 における完全な記述を確立したが、$T_o(q)$ の係数 $t_o(n)$ のパリティ（モジュロ 2）については未解決のまま残した。彼らは、$8n + 9$ が $p \equiv 5, 7 \pmod 8$ である素因数 $p$ を奇数乗で持つ場合（同値的に、$8n + 9$ が二次形式 $x^2 + 2y^2$ によって表現できない場合）、$t_o(n) \equiv 0 \pmod 2$ になると予想した。

手法
著者らは、古典的な $q$ 級数恒等式、モジュロ演算、および二次形式の理論を組み合わせて、この予想を解決し、さらなる合同式を導出する。

1. 級数の操作とモジュロ簡約:
   証明は、Euler の五角数定理および Andrews と El Bachraoui によって確立された恒等式を用いて、$2qT_o(q)$ を無限積と和の形で表すことから始まる。モジュロ 2 の下で作業することで、著者らは恒等式 $(q; q)_\infty^2 \equiv (q^2; q^2)_\infty \pmod 2$ を利用して、$T_o(q)$ の式を簡略化する。

2. 二次形式への接続:
   代数的な操作を通じて、係数 $t_o(n)$ は、特定の Diophantine 方程式（二次形式を含む）の整数解の数に関連付けられる。具体的には、$t_o(n)$ のパリティは、$2(6k+1)^2 + (12m+1)^2 = 3(8n+9)$ および関連する変種の解の可否に依存することが示される。

3. 表現論の適用:
   著者らは、二次形式 $x^2 + 2y^2$ による整数の表現数に関する古典的な結果を援用する。この結果は、整数 $N$ が $x^2 + 2y^2$ によって表現されないための必要十分条件は、その素因数分解に $q \equiv 5, 7 \pmod 8$ である素数 $q$ が奇数乗で含まれていることである。$3(8n+9)$ の素因数分解を分析することにより、著者らは、$8n + 9$ に関する条件が派生した Diophantine 方程式の解の不在を意味し、それによって $t_o(n)$ が偶数になることを証明する。

4. モジュロ 8 への拡張と密度:
   $s_1(n)$ に対するモジュロ 8 の無限族の合同式を証明するために、著者らは $S_1(q)$ の展開式と $T_o(q)$ の導出された展開式を組み合わせる。彼らは、特定の二次形式による $24n+3$ の表現数をカウントする項 $u(n)$ を分析する。Legendre 記号と素数 $p \equiv 5, 7 \pmod 8$ の評価の性質を用いることで、特定の算術級数において、関連する二次形式が解を持たないことを示す。最後に、密度に関する結果を確立するために、著者らは「疎（lacunary）」な冪級数（非ゼロの係数の密度がゼロである級数）に関する Landau の定理を適用し、$s_1(n)$ の構成要素が疎であることを論じる。

主要な貢献と結果

• 予想 1.2 の確認: 本論文の主要な結果は、Andrews と El Bachraoui の予想の証明である。著者らは、$8n + 9$ が $x^2 + 2y^2$ によって表現されない場合（すなわち、$8n + 9$ が $p \equiv 5, 7 \pmod 8$ である素因数 $p$ を奇数乗で持つ場合）、$t_o(n) \equiv 0 \pmod 2$ であることを確立した。
• モジュロ 8 の無限族の合同式: 本論文は、定理 1.4 を証明しており、これは $s_1(n)$ に対する無限族の合同式を提供する。任意の素数 $p \equiv 5, 7 \pmod 8$ および整数 $n, k \ge 0$ （ただし $p \nmid n$）に対して、以下が成立する：
  $$s_1\left(p^{2k+1}n + \frac{p^{2k+2}-1}{8}\right) \equiv 0 \pmod 8.$$
  著者らは、$p=5$ および $k=0$ の具体的な例を挙げ、$j \in \{0, 5, 10, 15\}$ に対して $s_1(25n + 8 + 5j) \equiv 0 \pmod 8$ となることを示している。
• 自然密度に関する結果: 本論文は定理 1.5 を証明しており、$s_1(n)$ が 8 で割り切れない整数の集合の自然密度がゼロであることを示している。言い換えれば、$s_1(n)/8$ は自然密度 1 で整数値をとる。

意義
本論文は、二色の相異なる分割および凹組成に関連する分割関数の算術的性質に関する特定の予想を解決した。奇数伴随級数の係数のパリティに関する Andrews と El Bachraoui の予想を解決することで、著者らは $S_1(q)$ の構造に関するより深い理解を提供している。さらに、モジュロ 8 の合同式と密度の結果の確立は、既知のモジュロ 4 の結果を超えて $s_1(n)$ の既知の算術的挙動を拡張するものである。

著者らは、今後の研究の自然な方向として、これらの合同式をより高い 2 の冪（モジュロ 16, 32 など）へ拡張すること、および固定された $k \ge 4$ に対して $s_1(n) \equiv 0 \pmod{2^k}$ となる整数の集合の算術的密度を決定することを挙げている。