A proof of Andrews-El Bachraoui's conjecture on the parity of coefficients of a $q$-series

Resumo Técnico: Uma Prova da Conjectura de Andrews-El Bachraoui sobre a Paridade dos Coeficientes de uma Série $q$

Enunciado do Problema
Este artigo aborda uma conjectura relativa à paridade dos coeficientes de uma série $q$ específica, $T_o(q)$, introduzida por Andrews e El Bachraoui. A série $T_o(q)$ é definida como o "companheiro ímpar" da função geradora $S_1(q)$ para uma função de partição $s_1(n)$. A função $s_1(n)$ conta o número de partições de duas cores de um inteiro $n$ em partes distintas, sujeita à restrição de que a menor parte ocorra em apenas uma cor prescrita, enquanto todas as partes maiores podem aparecer em uma ou em ambas as cores.

Andrews e El Bachraoui estabeleceram anteriormente uma descrição completa de $s_1(n)$ módulo 4. No entanto, deixaram em aberto a questão da paridade (módulo 2) dos coeficientes $t_o(n)$ da série $T_o(q)$. Eles conjecturaram que $t_o(n) \equiv 0 \pmod 2$ se o inteiro $8n + 9$ possuir um divisor primo $p \equiv 5, 7 \pmod 8$ elevado a um expoente ímpar (equivalentemente, se $8n + 9$ não puder ser representado pela forma quadrática $x^2 + 2y^2$).

Metodologia
Os autores empregam uma combinação de identidades clássicas de séries $q$, aritmética modular e a teoria de formas quadráticas para resolver a conjectura e derivar congruências adicionais.

1. Manipulação de Séries e Redução Modular:
   A prova começa utilizando o teorema dos números pentagonais de Euler e identidades estabelecidas por Andrews e El Bachraoui para expressar $2qT_o(q)$ em termos de produtos infinitos e somas. Ao trabalhar módulo 2, os autores simplificam a expressão para $T_o(q)$, utilizando a identidade $(q; q)_\infty^2 \equiv (q^2; q^2)_\infty \pmod 2$.

2. Conexão com Formas Quadráticas:
   Através de manipulação algébrica, o coeficiente $t_o(n)$ é relacionado ao número de soluções inteiras para equações diofantinas específicas envolvendo formas quadráticas. Especificamente, a paridade de $t_o(n)$ é mostrada para depender da solubilidade de equações da forma $2(6k+1)^2 + (12m+1)^2 = 3(8n+9)$ e variantes relacionadas.

3. Aplicação da Teoria de Representação:
   Os autores invocam um resultado clássico concernente ao número de representações de um inteiro pela forma quadrática $x^2 + 2y^2$. Este resultado afirma que um inteiro $N$ possui zero representações por $x^2 + 2y^2$ se, e somente se, sua fatoração prima contiver um primo $q \equiv 5, 7 \pmod 8$ elevado a uma potência ímpar. Ao analisar a fatoração prima de $3(8n+9)$, os autores demonstram que a condição sobre $8n+9$ implica a inexistência de soluções para as equações diofantinas derivadas, forçando assim $t_o(n)$ a ser par.

4. Extensão para Módulo 8 e Densidade:
   Para provar a família infinita de congruências módulo 8 para $s_1(n)$, os autores combinam a expressão para $S_1(q)$ com a expansão derivada de $T_o(q)$. Eles analisam o termo $u(n)$, que conta representações de $24n+3$ por formas quadráticas específicas. Usando propriedades do símbolo de Legendre e a valoração de primos $p \equiv 5, 7 \pmod 8$, eles mostram que, para progressões aritméticas específicas, as formas quadráticas relevantes não possuem soluções. Finalmente, para estabelecer o resultado de densidade, os autores aplicam um teorema de Landau sobre séries de potência "lacunares" (séries com densidade zero de coeficientes não nulos), argumentando que os componentes de $s_1(n)$ são lacunares.

Principais Contribuições e Resultados

• Confirmação da Conjectura 1.2: O principal resultado é a prova da conjectura de Andrews e El Bachraoui. Os autores estabelecem que, se $8n + 9$ não é representável por $x^2 + 2y^2$ (ou seja, possui um divisor primo $p \equiv 5, 7 \pmod 8$ com um expoente ímpar), então $t_o(n) \equiv 0 \pmod 2$.
• Família Infinita de Congruências Módulo 8: O artigo prova o Teorema 1.4, que fornece uma família infinita de congruências para $s_1(n)$. Para qualquer primo $p \equiv 5, 7 \pmod 8$ e inteiros $n, k \ge 0$ com $p \nmid n$, a seguinte relação ocorre:
  $$s_1\left(p^{2k+1}n + \frac{p^{2k+2}-1}{8}\right) \equiv 0 \pmod 8.$$
  Os autores fornecem um exemplo concreto com $p=5$ e $k=0$, mostrando que $s_1(25n + 8 + 5j) \equiv 0 \pmod 8$ para $j \in \{0, 5, 10, 15\}$.
• Resultado de Densidade Natural: O artigo prova o Teorema 1.5, demonstrando que o conjunto de inteiros $n$ para os quais $s_1(n)$ não é divisível por 8 tem uma densidade natural de zero. Em outras palavras, $s_1(n)/8$ assume valores inteiros com densidade natural 1.

Significado
O artigo confirma uma conjectura específica sobre as propriedades aritméticas de uma função de partição relacionada a partições distintas de duas cores e composições côncavas. Ao resolver a paridade dos coeficientes da série companheira ímpar $T_o(q)$, os autores proporcionam uma compreensão mais profunda da estrutura de $S_1(q)$. Além disso, o estabelecimento de congruências módulo 8 e o resultado de densidade estendem o comportamento aritmético conhecido de $s_1(n)$ além dos resultados previamente conhecidos módulo 4.

Os autores concluem observando que uma direção natural para pesquisas futuras é estender essas congruências para potências mais altas de 2 (módulos 16, 32, etc.) e determinar a densidade aritmética do conjunto de inteiros onde $s_1(n) \equiv 0 \pmod{2^k}$ para $k \ge 4$ fixo.