A proof of Andrews-El Bachraoui's conjecture on the parity of coefficients of a $q$-series

技术摘要：关于 Andrews-El Bachraoui 关于 $q$-级数系数奇偶性猜想的证明

问题陈述
本文探讨了关于由 Andrews 和 El Bachraoui 提出的特定 $q$-级数 $T_o(q)$ 的系数奇偶性的一个猜想。该级数 $T_o(q)$ 被定义为分配函数 $s_1(n)$ 的生成函数 $S_1(q)$ 的“奇伴随”（odd companion）函数。函数 $s_1(n)$ 计算的是将整数 $n$ 分解为两种颜色的不同部分（distinct parts）的分割数，其约束条件是最小部分仅以一种预设颜色出现，而所有较大的部分可以以两种颜色或两种颜色皆可的形式出现。

Andrews 和 El Bachraoui 此前已经建立了 $s_1(n)$ 模 4 的完整描述，但他们留下了关于 $T_o(q)$ 的级数系数 $t_o(n)$ 的奇偶性（模 2）的问题。他们猜想，若整数 $8n + 9$ 拥有一个幂次为奇数的素因子 $p \equiv 5, 7 \pmod 8$（等价于 $8n + 9$ 不能表示为二次型 $x^2 + 2y^2$），则 $t_o(n) \equiv 0 \pmod 2$。

方法论
作者结合了经典的 $q$-级数恒等式、模算术以及二次型理论来解决该猜想并推导进一步的同余关系。

1. 级数变形与模约减：
   证明始于利用欧拉五边数定理和 Andrews 与 El Bachraoui 建立的恒等式，将 $2qT_o(q)$ 表示为无穷乘积和无穷和的形式。通过在模 2 下进行运算，作者简化了 $T_o(q)$ 的表达式，并利用恒等式 $(q; q)_\infty^2 \equiv (q^2; q^2)_\infty \pmod 2$ 进行处理。

2. 与二次型的联系：
   通过代数变形，系数 $t_o(n)$ 被关联到涉及二次型的丢番图方程整数解的数量。具体而言，$t_o(n)$ 的奇偶性取决于方程 $2(6k+1)^2 + (12m+1)^2 = 3(8n+9)$ 及其相关变体形式的可解性。

3. 表示论的应用：
   作者引用了关于二次型 $x^2 + 2y^2$ 表示整数的一个经典结果。该结果指出，若一个整数 $N$ 不能被二次型 $x^2 + 2y^2$ 表示，当且仅当其素因子分解中包含一个幂次为奇数的素数 $q \equiv 5, 7 \pmod 8$。通过分析 $3(8n+9)$ 的素因子分解，作者证明了 $8n+9$ 的条件意味着派生的丢番图方程不存在解，从而迫使 $t_o(n)$ 为偶数。

4. 模 8 的扩展与密度：
   为了证明 $s_1(n)$ 模 8 的无穷系列同余式，作者将 $S_1(q)$ 的表达式与得到的 $T_o(q)$ 展开式相结合。他们分析了统计 $24n+3$ 被特定二次型表示的项 $u(n)$。利用勒让德符号（Legendre symbol）以及素数 $p \equiv 5, 7 \pmod 8$ 的赋值性质，他们证明了对于特定的算术级数，相关的二次型没有解。最后，为了建立密度结果，作者应用了 Landau 关于“稀疏”（lacunary）幂级数（即非零系数密度为零的级数）的定理，论证了 $s_1(n)$ 的组成部分是稀疏的。

主要贡献与结果

• 证实猜想 1.2： 本文的主要结果是证明了 Andrews 和 El Bachraoui 的猜想。作者确立了若 $8n + 9$ 不能由 $x^2 + 2y^2$ 表示（即它有一个幂次为奇数的素因子 $p \equiv 5, 7 \pmod 8$），则 $t_o(n) \equiv 0 \pmod 2$。
• 模 8 的无穷同余族： 本文证明了定理 1.4，该定理为 $s_1(n)$ 提供了一个无穷的模 8 同余族。对于任何素数 $p \equiv 5, 7 \pmod 8$ 以及整数 $n, k \ge 0$ 且 $p \nmid n$，以下结论成立：
  $$s_1\left(p^{2k+1}n + \frac{p^{2k+2}-1}{8}\right) \equiv 0 \pmod 8.$$
  作者提供了一个具体的例子，取 $p=5$ 且 $k=0$，显示对于 $j \in \{0, 5, 10, 15\}$，$s_1(25n + 8 + 5j) \equiv 0 \pmod 8$。
• 自然密度结果： 本文证明了定理 1.5，表明 $s_1(n)$ 不能被 8 整除的整数 $n$ 的集合具有自然密度为零。换言之，$s_1(n)/8$ 取整数值的自然密度为 1。

意义
本文证实了一个关于与双色不同部分及凹组合（concave compositions）相关的分割函数的算术性质的特定猜想。通过解决奇伴随级数 $T_o(q)$ 系数的奇偶性问题，作者对 $S_1(q)$ 的结构提供了更深层的理解。此外，建立模 8 同余式和密度结果，将 $s_1(n)$ 已知的算术行为从此前已知的模 4 结果扩展了出去。

作者在结论中指出，一个自然的未来研究方向是将这些同余式扩展到更高次幂的 2（模 16, 32 等），并确定对于固定的 $k \ge 4$，集合 $\{n \mid s_1(n) \equiv 0 \pmod{2^k}\}$ 的算术密度。