Explicit formula for the discrete Laplace transform of the Möbius function, related special functions, and a criterion for the Riemann hypothesis

기술 요약: 모비우스 함수(Möbius function)의 이산 라플라스 변환에 대한 명시적 공식

문제 정의
본 논문은 $\Phi(e^{-t}) = \sum_{n=1}^\infty \mu(n)e^{-nt}$로 정의되는 모비우스 함수의 이산 라플라스 변환에 대한 명시적 공식 유도를 다룬다. 메르텐스 함수(Mertens function, $\mu(n)$의 부분합)에 대한 명시적 공식(예: Titchmarsh의 정리 14.27)은 잘 확립되어 있으나, 리만 제타 함수의 단순 영점(simple zeros) 가설 하에서의 라플라스 변환 거동은 독특한 해석적 과제를 제시한다. 구체적으로, 저자는 $\Gamma(s)/\zeta(s)$의 멜린 역변환(Mellin inversion) 맥락에서 감마 함수 $\Gamma(s)$의 극(poles)이 리만 제타 함수 $\zeta(s)$의 자명한 영점(trivial zeros)과 어떻게 상호작용하는지를 조사한다.

방법론
핵심 방법론은 하디(Hardy)와 리틀우드(Littlewood)의 고전적 접근 방식을 따라 멜린 변환과 경로 적분 기법에 의존한다.

1. 멜린 표현식: 저자는 $\text{Re}(s) > 1$에 대해 $\Gamma(s)/\zeta(s) = \int_0^\infty \Phi(e^{-t})t^{s-1}dt$라는 항등식을 확립한다. 멜린 역변환 정리에 의해, $\Phi(e^{-x})$는 $\Gamma(s)x^{-s}/\zeta(s)$의 경로 적분으로 표현된다.
2. 경로 이동: 적분 경로를 $\text{Re}(s) = \sigma > 1$인 직선에서 $-\infty$를 향해 왼쪽으로 이동시킨다. 이 과정은 다음과 같이 피적분 함수의 특이점(singularities)에서의 유수(residues)를 계산하는 과정을 포함한다:
   • 비자명 영점 ($\rho$): 가설 (S)(모든 비자명 영점은 단순 영점이다)를 가정할 때, 이들은 단순 극을 기여한다.
   • 자명한 영점: 본 논문은 여기서 구조적 참신함을 식별한다. $\zeta(s)$의 자명한 영점은 음의 짝수 정수($s = -2, -4, \dots$)에서 발생하며, 이는 $\Gamma(s)$의 극과 일치한다. 이 충돌은 표준 메르텐스 공식에서 발견되는 단순 극이 아닌, **이중 극(double poles)**을 생성한다.
   • 홀수 음의 정수: 이는 $\Gamma(s)$는 극을 가지지만 $\zeta(s)$는 정칙(regular)이며 0이 아닌 지점에 대응하는 단순 극이다.
   • $s=0$에서의 영점: 단순 극 기여를 나타낸다.
3. 유수 계산:
   • 이중 극(음의 짝수 정수)에서의 유수는 로랑 전개(Laurent expansions)와 로그 미분법을 사용하여 계산되며, $\log(2\pi x)$, 디감마 함수($\psi$), 그리고 제타 함수의 도함수를 포함하는 항들을 드러낸다.
   • 비자명 영점에서의 유수는 단순성을 가정하여 로피탈의 법칙(L'Hôpital's rule)을 사용하여 계산된다.
4. 수렴 및 유계성: 경로 이동을 정당화하기 위해, 저자는 움직이는 수직선 상에서 $|\Gamma(s)|$에 대한 균등 하한(uniform lower bound)을 사용하는 데 노력하며(보조정리 5.1), 이는 표준 스티를링 점근식(Stirling asymptotics)이 실패하는 경로의 왼쪽 가장자리에서 적분을 제어하는 데 필수적이다. 제타 함수의 영점을 피하는 수평선을 선택하기 위해 티치마스(Titchmarsh)의 보조정리 5.2가 사용된다.
5. 급수 변환: 자명한 영점으로부터의 기여(공식의 "전함수(entire functions)" 부분)는 $\kappa, \beta, \lambda, \upsilon$의 멱급수 정의를 활용하여, 회전된 인수를 가진 베셀 함수(Bessel functions)의 절대 수렴하는 급수로 재표현된다.

주요 기여 및 결과

1. 명시적 공식 (정리 1.1):
   리만 제타 함수의 모든 비자명 영점이 단순하다는 가정(가설 S) 하에, 저자는 $x > 0$에 대하여 다음의 명시적 공식을 유도한다:
   $$\sum_{n=1}^\infty \mu(n)e^{-nx} = \sum_{\rho} \frac{\Gamma(\rho)x^{-\rho}}{\zeta'(\rho)} + \pi\kappa(x) + 2\lambda(x) + 4\upsilon(x) - 2\beta(x)\log(2\pi x) - 2$$
   여기서 합은 비자명 영점 $\rho$에 대한 대칭적 극한을 의미한다. $\kappa, \beta, \lambda, \upsilon$는 $\zeta(2m+1), \zeta(2m+2)$ 및 그 도함수들을 포함하는 멱급수로 정의된 전함수들이다.

   • 구조적 참신함: 항 $-2\beta(x)\log(2\pi x)$는 음의 짝수 정수에서의 이중 극으로부터 구체적으로 발생한다. 이러한 로그 구조는 자명한 영점이 단순 극만을 기여하는 고전적인 메르텐스 공식에는 존재하지 않는다.

2. 모비우스-베셀 전개 (정리 1.2):
   본 논문은 전함수 $\kappa, \beta, \lambda, \upsilon$에 대한 폐형식(closed-form) 표현을 회전된 인수를 가진 $J_0$ 베셀 함수의 모비우스 가중 급수($\sum \frac{\mu(k)}{k} \dots$)로서 제공한다. 예를 들어:
   $$\beta(x) + i\kappa(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\mu(k)}{k} \left( J_0\left(2e^{-i\pi/4}\sqrt{\frac{2\pi x}{k}}\right) - 1 \right)$$
   이는 자명한 영점의 기여가 리즈(Riesz) 및 하디-리틀우드(Hardy-Littlewood) 기준과 유사한 베셀 유형의 급수로 연결됨을 입증한다.

3. 리만 가설에 대한 기준 (정리 1.3):
   본 논문은 $x \to 0^+$일 때 $\Phi(e^{-x})$의 점근적 거동과 리만 가설(RH)을 연결하는 기준을 확립한다:

   • 무조건적 방향: 만약 $\sum \mu(n)e^{-nx} = O(x^{-1/2})$가 $x \to 0^+$일 때 성립하면, 리만 가설은 참이다. 이 방향은 영점의 단순성이나 합 $\sum |\Gamma(\rho)/\zeta'(\rho)|$의 수렴성에 대한 어떠한 가정도 필요로 하지 않는다.
   • 역방향: 만약 RH가 성립하고, 가설 (S)(단순 영점) 및 가설 (H)(합 $\sum |\Gamma(\rho)/\zeta'(\rho)|$의 절대 수렴)이 만족된다면, $O(x^{-1/2})$ 바운드가 성립한다.

의의 및 주장

본 논문은 세 가지 주요 기여를 주장한다:

1. 정확한 명시적 공식: 자명한 영점과 $\Gamma(s)$의 극이 충돌하여 이중 극과 뚜렷한 로그 항($-2\beta(x)\log(2\pi x)$)을 생성하는 공식을 제시한다. 이는 기존의 메르텐스형 공식에는 없는 특징이다.
2. 특수 함수에 대한 폐형식: 자명한 영점으로부터 발생하는 함수들이 모비우스 가중 베셀 급수로서 절대 수렴하는 표현을 가짐을 보여줌으로써, 고전적 기준들과의 유사성을 확장한다.
3. 정교화된 기준: "만약"의 방향이 무조건적인(unconditional) 리만 가설 기준을 제공한다. 이 증명은 특정 경로 변형 맥락에서 실패하는 고정된 가로선 점근법을 대체하는, 움직이는 선 상에서의 새로운 감마 함수 균등 하한(보조정리 5.1)에 의존한다.

저자는 이 방법론이 견고하다고 언급한다: 만약 가설 (S)가 거짓이라면, 공식은 영점의 다중도를 고려한 수정된 유수 항을 포함하여 무조건적으로 성립한다. 또한, 본 논문의 기법이 디리클레 L-함수(Dirichlet L-functions)로 확장될 수 있으며, 커널 $e^{-n^\alpha x}$의 유리수 지수 $\alpha$에 대해 로그 항이 일반적으로 나타날 것임을 시사한다.