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Explicit formula for the discrete Laplace transform of the Möbius function, related special functions, and a criterion for the Riemann hypothesis

Asumiendo la simplicidad de los ceros de la función zeta de Riemann, este artículo deriva una fórmula explícita para la transformada de Laplace discreta de la función de Möbius que involucra polos dobles provenientes de la colisión de ceros de Gamma y zeta, establece un criterio para la hipótesis de Riemann basado en la tasa de decaimiento de la transformada e introduce funciones enteras especiales con series de Bessel ponderadas por Möbius en forma cerrada.

Autores originales: Sergey Liflandsky

Publicado 2026-07-14

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CC BY 4.0

Autores originales: Sergey Liflandsky

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

Imagina la función zeta de Riemann, $\zeta(s)$ , como un instrumento musical gigante e invisible que guarda el código secreto de cómo los números primos se dispersan por el universo. Durante más de 150 años, los matemáticos han intentado escuchar la melodía exacta de este instrumento, específicamente para demostrar la Hipótesis de Riemann: la idea de que todas las "notas ocultas" (los ceros no triviales) de este instrumento están perfectamente afinadas en una línea de frecuencia única y específica.

En este artículo, Sergey Liflandsky utiliza una nueva herramienta para escuchar esta música: la Transformada de Laplace Discreta de la función de Möbius. Piensa en la función de Möbius, $\mu(n)$ , como un operador de conmutación cósmica que cambia los signos (+1, -1 o 0) basándose en los factores primos de un número. Liflandsky se pregunta: "¿Qué sucede si tomamos todos estos interruptores, los multiplicamos por una señal de decaimiento ( $e^{-nx}$ ) y los sumamos todos?".

El Gran Descubrimiento: Una Colisión de Mundos

El hallazgo principal del artículo es una fórmula explícita totalmente nueva para esta suma. Es como encontrar una llave maestra que desbloquea la suma utilizando dos conjuntos diferentes de información: los valores de la función zeta en puntos específicos y la ubicación de sus ceros ocultos.

Aquí está el giro que hace que este artículo sea especial. En fórmulas anteriores (como la de la función de Mertens), las matemáticas eran relativamente limpias. Los "polos" (lugares donde las matemáticas estallan) de una parte de la ecuación y los "ceros" (lugares donde la ecuación se anula) de otra parte permanecían separados.

Pero en esta nueva fórmula, chocan entre sí.

Liflandsky muestra que los polos de la función Gamma (una famosa función auxiliar matemática) colisionan con los "ceros triviales" de la función zeta. Es como dos trenes en curso de colisión que no solo se detienen, sino que se fusionan en un polo doble. Esta colisión crea un término nuevo, desordenado y hermoso en la fórmula: un término logarítmico que involucra a $\log(2\pi x)$ . Esta estructura nunca antes vista en este tipo de fórmulas. Es una huella dactilar única dejada por la colisión de estas fuerzas matemáticas.

La Sorpresa de "Bessel"

El artículo también introduce algunas "funciones enteras especiales" (objetos matemáticos que son suaves en todas partes) llamadas $\kappa$ , $\beta$ , $\lambda$ y $\upsilon$ . Estos no son nombres aleatorios; son el residuo matemático de esa colisión.

Liflandsky demuestra algo sorprendente sobre estas funciones: pueden escribirse como series absolutamente convergentes de funciones de Bessel. Para visualizarlo, imagina la función de Bessel como una onda en un estanque. El artículo muestra que estas funciones especiales son en realidad una pila perfecta y sin fin de estas ondas, ponderadas por la función de Möbius. Es como descubrir que una tormenta compleja y caótica está hecha en realidad de ondas rotatorias perfectamente ordenadas.

La Prueba de la Hipótesis de Riemann

La parte más emocionante es cómo esta fórmula actúa como un criterio (una prueba) para la Hipótesis de Riemann.

La vía de un solo sentido (Probada): El artículo demuestra que si la suma de estos interruptores de Möbius se comporta de una manera muy específica (encogiendo a una tasa de $O(x^{-1/2})$ a medida que $x$ se vuelve diminuto), entonces la Hipótesis de Riemann es definitivamente cierta. Esta dirección no requiere suposiciones adicionales; es un hecho matemático sólido. Si ves que la suma se encoge con esa rapidez, los ceros deben estar en la línea crítica.
La vía de doble sentido (Condicional): El artículo argumenta que el proceso inverso también es cierto: si la Hipótesis de Riemann es cierta (y asumimos que los ceros son simples y no se acercan demasiado a cero), entonces la suma se encogerá a esa tasa específica. Sin embargo, esta dirección depende de algunas suposiciones adicionales sobre cómo se comportan los ceros, las cuales son ampliamente aceptadas pero aún no han sido probadas.

Lo que el Artículo Descarta

El artículo descarta explícitamente la idea de que esta nueva fórmula sea solo un pequeño ajuste de las anteriores. Enfatiza que el término logarítmico ( $\log(2\pi x)$ ) es una característica estructural que no puede encontrarse en las fórmulas clásicas para la función de Mertens. Las fórmulas antiguas tenían polos simples; esta tiene polos dobles. Las matemáticas son fundamentalmente diferentes.

¿Qué tan seguros estamos?

La Fórmula: La fórmula explícita (1.18) está probada, pero depende de la suposición de que todos los ceros no triviales son "simples" (es decir, que no hay dos ceros situados exactamente uno encima del otro). Esta es una suposición estándar respaldada por cálculos numéricos masivos (hasta $3 \cdot 10^{12}$ ), pero aún no se ha demostrado matemáticamente. Si un cero fuera "doble", la fórmula necesitaría un ligero ajuste, pero la lógica central seguiría siendo válida.
El Criterio: La dirección "La suma se encoge rápido $\rightarrow$ la Hipótesis de Riemann es cierta" está probada incondicionalmente. No se necesitan conjeturas adicionales.
El Reverso: La dirección "La Hipótesis de Riemann es cierta $\rightarrow$ la suma se encoge rápido" es condicional. Se cumple si asumimos que los ceros son simples y no se acercan demasiado a cero (Hipótesis H).

La Conclusión

Liflandsky aún no ha resuelto la Hipótesis de Riemann. En su lugar, ha construido un detector nuevo y altamente sensible. Ha descubierto que la forma en que la función de Möbius decae está profundamente ligada a la geometría de los ceros de la función zeta. El descubrimiento del polo doble y el resultante término logarítmico es una pieza nueva del rompecabezas que antes era invisible. Es un paso adelante riguroso y probado que ofrece una nueva forma incondicional de probar si la Hipótesis de Riemann es cierta, siempre que podamos medir esa suma con la suficiente precisión.

Resumen Técnico: Fórmula Explícita para la Transformada de Laplace Discreta de la Función de Möbius

Planteamiento del Problema
El artículo aborda la derivación de una fórmula explícita para la transformada de Laplace discreta de la función de Möbius, definida como $\Phi(e^{-t}) = \sum_{n=1}^\infty \mu(n)e^{-nt}$ . Si bien existen fórmulas explícitas para la función de Mertens (las sumas parciales de $\mu(n)$ ) bien establecidas (por ejemplo, el Teorema de Titchmarsh 14.27), el comportamiento de la transformada de Laplace bajo el supuesto de ceros simples de la función zeta de Riemann presenta desafíos analíticos únicos. Específicamente, el autor investiga cómo los polos de la función Gamma $\Gamma(s)$ interactúan con los ceros triviales de la función zeta de Riemann $\zeta(s)$ en el contexto de la inversión de Mellin de $\Gamma(s)/\zeta(s)$ .

Metodología
La metodología central se basa en la transformada de Mellin y técnicas de integración de contorno, siguiendo el enfoque clásico de Hardy y Littlewood.

Representación de Mellin: El autor establece la identidad $\Gamma(s)/\zeta(s) = \int_0^\infty \Phi(e^{-t})t^{s-1}dt$ para $\text{Re}(s) > 1$ . Mediante el teorema de inversión de Mellin, $\Phi(e^{-x})$ se representa como una integral de contorno de $\Gamma(s)x^{-s}/\zeta(s)$ .
Desplazamiento del Contorno: El contorno de integración se desplaza desde la línea $\text{Re}(s) = \sigma > 1$ $Re (s) = σ > 1$ hacia la izquierda, hacia $-\infty$ $- \infty$ . Este proceso implica el cálculo de los residuos del integrando en sus singularidades:
- Ceros no triviales ( $\rho$ ): Bajo el supuesto de la Hipótesis (S) (todos los ceros no triviales son simples), estos contribuyen con polos simples.
- Ceros triviales: El artículo identifica una novedad estructural aquí. Los ceros triviales de $\zeta(s)$ ocurren en enteros negativos pares ( $s = -2, -4, \dots$ ), los cuales coinciden con los polos de $\Gamma(s)$ . Esta colisión crea polos dobles en el integrando, en lugar de los polos simples encontrados en las fórmulas estándar de Mertens.
- Enteros negativos impares: Estos corresponden a polos simples donde $\Gamma(s)$ tiene un polo pero $\zeta(s)$ es regular y no nula.
- Cero en $s=0$ : Una contribución de polo simple.
Cálculo de Residuos:
- Los residuos en los polos dobles (enteros negativos pares) se calculan utilizando expansiones de Laurent y derivadas logarítmicas, revelando términos que involucran $\log(2\pi x)$ , la función digamma $\psi$ y derivadas de la función zeta.
- Los residuos en los ceros no triviales se calculan utilizando la regla de L'Hôpital bajo la suposición de simplicidad.
Convergencia y Acotaciones: Para justificar el desplazamiento del contorno, el autor emplea una cota inferior uniforme para $|\Gamma(s)|$ en líneas verticales móviles (Lema 5.1), lo cual es crucial para controlar la integral en el borde izquierdo del contorno donde las asíntotas de Stirling estándar fallan. Se utiliza el Lema 5.2 (Titchmarsh) para seleccionar líneas horizontales que eviten los ceros de $\zeta(s)$ .
Transformación de Series: Las contribuciones de los ceros triviales (la parte de las "funciones enteras" de la fórmula) se reexpresan como series absolutamente convergentes de funciones de Bessel con argumentos rotados, utilizando las definiciones de series de potencias de $\kappa, \beta, \lambda, \upsilon$ .

Contribuciones Clave y Resultados

Fórmula Explícita (Teorema 1.1):
Bajo el supuesto de que todos los ceros no triviales de $\zeta(s)$ son simples (Hipótesis S), el artículo deriva la siguiente fórmula explícita para $x > 0$ :
$\sum_{n=1}^\infty \mu(n)e^{-nx} = \sum_{\rho} \frac{\Gamma(\rho)x^{-\rho}}{\zeta'(\rho)} + \pi\kappa(x) + 2\lambda(x) + 4\upsilon(x) - 2\beta(x)\log(2\pi x) - 2$
donde la suma sobre $\rho$ es un límite simétrico sobre los ceros no triviales. Las funciones $\kappa, \beta, \lambda, \upsilon$ son funciones enteras definidas por series de potencias que involucran $\zeta(2m+1)$ , $\zeta(2m+2)$ y sus derivadas.
- Novedad Estructural: El término $-2\beta(x)\log(2\pi x)$ surge específicamente de los polos dobles en los enteros negativos pares. Esta estructura logarítmica está ausente en la fórmula explícita clásica para la función de Mertens, donde los ceros triviales contribuyen solo con polos simples.
Expansiones de Möbius–Bessel (Teorema 1.2):
El artículo proporciona expresiones de forma cerrada para las funciones enteras $\kappa, \beta, \lambda, \upsilon$ como series de funciones de Bessel $J_0$ con argumentos rotados ( $2e^{-i\pi/4}\sqrt{2\pi x/k}$ ) ponderadas por la función de Möbius, que son absolutamente convergentes. Por ejemplo:
$\beta(x) + i\kappa(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\mu(k)}{k} \left( J_0\left(2e^{-i\pi/4}\sqrt{\frac{2\pi x}{k}}\right) - 1 \right)$
Esto establece un vínculo directo entre las contribuciones de los ceros triviales y las funciones de tipo Bessel análogas a las de los criterios de Riesz y Hardy-Littlewood.
Criterio para la Hipótesis de Riemann (Teorema 1.3):
El artículo establece un criterio que vincula el comportamiento asintótico de $\Phi(e^{-x})$ cuando $x \to 0^+$ con la Hipótesis de Riemann (HR):
- Dirección Incondicional: Si $\sum \mu(n)e^{-nx} = O(x^{-1/2})$ cuando $x \to 0^+$ , entonces la Hipótesis de Riemann es verdadera. Esta dirección no requiere supuestos sobre la simplicidad de los ceros o la convergencia de la suma de los ceros.
- Dirección Conversa: Si la HR se cumple, junto con la Hipótesis (S) (ceros simples) y la Hipótesis (H) (convergencia absoluta de la suma $\sum |\Gamma(\rho)/\zeta'(\rho)|$ ), entonces la cota $O(x^{-1/2})$ se cumple.

Significado y Reivindicaciones
El artículo reivindica tres contribuciones primarias:

La Fórmula Explícita Exacta: Presenta una fórmula donde la colisión de los polos de $\Gamma(s)$ con los ceros triviales genera polos dobles y un término logarítmico distintivo ( $-2\beta(x)\log(2\pi x)$ ), una característica no presente en las fórmulas previas de tipo Mertens.
Formas Cerradas para Funciones Especiales: Demuestra que las funciones que surgen de los ceros triviales admiten representaciones absolutamente convergentes como series de Bessel ponderadas por Möbius, extendiendo la analogía con los criterios clásicos.
Un Criterio Refinado: Proporciona un criterio para la Hipótesis de Riemann donde la dirección "si" es incondicional. La prueba se basa en una nueva cota inferior uniforme para la función Gamma en líneas móviles (Lema 5.1), que reemplaza las asíntotas de abscisa fija que fallan en este contexto específico de deformación de contorno.

El autor señala que el método es robusto: si la Hipótesis (S) es falsa, la fórmula se mantiene incondicionalmente con términos de residuo modificados que dan cuenta de las multiplicidades de los ceros. El artículo también sugiere que estas técnicas se extienden a las funciones L de Dirichlet y que los términos logarítmicos aparecen generalmente para exponentes racionales en el núcleo $e^{-n^\alpha x}$ .