Explicit formula for the discrete Laplace transform of the Möbius function, related special functions, and a criterion for the Riemann hypothesis

技術要約：メビウス関数の離散ラプラス変換の陽公式

問題提起
本論文は、$\Phi(e^{-t}) = \sum_{n=1}^\infty \mu(n)e^{-nt}$ と定義されるメビウス関数の離散ラプラス変換の陽公式の導出を扱う。メルテンス関数（$\mu(n)$ の部分和）の陽公式（例：ティッチマーズの定理 14.27）は確立されているが、リーマン・ゼータ関数の単純な零点を仮定した場合のラプラス変換の挙動は、特有の解析的な課題を提示する。具体的には、著者は $\Gamma(s)/\zeta(s)$ のメリン反転において、ガンマ関数 $\Gamma(s)$ の極がリーマン・ゼータ関数 $\zeta(s)$ の自明な零点とどのように相互作用するかを調査している。

手法
中核となる手法は、ハーディとリトルウッドの古典的なアプローチに従った、メリン変換と輪郭積分技術に基づいている。

1. メリン表現: 著者は $\text{Re}(s) > 1$ において $\Gamma(s)/\zeta(s) = \int_0^\infty \Phi(e^{-t})t^{s-1}dt$ という恒等式を確立する。メリン反転定理により、$\Phi(e^{-x})$ は $\Gamma(s)x^{-s}/\zeta(s)$ の輪郭積分として表される。
2. 輪郭のシフト: 積分輪郭を $\text{Re}(s) = \sigma > 1$ の直線から、$-\infty$ に向かって左側へシフトさせる。このプロセスでは、被積分関数の特異点における留数を計算する：
   • 非自明な零点 ($\rho$): 仮説 (S)（すべての非自明な零点は単純である）を仮定すると、これらは単純な極として寄与する。
   • 自明な零点: 本論文ではここでの構造的な新規性を特定している。$\zeta(s)$ の自明な零点は負の偶整数 ($s = -2, -4, \dots$) に発生し、これは $\Gamma(s)$ の極と一致する。この衝突により、標準的なメルテンスの公式で見られる単純な極ではなく、二重極が生成される。
   • 奇数の負の整数: これらは、$\Gamma(s)$ が極を持つが $\zeta(s)$ が正則かつ非ゼロである場所における単純な極に対応する。
   • $s=0$ における零点: 単純な極の寄与。
3. 留数計算:
   • 二重極（負の偶整数）における留数は、ローラン展開と対数微分を用いて計算され、$\log(2\pi x)$、ディガンマ関数 $\psi$、およびゼータ関数の導関数を含む項を明らかにする。
   • 非自明な零点における留数は、単純性を仮定した下でロピタルの法則を用いて計算される。
4. 収束と評価: 輪郭のシフトを正当化するために、著者は移動する垂直線上での $|\Gamma(s)|$ の一様下界（補題 5.1）を用いている。これは、標準的なスティルティングの漸近挙動が失敗する、輪郭の左端における積分の制御に極めて重要である。また、$\zeta(s)$ の零点を避ける水平線を選択するために、ティッチマーズの補題 5.2 が使用される。
5. 級数変換: 自明な零点からの寄与（公式の「整関数」部分）は、$\kappa, \beta, \lambda, \upsilon$ の冪級数定義を利用して、回転した引数を持つベッセル関数の絶対収束する級数として再構成される。

主要な貢献と結果

1. 陽公式 (定理 1.1):
   リーマン・ゼータ関数のすべての非自明な零点が単純であるという仮定（仮説 S）の下で、著者は $x > 0$ に対して以下の陽公式を導出する：
   $$\sum_{n=1}^\infty \mu(n)e^{-nx} = \sum_{\rho} \frac{\Gamma(\rho)x^{-\rho}}{\zeta'(\rho)} + \pi\kappa(x) + 2\lambda(x) + 4\upsilon(x) - 2\beta(x)\log(2\pi x) - 2$$
   ここで、$\rho$ に関する和は非自明な零点に関する対称極限である。$\kappa, \beta, \lambda, \upsilon$ は、$\zeta(2m+1), \zeta(2m+2)$ およびそれらの導関数を含む冪級数によって定義される整関数である。

   • 構造的新規性: 項 $-2\beta(x)\log(2\pi x)$ は、負の偶整数における二重極から特異的に生じるものである。この対数構造は、自明な零点が単純な極のみを寄与する古典的なメルテンス関数の陽公式には存在しない。

2. メビウス–ベッセル展開 (定理 1.2):
   本論文は、整関数 $\kappa, \beta, \lambda, \upsilon$ の閉形式の表現を、回転した引数 ($2e^{-i\pi/4}\sqrt{2\pi x/k}$) を持つベッセル関数 $J_0$ の絶対収束するメビウス重み付き級数として提供する。例えば：
   $$\beta(x) + i\kappa(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\mu(k)}{k} \left( J_0\left(2e^{-i\pi/4}\sqrt{\frac{2\pi x}{k}}\right) - 1 \right)$$
   これは、リースの基準やハーディ・リットルウッドの基準との類似性を拡張し、自明な零点の寄与とベッセル型関数との間の直接的な関連を確立している。

3. リーマン予想の判定基準 (定理 1.3):
   本論文は、$x \to 0^+$ における $\Phi(e^{-x})$ の漸近挙動とリーマン予想 (RH) を結びつける判定基準を確立している：

   • 無条件の方向: もし $\sum \mu(n)e^{-nx} = O(x^{-1/2})$ が $x \to 0^+$ で成り立つならば、リーマン予想は真である。この方向は、零点の単純性や和 $\sum |\Gamma(\rho)/\zeta'(\rho)|$ の収束に関する仮定を必要としない。
   • 逆の方向: もし RH が成立し、かつ仮説 (S)（単純な零点）および仮説 (H)（和 $\sum |\Gamma(\rho)/\zeta'(\rho)|$ の絶対収束）が成り立つならば、バウンド $O(x^{-1/2})$ が成立する。

意義と主張
著者は、主に3つの貢献を主張している：

1. 正確な陽公式: 彼は、$\Gamma(s)$ の極と自明な零点の衝突が二重極と独特な対数項（$-2\beta(x)\log(2\pi x)$）を生成するという、これまでのメルテンス型の公式には見られない特徴を持つ公式を提示している。
2. 特殊関数の閉形式: 自明な零点から生じる関数が、ベッセル級数のメビウス重み付き表現として絶対収束することを示しており、古典的な基準の類似性を拡張している。
3. 洗練された判定基準: 「もし」の方向が無条件である、リーマン予想の判定基準を提供している。その証明は、移動する直線上のガンマ関数の新しい一様下界（補題 5.1）に依拠しており、これはこの特定の輪郭変形コンテキストにおいて失敗する固定絶対値の漸近挙動に代わるものである。

著者は、この手法が堅牢であることを述べている。仮に仮説 (S) が偽であれば、公式は修正された留数項（零点の多重度を考慮したもの）を伴って無条件に成立する。また、これらの手法はディリクレ・エル（L）関数にも拡張可能であり、カーネル $e^{-n^\alpha x}$ における有理数指数に対して対数項が一般的に現れることも示唆している。