Explicit formula for the discrete Laplace transform of the Möbius function, related special functions, and a criterion for the Riemann hypothesis

技术摘要：莫比乌斯函数离散拉普拉斯变换的显式公式

问题陈述
本文旨在推导莫比乌斯函数离散拉普拉斯变换的显式公式，该变换定义为 $\Phi(e^{-t}) = \sum_{n=1}^\infty \mu(n)e^{-nt}$。虽然梅滕斯函数（Mertens function，即 $\mu(n)$ 的部分和）的显式公式已有成熟的研究（例如 Titchmarsh 定理 14.27），但在假设黎曼 $\zeta$ 函数零点均为单零点的条件下，拉普拉斯变换的行为呈现出独特的解析挑战。具体而言，作者研究了在 $\Gamma(s)/\zeta(s)$ 的梅林反演过程中，$\Gamma(s)$ 的极点如何与 $\zeta(s)$ 的平凡零点发生相互作用。

方法论
核心方法论依赖于梅林变换（Mellin transform）和围道积分技术，遵循 Hardy 和 Littlewood 的经典方法。

1. 梅林表示： 作者建立了恒等式 $\Gamma(s)/\zeta(s) = \int_0^\infty \Phi(e^{-t})t^{s-1}dt$，其中 $\text{Re}(s) > 1$。根据梅林反转定理，$\Phi(e^{-x})$ 可表示为 $\Gamma(s)x^{-s}/\zeta(s)$ 的围道积分。
2. 围道平移： 积分围道从 $\text{Re}(s) = \sigma > 1$ 的直线向左平移至 $-\infty$。这一过程涉及计算积分函数在奇异点处的留数：
   • 非平凡零点 ($\rho$)： 在假设 (S)（所有非平凡零点均为单零点）下，这些零点贡献单极点。
   • 平凡零点： 本文在此处识别了一种结构上的新颖性。$\zeta(s)$ 的平凡零点位于负偶整数处（$s = -2, -4, \dots$），这与 $\Gamma(s)$ 的极点相重合。这种碰撞在积分函数中产生了二阶极点，而非标准梅滕斯公式中常见的单极点。
   • 奇负整数： 这些点对应于 $\Gamma(s)$ 具有极点但 $\zeta(s)$ 正则且非零的单极点。
   • $s=0$ 处的零点： 贡献一个单极点。
3. 留数计算：
   • 对于二阶极点（负偶整数）的留数，通过洛朗展开和对数导数进行计算，揭示了包含 $\log(2\pi x)$、Digamma 函数 $\psi$ 以及 $\zeta$ 函数导数的项。
   • 在假设单零点的条件下，利用 L'Hôpital 法则计算非平凡零点的留数。
4. 收敛性与界限： 为了证明围道平移的正当性，作者采用了在移动垂直线上 $\Gamma(s)$ 的一致下界（引理 5.1），这对于控制在标准 Stirling 渐近失效的左侧边缘积分至关重要。引理 5.2 (Titchmarsh) 被用于选择避开 $\zeta(s)$ 零点的水平线。
5. 级数变换： 来自平凡零点的贡献（即公式中的“整函数”部分）被重新表示为旋转参数下的 Bessel 函数的绝对收敛级数，其中利用了 $\kappa, \beta, \lambda, \upsilon$ 的幂级数定义。

主要贡献与结果

1. 显式公式 (定理 1.1)：
   在假设所有非平凡零点均为单零点（假设 S）的前提下，本文推导了对于 $x > 0$ 的如下显式公式：
   $$\sum_{n=1}^\infty \mu(n)e^{-nx} = \sum_{\rho} \frac{\Gamma(\rho)x^{-\rho}}{\zeta'(\rho)} + \pi\kappa(x) + 2\lambda(x) + 4\upsilon(x) - 2\beta(x)\log(2\pi x) - 2$$
   其中求和是对非平凡零点 $\rho$ 的对称极限。函数 $\kappa, \beta, \lambda, \upsilon$ 是由涉及 $\zeta(2m+1), \zeta(2m+2)$ 及其导数的幂级数定义的整函数。

   • 结构新颖性： 项 $-2\beta(x)\log(2\pi x)$ 特别源于负偶整数处的二阶极点。这种对数结构在经典的梅滕斯函数显式公式中是不存在的，因为在那种情况下平凡零点仅贡献单极点。

2. 莫比乌斯–贝塞尔展开 (定理 1.2)：
   本文提供了整函数 $\kappa, \beta, \lambda, \upsilon$ 的闭合形式表达式，这些表达式是带有旋转参数（$2e^{-i\pi/4}\sqrt{2\pi x/k}$）的 $J_0$ Bessel 函数的绝对收敛的莫比乌斯加权级数。例如：
   $$\beta(x) + i\kappa(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\mu(k)}{k} \left( J_0\left(2e^{-i\pi/4}\sqrt{\frac{2\pi x}{k}}\right) - 1 \right)$$
   这建立了平凡零点贡献与类似于 Riesz 和 Hardy-Littlewood 判据的 Bessel 型函数之间的直接联系。

3. 黎曼假设判据 (定理 1.3)：
   本文建立了一个将 $\Phi(e^{-x})$ 当 $x \to 0^+$ 时的渐近行为与黎曼假设 (RH) 联系起来的判据：

   • 无条件方向： 如果当 $x \to 0^+$ 时 $\sum \mu(n)e^{-nx} = O(x^{-1/2})$，则黎曼假设成立。这一方向不需要关于零点单性或零和收敛性的任何假设。
   • 逆方向： 如果 RH 成立，且同时满足假设 (S)（单零点）和假设 (H)（级数 $\sum |\Gamma(\rho)/\zeta'(\rho)|$ 绝对收敛），则界限 $O(x^{-1/2})$ 成立。

意义与主张

本文声称有三个主要贡献：

1. 精确的显式公式： 它提出了一个公式，其中 $\Gamma(s)$ 极点与平凡零点的碰撞产生了二阶极点以及一个独特的对数项（$-2\beta(x)\log(2\pi x)$），这一特征在以往的梅滕斯型公式中并未出现。
2. 特殊函数的闭合形式： 它证明了由平凡零点产生的函数可以表示为绝对收敛的莫比乌斯加权 Bessel 级数，扩展了与经典判据的类比。
3. 更精细的判据： 它提供了一个关于黎曼假设的判据，其中“若”方向是无条件的。其证明依赖于一种新的 $\Gamma$ 函数在移动线上的一致下界（引理 5.1），该下界取代了在特定的围道变形语境下会失效的固定横截面渐近性质。

作者指出该方法具有鲁棒性：如果假设 (S) 不成立，该公式在考虑了零点重数并修改留数项后依然成立。论文还表明这些技术可以推广到狄利克雷 L-函数，并且对于核函数 $e^{-n^\alpha x}$ 中的有理指数，对数项也会出现。