On the distribution of $\phi(\psi(n))$ and $\psi(\psi(n))$

기술적 요약: $\phi(\psi(n))$ 및 $\psi(\psi(n))$의 분포에 관하여

문제 정의
본 논문은 데데킨트(Dedekind)의 산술 함수 $\psi(n)$과 오일러의 토티언트(Euler's totient) 함수 $\phi(n)$의 합성 함수에 관한 분포적 특성을 조사한다. 구체적으로, 저자는 합성 함수 $\phi(\psi(n))$ 및 $\psi(\psi(n))$가 기대되는 선형적 성장으로부터 벗어나는 정수 $n \le x$의 빈도를 분석한다.

$\phi(n)$과 $\psi(n)$은 곱셈적(multiplicative)이지만, 이들의 합성은 일반적으로 이 성질을 상실하며, 따라서 고전적인 곱셈적 함수 이론을 적용할 수 없다. Sándor [8, 9]의 선행 연구는 임의의 고정된 $c > 0$에 대하여, 집합 $\{n \le x : \phi(\psi(n)) \ge cn\}$와 $\{n \le x : \psi(\psi(n)) \le cn\}$의 점근적 밀도가 0임을 보여줌으로써 질적 밀도 결과를 확립하였다. 이러한 결과들은 질적(qualitative)인 수준에 머물렀으며, 이 "예외적 집합(exceptional sets)"의 크기에 대한 양적 추정치는 제한적이었다. 본 논문은 이러한 예외적 집합들에 대한 명시적인 상한(upper bounds)을 제공함으로써 Sándor의 밀도 결과를 정교화하는 것을 목표로 한다.

방법론
저자는 Dixit와 Bhattacharjee [2]가 $\phi(\sigma(n))$을 연구할 때 사용했던 체론적(sieve-theoretic) 방법론을 응용한다. 핵심 전략은 내부 함수(구체적으로 $\psi(n)$)가 특정 작은 소수 인수를 생략하는 정수 $n$들을 분석하는 것이다.

주요 기술적 구성 요소는 다음과 같다:

1. 체 추정(Sieve Estimates): 증명은 특정 소수 $p$가 $\psi(n)$을 나누지 않는 정수 $n \le x$의 개수를 바운딩하는 것에 의존한다. 이를 $T_p(x) = \#\{n \le x : p \nmid \psi(n)\}$로 표기한다.
2. 보조정리 2.4 (Lemma 2.4): 결정적인 보조정리는 임의의 소수 $p$와 충분히 큰 $x$에 대하여, $T_p(x) \ll x \left(\frac{\log_2 x}{\log x}\right)^{\frac{1}{p-1}}$임을 확립한다. 이 바운드는 만약 $q \equiv -1 \pmod p$이고 $q \mid n$이면 $p \mid \psi(n)$이라는 관찰로부터 도출된다. 결과적으로, $p \nmid \psi(n)$이면 $n$은 $q \equiv -1 \pmod p$인 소인수를 갖지 않아야 한다. 이러한 소수들의 밀도를 추정하기 위해 지겔-왈피스(Siegel-Walfisz) 정리가 사용된다.
3. 소수의 곱: 저자는 $P(z) = \prod_{p \le z} p$를 정의한다. 저자는 만약 $P(z) \mid \psi(n)$이면, $\phi(\psi(n))$이 $\psi(n)$보다 현저히 작아지는 반면(항 $(1-1/p)$의 곱으로 인해), $\psi(\psi(n))$은 $\psi(n)$보다 현저히 커진다는 사실(항 $(1+1/p)$의 곱으로 인해)을 활용한다.
4. 부분 합산(Partial Summation): $\sum_{n \le x} \psi(n)/n$의 합은 $\sum \psi(n)$에 대한 알려진 점근식을 사용하여 $\psi(n)$이 "크거나" "작은" $n$의 비율을 제한하는 데 사용된다.

주요 기여 및 결과

• $\phi(\psi(n))$에 대한 양적 바운드 (정리 1.1):
  본 논문은 $\phi(\psi(n)) \ge cn$인 예외적 집합에 대한 명시적인 상한을 제공한다. 모든 $c > 0$에 대하여:
  $$\#\{n \le x : \phi(\psi(n)) \ge cn\} \le \frac{15x}{\pi^2 c \log_4 x} + O\left(\frac{x \log_3 x}{(\log x)^{1/(\log_3 x \log_4 x)}}\right)$$
  이는 예외적 집합이 단순히 $o(x)$일 뿐만 아니라, 대략 $x/\log_4 x$의 비율로 감소함을 보여줌으로써 Sándor의 질적 결과를 정교화한다.

• 느리게 변하는 임계값과의 정교화 (정리 1.2):
  저자는 비감소 함수(non-decreasing function) $g(x)$로 결과를 확장한다. 만약 $g(x) = o(\log_4 x)$이면, 집합 $G_g(x) = \{n \le x : \phi(\psi(n)) \ge n/g(n)\}$는 다음을 만족한다:
  $$|G_g(x)| = O\left(\frac{xg(x)}{\log_4 x} + \frac{x \log_3 x}{(\log x)^{1/(\log_3 x \log_4 x)}}\right) = o(x)$$

• $\psi(\psi(n))$의 분포 (정리 1.3):
  본 논문은 임의의 고정된 $c > 0$에 대하여, $\psi(\psi(n)) \le cn$인 정수의 집합이 점근적 밀도 0을 가짐을 증명한다. 증명 과정에서 $\psi(\psi(n)) \le cn$이면, $\psi(n)$은 작은 소수들의 곱 $P(z)$($z$는 $c$에 의존함)를 생략해야 함을 보여준다. 체 추정치를 사용하여, 이 집합의 크기는 $o(x)$임이 밝혀진다.

• 고차 반복(Higher Iterates)으로의 일반화 (따름정리 1.1):
  임의의 고정된 $k \ge 2$에 대하여, 집합 $\{n \le x : \psi^{(k)}(n) \le cn\}$ 또한 점근적 밀도 0을 가짐을 보인다. 이는 $\psi^{(k)}(n) \ge \psi(\psi(n))$이기 때문이다.

의의 및 주장
본 논문은 합성 함수 $\phi(\psi(n))$ 및 $\psi(\psi(n))$와 관련된 예외적 집합에 대한 양적 추정치를 제공하여, 이전의 질적 밀도 결과를 정교화한다. 질적 밀도($o(x)$)에서 반복 로그를 포함하는 명시적 상한으로 넘어감으로써, 이 작업은 이러한 산술 함수들의 분포에 대해 더 정밀한 이해를 제공한다.

저자는 자신들의 양적 바운드가 $T_p(x)$에 대한 체 추정치에 본질적으로 의존한다고 언급한다. 저자들은 이 특정 체 추정치에서 상당한 개선이 이루어진다면 예외적 집합에 대한 더 날카로운 바운드로 직접 이어질 것이라고 제안한다. 비고(remarks)에서 $\psi(\sigma(n))$의 합성 함수에 대해서도 유사한 밀도 0 결과가 도출될 수 있음을 언급하였으나, 주요 양적 분석과 범위는 $\phi(\psi(n))$ 및 $\psi(\psi(n))$에 명시적으로 국한시킨다. 저자는 이러한 합성 함수들의 정규 차수(normal orders)를 결정하고 예외적 집합에 대한 더 정밀한 추정치를 얻는 것이 여전히 흥미로운 미해결 과제로 남아 있다고 결론짓는다.