On the distribution of $\phi(\psi(n))$ and $\psi(\psi(n))$

技术摘要：关于 $\phi(\psi(n))$ 与 $\psi(\psi(n))$ 的分布

问题陈述
本文研究了涉及 Dedekind 算术函数 $\psi(n)$ 与欧拉 $\phi$ 函数的复合函数的分布性质。具体而言，作者分析了使得复合函数 $\phi(\psi(n))$ 和 $\psi(\psi(n))$ 偏离预期线性增长的整数 $n \le x$ 的频率。

虽然 $\phi(n)$ 和 $\psi(n)$ 是积性函数，但它们的复合函数通常会失去这一性质，使得经典的积性函数理论不再适用。Sándor [8, 9] 的先前工作建立了定性的密度结果，表明对于任何固定的 $c > 0$，集合 $\{n \le x : \phi(\psi(n)) \ge cn\}$ 和 $\{n \le x : \psi(\psi(n)) \le cn\}$ 的渐近密度为零。然而，这些结果是定性的；这些“异常集”的大小仍缺乏定量的估计。本文旨在为这些集合提供显式上界，从而完善 Sándor 的密度结果。

方法论
作者借鉴了 Dixit 和 Bhattacharjee [2] 在研究 $\phi(\sigma(n))$ 时所使用的筛法理论方法。核心策略是分析那些内层函数（特别是 $\psi(n)$）忽略了某些小素数因子的整数 $n$。

关键技术组成部分包括：

1. 筛估计： 证明依赖于对满足特定素数 $p$ 不整除 $\psi(n)$ 的整数 $n \le x$ 的数量进行估计。记作 $T_p(x) = \#\{n \le x : p \nmid \psi(n)\}$。
2. 引理 2.4： 一个关键引理确立了对于任何素数 $p$ 及足够大的 $x$，$T_p(x) \ll x \left(\frac{\log_2 x}{\log x}\right)^{\frac{1}{p-1}}$。该界限是通过观察到如果 $q \equiv -1 \pmod p$ 且 $q \mid n$，则 $p \mid \psi(n)$ 而得出的。因此，如果 $p \nmid \psi(n)$，则 $n$ 必须不含素因子 $q \equiv -1 \pmod p$。作者使用 Siegel-Walfisz 定理来估计此类素数的密度。
3. 素数乘积： 作者定义了 $P(z) = \prod_{p \le z} p$。他们利用这样一个事实：如果 $P(z) \mid \psi(n)$，那么 $\phi(\psi(n))$ 会由于乘积项 $(1-1/p)$ 的存在而显著小于 $\psi(n)$，而 $\psi(\psi(n))$ 则由于乘积项 $(1+1/p)$ 的存在而显著大于 $\psi(n)$。
4. 分部求和： 利用 $\sum \psi(n)$ 的已知渐近性质来评估 $\sum_{n \le x} \psi(n)/n$，从而限制 $\psi(n)$ “过大”或“过小”的比例。

主要贡献与结果

• $\phi(\psi(n))$ 的定量界限 (定理 1.1)：
  本文为满足 $\phi(\psi(n)) \ge cn$ 的异常集提供了显式上界。对于每个 $c > 0$：
  $$\#\{n \le x : \phi(\psi(n)) \ge cn\} \le \frac{15x}{\pi^2 c \log_4 x} + O\left(\frac{x \log_3 x}{(\log x)^{1/(\log_3 x \log_4 x)}}\right)$$
  这通过显示异常集不仅是 $o(x)$，而且是以大约 $x/\log_4 x$ 的速率衰减，从而完善了 Sándor 的定性结果。

• 使用慢变阈值的细化 (定理 1.2)：
  作者将结果扩展到非递减函数 $g(x)$。如果 $g(x) = o(\log_4 x)$，则集合 $G_g(x) = \{n \le x : \phi(\psi(n)) \ge n/g(n)\}$ 满足：
  $$|G_g(x)| = O\left(\frac{xg(x)}{\log_4 x} + \frac{x \log_3 x}{(\log x)^{1/(\log_3 x \log_4 x)}}\right) = o(x)$$

• $\psi(\psi(n))$ 的分布 (定理 1.3)：
  本文证明了对于任何固定的 $c > 0$，满足 $\psi(\psi(n)) \le cn$ 的整数集合具有渐近密度零。证明表明，如果 $\psi(\psi(n)) \le cn$，则 $\psi(n)$ 必须忽略一个由小素数组成的乘积 $P(z)$（其中 $z$ 取决于 $c$）。利用筛估计，该集合的大小被证明为 $o(x)$。

• 向高阶迭代的推广 (推论 1.1)：
  研究表明，对于任何固定的 $k \ge 2$，集合 $\{n \le x : \psi^{(k)}(n) \le cn\}$ 也具有渐近密度零，因为 $\psi^{(k)}(n) \ge \psi(\psi(n))$。

意义与主张
本文为与 $\phi(\psi(n))$ 和 $\psi(\psi(n))$ 相关的异常集提供了定量估计，完善了早期的定性密度结果。通过从定性密度 ($o(x)$) 转向涉及迭代对数函数的显式上界，这项工作为这些算术函数的分布提供了更精确的理解。

作者指出，他们的定量界限本质上取决于对 $T_p(x)$ 的筛估计。他们认为，对这一特定筛估计的任何实质性改进都将直接导致更精细的异常集界限。虽然论文在备注中提到，类似的密度零结果也可以在复合函数 $\psi(\sigma(n))$ 下导出，但其主要的定量分析和范围明确限定在 $\phi(\psi(n))$ 和 $\psi(\psi(n))$。作者总结道，确定这些复合函数的正规序以及获得更精细的异常集估计仍然是极具吸引力的开放问题。