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On the distribution of $\phi(\psi(n))$ and $\psi(\psi(n))$

Cet article étudie la distribution des fonctions arithmétiques composées $\phi(\psi(n))$ et $\psi(\psi(n))$ , en fournissant des bornes quantitatives pour l'ensemble exceptionnel de la première et en prouvant que la seconde possède une densité asymptotique nulle pour toute constante positive fixée.

Auteurs originaux : Aimin Guo

Publié 2026-08-05

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Aimin Guo

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Imaginez une vaste ville invisible où chaque bâtiment est un nombre, et les rues sont pavées par les règles de la multiplication. Dans cette ville, les mathématiciens sont comme des urbanistes qui étudient comment ces bâtiments interagissent lorsqu'ils sont empilés ou combinés. Deux « architectes » célèbres dans cette ville sont la fonction totient d'Euler et la fonction arithmétique de Dedekind. Considérez-les comme des machines spéciales qui prennent un nombre, examinent ses blocs de construction premiers (les atomes fondamentaux des mathématiques), et recrachent un nouveau nombre selon une recette spécifique. La machine d'Euler rétrécit généralement un nombre en supprimant ses facteurs premiers, tandis que la machine de Dedekind a tendance à l'agrandir en ajoutant un peu de poids supplémentaire à ces facteurs.

Pendant longtemps, les mathématiciens ont été fascinés par ce qui se passe lorsqu'on fait passer un nombre par l'une de ces machines, puis qu'on injecte immédiatement le résultat dans une autre. C'est comme prendre une photo, la passer à travers un filtre, puis passer la photo filtrée à travers un second filtre différent. La question est : ces nombres doublement traités se comportent-ils de manière prévisible, ou deviennent-ils sauvages ? Restent-ils proches de leur taille originale, ou s'envolent-ils vers l'infini ou rétrécissent-ils jusqu'à néant ? Comprendre cela aide à cartographier le paysage caché des nombres, révélant des motifs qui pourraient autrement rester invisibles. Il ne s'agit pas seulement de puzzles abstraits ; il s'agit de comprendre le rythme fondamental de la façon dont les nombres sont construits et comment ils changent lorsqu'on les tord.

Dans cette nouvelle étude, l'auteur, Aimin Guo, plonge profondément dans le comportement de deux combinaisons spécifiques de « double-filtre » : prendre un nombre, le faire passer par la machine de Dedekind, puis injecter le résultat dans la machine d'Euler ( $\phi(\psi(n))$ ), et le cas encore plus complexe de faire passer un nombre par la machine de Dedekind deux fois de suite ( $\psi(\psi(n))$ ). L'article s'attaque à une question qui n'était auparavant que vaguement répondue : à quel point les nombres qui enfreignent les règles attendues sont-ils rares ?

Auparavant, les chercheurs savaient que pour la plupart des nombres, le résultat de $\phi(\psi(n))$ est plus petit que le nombre original, et que le résultat de $\psi(\psi(n))$ est plus grand. Mais ils n'avaient pas de décompte précis des « anomalies » — les rares nombres qui désobéissent à ces tendances. Le travail de Guo fournit une carte quantitative bien plus précise de ces anomalies. L'article prouve que l'ensemble des nombres où $\phi(\psi(n))$ est exceptionnellement grand (spécifiquement, plus grand qu'une fraction fixe du nombre original) est incroyablement petit. En fait, l'auteur calcule une borne supérieure explicite pour le nombre de tels nombres « rebelles » existant jusqu'à un point $x$ donné. La formule montre qu'en examinant des plages de nombres de plus en plus grandes, la proportion de ces anomalies diminue pour devenir presque nulle, disparaissant plus vite que vous ne pourriez l'imaginer.

De plus, l'article étudie la seconde combinaison, $\psi(\psi(n))$ . Il confirme que pour n'importe quel petit nombre fixe $c$ , l'ensemble des entiers $n$ où le résultat double de Dedekind est étonnamment petit (inférieur à $c$ fois $n$ ) est si clairsemé qu'il disparaît de fait dans le grand schéma des choses. L'article prouve que la « densité » de ces exceptions est nulle. Cela signifie que si vous choisissiez un nombre au hasard dans une liste très longue, la probabilité qu'il soit l'une de ces rares exceptions est pratiquement nulle. L'auteur étend également ce constat pour montrer que si vous faites passer un nombre par la machine de Dedekind deux fois ou plus (pour tout $k \ge 2$ fixé), le résultat sera presque certainement plus grand que n'importe quelle fraction fixe du nombre original.

L'étude ne se contente pas de dire que ces exceptions sont rares ; elle utilise une technique mathématique appelée « théorie des cribles » — qui est comme utiliser un tamis fin pour filtrer les grains de sable indésirables — pour compter exactement combien de grains restent. L'auteur adapte des méthodes utilisées par d'autres mathématiciens pour traiter des problèmes similaires, affinant les estimations pour être beaucoup plus précis qu'auparavant. Bien que l'article confirme que ces comportements bizarres sont d'une rareté extrême, il note également que trouver la taille « normale » exacte de ces fonctions et obtenir des bornes encore plus serrées sur les exceptions reste un problème ouvert et difficile pour les futurs explorateurs. Le travail constitue une preuve solide de la façon dont ces combinaisons de nombres à l'apparence chaotique sont en réalité si ordonnées.

Résumé Technique : Sur la distribution de $\phi(\psi(n))$ et $\psi(\psi(n))$

Énoncé du Problème
Cet article étudie les propriétés de distribution des compositions impliquant la fonction arithmétique de Dedekind $\psi(n)$ et la fonction totient d'Euler $\phi(n)$ . Plus précisément, l'auteur analyse la fréquence des entiers $n \le x$ pour lesquels les fonctions composées $\phi(\psi(n))$ et $\psi(\psi(n))$ s'écartent d'une croissance linéaire attendue.

Bien que $\phi(n)$ et $\psi(n)$ soient multiplicatives, leurs compositions perdent généralement cette propriété, rendant inapplicable la théorie classique des fonctions multiplicatives. Des travaux antérieurs par Sándor [8, 9] ont établi des résultats de densité qualitative, montrant que pour tout $c > 0$ fixé, les ensembles $\{n \le x : \phi(\psi(n)) \ge cn\}$ et $\{n \le x : \psi(\psi(n)) \le cn\}$ ont une densité asymptotique nulle. Cependant, ces résultats étaient qualitatifs ; les estimations quantitatives de la taille de ces « ensembles exceptionnels » restaient limitées. Cet article vise à fournir des bornes supérieures explicites pour ces ensembles, affinant ainsi les résultats de densité de Sándor.

Méthodologie
L'auteur adapte les méthodes de la théorie du crible précédemment utilisées par Dixit et Bhattacharjee [2] dans leur étude de $\phi(\sigma(n))$ . La stratégie centrale consiste à analyser les entiers $n$ pour lesquels la valeur de la fonction interne (spécifiquement $\psi(n)$ ) omet certains petits diviseurs premiers.

Composantes techniques clés :

Estimations de Crible : La preuve repose sur la borne du nombre d'entiers $n \le x$ tels qu'un nombre premier spécifique $p$ ne divise pas $\psi(n)$ . Ceci est noté $T_p(x) = \#\{n \le x : p \nmid \psi(n)\}$ .
Lemme 2.4 : Un lemme critique établit que pour tout nombre premier $p$ et pour $x$ suffisamment grand, $T_p(x) \ll x \left(\frac{\log_2 x}{\log x}\right)^{\frac{1}{p-1}}$ . Cette borne est dérivée de l'observation que si $q \equiv -1 \pmod p$ et $q \mid n$ , alors $p \mid \psi(n)$ . Par conséquent, si $p \nmid \psi(n)$ , $n$ doit être exempt de facteurs premiers $q \equiv -1 \pmod p$ . Le théorème de Siegel-Walfisz est utilisé pour estimer la densité de ces nombres premiers.
Produit de Nombres Premiers : L'auteur définit $P(z) = \prod_{p \le z} p$ . Il utilise le fait que si $P(z) \mid \psi(n)$ , alors $\phi(\psi(n))$ est significativement plus petit que $\psi(n)$ (en raison du produit des termes $(1-1/p)$ ), tandis que $\psi(\psi(n))$ est significativement plus grand (en raison du produit des termes $(1+1/p)$ ).
Sommation Partielle : La somme $\sum_{n \le x} \psi(n)/n$ est évaluée en utilisant les asymptotiques connues de $\sum \psi(n)$ pour borner la proportion de $n$ où $\psi(n)$ est « grand » ou « petit ».

Contributions Clés et Résultats

Borne Quantitative pour $\phi(\psi(n))$ (Théorème 1.1) :
Le papier fournit une borne supérieure explicite pour l'ensemble exceptionnel où $\phi(\psi(n)) \ge cn$ . Pour tout $c > 0$ :
$\#\{n \le x : \phi(\psi(n)) \ge cn\} \le \frac{15x}{\pi^2 c \log_4 x} + O\left(\frac{x \log_3 x}{(\log x)^{1/(\log_3 x \log_4 x)}}\right)$
Ceci affine le résultat qualitatif de Sándor en montrant que l'ensemble exceptionnel n'est pas seulement $o(x)$ , mais décroît à un taux approximativement proportionnel à $x/\log_4 x$ .
Affinement avec des Seuils à Variation Lente (Théorème 1.2) :
L'auteur étend le résultat à des fonctions non décroissantes $g(x)$ . Si $g(x) = o(\log_4 x)$ , l'ensemble $G_g(x) = \{n \le x : \phi(\psi(n)) \ge n/g(n)\}$ satisfait :
$|G_g(x)| = O\left(\frac{xg(x)}{\log_4 x} + \frac{x \log_3 x}{(\log x)^{1/(\log_3 x \log_4 x)}}\right) = o(x)$
Distribution de $\psi(\psi(n))$ (Théorème 1.3) :
Le papier prouve que pour tout $c > 0$ fixé, l'ensemble des entiers où $\psi(\psi(n)) \le cn$ a une densité asymptotique nulle. La preuve démontre que si $\psi(\psi(n)) \le cn$ , alors $\psi(n)$ doit omettre un produit de petits nombres premiers $P(z)$ (où $z$ dépend de $c$ ). En utilisant les estimations de crible, la taille de cet ensemble est montrée être $o(x)$ .
Généralisation aux Itérations Supérieures (Corollaire 1.1) :
Il est démontré que pour tout $k \ge 2$ fixé, l'ensemble $\{n \le x : \psi^{(k)}(n) \le cn\}$ a également une densité asymptotique nulle, car $\psi^{(k)}(n) \ge \psi(\psi(n))$ .

Signification et Revendications
Le papier fournit des estimations quantitatives pour les ensembles exceptionnels associés aux compositions $\phi(\psi(n))$ et $\psi(\psi(n))$ , affinant les résultats de densité qualitative antérieurs. En passant d'une densité qualitative ( $o(x)$ ) à des bornes supérieures explicites impliquant des logarithmes itérés, ce travail offre une compréhension plus précise de la distribution de ces fonctions arithmétiques.

L'auteur note que leurs bornes quantitatives dépendent essentiellement de l'estimation de crible pour $T_p(x)$ . Il suggère que toute amélioration substantielle de cette estimation de crible spécifique conduirait directement à des bornes plus fines pour les ensembles exceptionnels. Bien que le papier mentionne dans les remarques que des résultats de densité nulle similaires peuvent être dérivés pour la composition $\psi(\sigma(n))$ , il confine explicitement son analyse quantitative principale et son champ d'application à $\phi(\psi(n))$ et $\psi(\psi(n))$ . L'auteur conclut que la détermination des ordres normaux de ces compositions et l'obtention d'estimations encore plus fines pour les ensembles exceptionnels restent des problèmes ouverts intéressants.

Résumé Technique : Sur la distribution de ϕ(ψ(n))\phi(\psi(n))ϕ(ψ(n)) et ψ(ψ(n))\psi(\psi(n))ψ(ψ(n))

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