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On the distribution of $\phi(\psi(n))$ and $\psi(\psi(n))$

Este artículo investiga la distribución de las funciones aritméticas compuestas $\phi(\psi(n))$ y $\psi(\psi(n))$ , proporcionando cotas cuantitativas para el conjunto excepcional de la primera y demostrando que la segunda tiene densidad asintótica cero para cualquier constante positiva fija.

Autores originales: Aimin Guo

Publicado 2026-08-05

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CC BY 4.0

Autores originales: Aimin Guo

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Imagina una vasta ciudad invisible donde cada edificio es un número y las calles están pavimentadas con las reglas de la multiplicación. En esta ciudad, los matemáticos son como planificadores urbanos que estudian cómo interactúan estos edificios cuando se apilan o se combinan. Dos "arquitectos" famosos en esta ciudad son la función totiente de Euler y la función aritmética de Dedekind. Piensa en ellos como máquinas especiales que toman un número, observan sus bloques de construcción primos (los átomos fundamentales de las matemáticas) y escupen un nuevo número basado en una receta específica. La máquina de Euler usualmente encoge un número eliminando sus factores primos, mientras que la máquina de Dedekind tiende a expandirlo añadiendo un poco de peso extra a esos factores.

Durante mucho tiempo, los matemáticos se han sentido fascinados por lo que sucede cuando pasas un número por una de estas máquinas y luego alimentas el resultado inmediatamente en otra. Es como tomar una foto, pasarla por un filtro y luego pasar esa foto filtrada por un segundo filtro diferente. La pregunta es: ¿se comportan estos números procesados doblemente de manera predecible, o se vuelven salvajes? ¿Se mantienen cerca de su tamaño original, o se disparan hacia el infinito o se encogen hasta la nada? Comprender esto ayuda a mapear el paisaje oculto de los números, revelando patrones que de otro modo permanecerían invisibles. No es solo un rompecabezas abstracto; se trata de comprender el ritmo fundamental de cómo se construyen los números y cómo cambian cuando los retorcemos.

En este nuevo estudio, el autor, Aimin Guo, se sumerge profundamente en el comportamiento de dos combinaciones específicas de "doble filtro": tomar un número, pasarlo por la máquina de Dedekind y luego alimentar ese resultado a la máquina de Euler ( $\phi(\psi(n))$ ), y el caso aún más complejo de pasar un número por la máquina de Dedekind dos veces seguidas ( $\psi(\psi(n))$ ). El artículo aborda una pregunta que antes solo se respondía vagamente: ¿qué tan raros son los números que rompen las reglas esperadas?

Previamente, los investigadores sabían que para la mayoría de los números, el resultado de $\phi(\psi(n))$ es menor que el número original, y el resultado de $\psi(\psi(n))$ es mayor. Pero no tenían un recuento preciso de los "valores atípicos": los pocos números que desobedecen estas tendencias. El trabajo de Guo proporciona un mapa cuantitativo mucho más nítido de estos valores atípicos. El artículo demuestra que el conjunto de números donde $\phi(\psi(n))$ es inusualmente grande (específicamente, mayor que una fracción fija del número original) es increíblemente pequeño. De hecho, el autor calcula un límite superior explícito para cuántos de estos números "rebeldes" existen hasta cualquier punto $x$ . La fórmula muestra que a medida que observas rangos de números cada vez más grandes, la proporción de estos valores atípicos se reduce casi a nada, desapareciendo más rápido de lo que podrías esperar.

Además, el artículo investiga la segunda combinación, $\psi(\psi(n))$ . Confirma que para cualquier número pequeño fijo $c$ , el conjunto de enteros $n$ donde el resultado doble de Dedekind es sorprendentemente pequeño (menor que $c$ veces $n$ ) es tan disperso que efectivamente desaparece en el gran esquema de las cosas. El artículo demuestra que la "densidad" de estas excepciones es cero. Esto significa que si eligieras un número al azar de una lista muy grande, la probabilidad de que sea uno de estos raros casos excepcionales es prácticamente cero. El autor también extiende este hallazgo para mostrar que si pasas un número por la máquina de Dedekind dos o más veces (para cualquier $k \ge 2$ fijo), el resultado será casi con seguridad mayor que cualquier fracción fija del número original.

El estudio no solo dice que estas excepciones son raras; utiliza una técnica matemática llamada "teoría de cribas" —que es como usar una malla fina para filtrar granos de arena no deseados— para contar exactamente cuántos granos permanecen. El autor adapta métodos utilizados por otros matemáticos para manejar problemas similares, refinando las estimaciones para que sean mucho más precisas que antes. Si bien el artículo confirma que estos comportamientos extraños son evanescentes, también señala que encontrar el tamaño "normal" exacto para estas funciones y obtener límites aún más estrictos para las excepciones sigue siendo un problema abierto desafiante para futuros exploradores. El trabajo constituye una prueba sólida de cuán ordenadas son realmente estas combinaciones de números que parecen caóticas.

Resumen Técnico: Sobre la distribución de $\phi(\psi(n))$ y $\psi(\psi(n))$

Planteamiento del Problema
Este artículo investiga las propiedades de distribución de las composiciones que involucran la función aritmética de Dedekind $\psi(n)$ y la función de Euler $\phi(n)$ . Específicamente, el autor analiza la frecuencia de los enteros $n \le x$ para los cuales las funciones compuestas $\phi(\psi(n))$ y $\psi(\psi(n))$ se desvían del crecimiento lineal esperado.

Aunque $\phi(n)$ y $\psi(n)$ son multiplicativas, sus composiciones generalmente pierden esta propiedad, lo que hace que la teoría clásica de las funciones multiplicativas sea inaplicable. Trabajos previos de Sándor [8, 9] establecieron resultados de densidad cualitativos, mostrando que para cualquier $c > 0$ fijo, los conjuntos $\{n \le x : \phi(\psi(n)) \ge cn\}$ y $\{n \le x : \psi(\psi(n)) \le cn\}$ tienen densidad asintótica cero. Sin embargo, estos resultados fueron cualitativos; las estimaciones cuantitativas para el tamaño de estos "conjuntos excepcionales" siguieron siendo limitadas. Este artículo tiene como objetivo proporcionar cotas superiores explícitas para estos conjuntos, refinando los resultados de densidad de Sándor.

Metodología
El autor adapta métodos de la teoría de la criba previamente utilizados por Dixit y Bhattacharjee [2] en su estudio de $\phi(\sigma(n))$ . La estrategia central consiste en analizar los enteros $n$ para los cuales la función interna (específicamente $\psi(n)$ ) omite ciertos divisores primos pequeños.

Componentes técnicos clave:

Estimaciones de la Criba: La demostración se basa en acotar el número de enteros $n \le x$ tales que un primo específico $p$ no divide a $\psi(n)$ . Esto se denota como $T_p(x) = \#\{n \le x : p \nmid \psi(n)\}$ .
Lema 2.4: Un lema crítico establece que para cualquier primo $p$ y $x$ suficientemente grande, $T_p(x) \ll x \left(\frac{\log_2 x}{\log x}\right)^{\frac{1}{p-1}}$ . Esta cota se deriva de observar que si $q \equiv -1 \pmod p$ y $q \mid n$ , entonces $p \mid \psi(n)$ . En consecuencia, si $p \nmid \psi(n)$ , $n$ debe estar libre de factores primos $q \equiv -1 \pmod p$ . Se utiliza el teorema de Siegel-Walfisz para estimar la densidad de tales primos.
Producto de Primos: El autor define $P(z) = \prod_{p \le z} p$ . Utilizan el hecho de que si $P(z) \mid \psi(n)$ , entonces $\phi(\psi(n))$ es significativamente más pequeño que $\psi(n)$ (debido al producto de los términos $(1-1/p)$ ), mientras que $\psi(\psi(n))$ es significativamente más grande (debido al producto de los términos $(1+1/p)$ ).
Sumación Parcial: La suma $\sum_{n \le x} \psi(n)/n$ se evalúa utilizando las asíntotas conocidas para $\sum \psi(n)$ para acotar la proporción de $n$ donde $\psi(n)$ es "grande" o "pequeño".

Contribuciones Clave y Resultados

Cota Cuantitativa para $\phi(\psi(n))$ (Teorema 1.1):
El artículo proporciona una cota superior explícita para el conjunto excepcional donde $\phi(\psi(n)) \ge cn$ . Para cada $c > 0$ :
$\#\{n \le x : \phi(\psi(n)) \ge cn\} \le \frac{15x}{\pi^2 c \log_4 x} + O\left(\frac{x \log_3 x}{(\log x)^{1/(\log_3 x \log_4 x)}}\right)$
Esto refina el resultado cualitativo de Sándor al mostrar que el conjunto excepcional no es solo $o(x)$ , sino que decae a un ritmo aproximadamente proporcional a $x/\log_4 x$ .
Refinamiento con Umbrales de Variación Lenta (Teorema 1.2):
El autor extiende el resultado a funciones no decrecientes $g(x)$ . Si $g(x) = o(\log_4 x)$ , el conjunto $G_g(x) = \{n \le x : \phi(\psi(n)) \ge n/g(n)\}$ satisface:
$|G_g(x)| = O\left(\frac{xg(x)}{\log_4 x} + \frac{x \log_3 x}{(\log x)^{1/(\log_3 x \log_4 x)}}\right) = o(x)$
Distribución de $\psi(\psi(n))$ (Teorema 1.3):
El artículo demuestra que para cualquier $c > 0$ fijo, el conjunto de enteros donde $\psi(\psi(n)) \le cn$ tiene densidad asintótica cero. La demostración muestra que si $\psi(\psi(n)) \le cn$ , entonces $\psi(n)$ debe omitir un producto de primos pequeños $P(z)$ (donde $z$ depende de $c$ ). Usando las estimaciones de la criba, se muestra que el tamaño de este conjunto es $o(x)$ .
Generalización a Iteraciones Superiores (Corolario 1.1):
Se muestra que para cualquier $k \ge 2$ fijo, el conjunto $\{n \le x : \psi^{(k)}(n) \le cn\}$ también tiene densidad asintótica cero, ya que $\psi^{(k)}(n) \ge \psi(\psi(n))$ .

Significancia y Reivindicaciones
El artículo proporciona estimaciones cuantitativas para los conjuntos excepcionales asociados con las composiciones $\phi(\psi(n))$ y $\psi(\psi(n))$ , refinando los resultados de densidad cualitativa anteriores. Al pasar de la densidad cualitativa ( $o(x)$ ) a cotas superiores explícitas que involucran logaritmos iterados, el trabajo ofrece una comprensión más precisa de la distribución de estas funciones aritméticas.

El autor señala que sus cotas cuantitativas dependen esencialmente de la estimación de la criba para $T_p(x)$ . Sugieren que cualquier mejora sustancial en esta estimación específica de la criba conduciría directamente a cotas más agudas para los conjuntos excepcionales. Aunque el artículo menciona en las observaciones que se pueden derivar resultados de densidad cero similares para la composición $\psi(\sigma(n))$ , confina explícitamente su análisis cuantitativo principal y su alcance a $\phi(\psi(n))$ y $\psi(\psi(n))$ . El autor concluye que determinar los órdenes normales de estas composiciones y obtener estimaciones aún más precisas para los conjuntos excepcionales siguen siendo problemas abiertos interesantes.

Resumen Técnico: Sobre la distribución de ϕ(ψ(n))\phi(\psi(n))ϕ(ψ(n)) y ψ(ψ(n))\psi(\psi(n))ψ(ψ(n))

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