An extension of Ramanujan-Guinand identity for the Dedekind zeta function and a new formula for $ζ_\mathbb{F}(2)$ and $ζ_\mathbb{F}(2m+1)$

기술 요약: 데데킨트 제타 함수에 대한 라마누잔-구인드(Ramanujan-Guinand) 항등식의 확장

문제 정의
리만 제타 함수 $\zeta(s)$와 그 특수값들은 해석적 정수론에서 오랫동안 중심적인 역할을 해왔다. 오일러는 짝수 정수 $\zeta(2m)$에 대한 폐쇄형(closed-form) 평가를 제공했지만, 홀수 정수 $\zeta(2m+1)$에 대해서는 이와 같은 단순한 공식이 존재하지 않는다. 라마누잔은 일반화된 약수 함수와 변형된 베셀 함수를 연결하는 놀라운 항등식(라마누잔-구인드 항등식)을 발견하였는데, 이는 아이젠스타인 급수의 변환과 연결되며 홀수 제타 값들에 대한 공식들을 도출해낸다.

홀수 제타 값들에 대한 라마누잔 항등식의 유사한 형태들이 수체(number fields)로 확장되어 왔으나, 데데킨트 제타 함수 $\zeta_F(s)$에 대한 포괄적인 수체 대응 라마누잔-구인드 항등식 자체는 아직 확립되지 않은 상태였다. 또한, 자기어(Zagier, 1986)가 로그 적분을 포함하는 $\zeta_F(2)$에 대한 공식을 제공했음에도 불구하고, 임의의 수체에 대해 $\zeta_F(2)$ 및 $\zeta_F(2m+1)$을 위한 빠르게 수렴하는 급수 공식은 탐구되지 않은 미개척 영역이었다.

방법론
저자인 디크샤 라니 반살(Diksha Rani Bansal)과 비베카난다 마지(Bibekananda Maji)는 오토모픽 형식(automorphic forms) 이론과 복소해석학을 사용하여 결과를 도출한다. 핵심 방법론은 다음과 같다:

1. 아이젠스타인 급수의 푸리에 전개: 저자들은 일반화된 약수 함수와 변형된 베셀 함수를 자연스럽게 포함하는 완전 모듈러 군(full modular group) 상의 비홀로모픽 아이젠스타인 급수 $G(\tau, s)$의 푸리에 전개를 활용한다.
2. 함수 방정식: 저자들은 데데킨트 제타 함수 $\zeta_F(s)$와 곱 $\zeta_F(s)\zeta_F(s+z)$의 함수 방정식을 활용한다.
3. 스틴 함수(Steen function)와 메이어 G-함수(Meijer G-Functions): 고전적 항등식에 등장하는 변형된 베셀 함수를 임의의 수체로 일반화하기 위해, 저자들은 멜린-바네스 적분(Mell-Barnes integral)을 통해 정의되는 스틴 함수 $V(x|a_1, \dots, a_n)$를 도입한다. 이 함수는 메이어 G-함수의 특수한 경우이며, 이를 통해 수체 $F$의 다양한 실수 임베딩($r_1$) 및 복소 임베딩($r_2$)의 차수를 처리할 수 있게 한다.
4. 경로 적분: 증명은 복소 평면에서 경로를 이동시키고 감마 인자(gamma factors)와 제타 함수의 곱에 대해 코시의 잔류 정리(Cauchy's residue theorem)를 적용하는 과정에 의존하며, 특히 $s=0, 1, -z, 1-z$에서의 극(poles)을 분석한다.
5. 멜린 변환 기법: 저자들은 멜린 변환을 사용하여 스틴 함수를 포함하는 급수와 제타 함수의 곱을 연관시킴으로써 변환 공식들을 확립한다.

주요 기여 및 결과

1. 주 정리 (Theorem 2.1): 본 논문은 라마누잔-구인드 항등식의 수체 대응 형태를 확립한다. 차수가 $d$인 수체 $F$에 대하여, 저자들은 다음의 변환 공식을 증명한다:
   $$I_{F,z}(x) = I_{F,-z}\left(\frac{1}{x}\right)$$
   여기서 $I_{F,z}(x)$는 스틴 함수 $V_{F,z}$에 의해 가중치가 부여된 일반화된 약수 함수 $\sigma_{F,-z}(n)$의 급수와, $\zeta_F(s)$의 $s=0$에서의 로랑 전개의 주 계수 및 함수 방정식 인자 $\Omega_F(z)$를 포함하는 항으로 구성된다.

2. 고전적 항등식의 회복:

   • 따름정리 2.3: $F = \mathbb{Q}$인 경우, 본 주 정리는 고전적인 라마누잔-구인드 항등식으로 축소된다.
   • 따름정리 2.5: $z=0$ 및 $F=\mathbb{Q}$를 설정하면 라마누잔-코실리아코프(Ramanujan-Koshliakov) 항등식이 회복된다.
   • 따름정리 2.7: $z=1$ 및 $F=\mathbb{Q}$를 설정하면 데데킨트 에타 함수의 로그 함수의 변환 공식과 동등한 라마누한의 알려진 항등식이 도출된다.

3. 특수값에 대한 새로운 공식:

   • $\zeta_F(2)$ (Theorem 2.8): $z=1$ 케이스의 직접적인 응용으로서, 저자들은 임의의 수체 $F$에 대한 $\zeta_F(2)$의 새로운 공식을 도출한다. 로그 적분을 통해 $\zeta_F(2)$를 표현하는 자기어의 공식과 달리, 이 새로운 공식은 스틴 함수를 포함하는 빠르게 수렴하는 급수로 $\zeta_F(2)$를 제시한다. 저자들은 이 공식의 유용성을 입증하기 위해 이차체(예: $\mathbb{Q}(\sqrt{2}), \mathbb{Q}(\sqrt{5})$)에 대한 수치적 평가를 제공한다.
   • $\zeta_F(2m+1)$ (Theorem 2.9): 저자들은 임의의 양의 정수 $m$에 대하여 $\zeta_F(2m+1)$에 대한 우아한 항등식을 도출한다. 이 공식은 홀수 제타 값들을 스틴 함수와 $\zeta_F(2m+2)$를 포함하는 빠르게 수렴하는 급수로 표현한다. 비고(Remark) 4는 $x$를 원시 거듭제곱근으로 선택함으로써 $\zeta_F(2m+1)$을 명시적으로 분리해낼 수 있음을 강조한다.

4. 곱의 함수 방정식: 정리 2.2는 변환 공식 (2.1)이 $\zeta_F(s)\zeta_F(s+z)$의 함수 방정식을 함의함을 보여주며, 변환 공식과 함수 방정식 사이의 깊은 연관성을 강화한다.

의의 및 주장
본 논문은 라마누잔-구인드 항등식의 "수체 대응 형태"를 제공한다고 주장하며, 이를 통해 서로 다른 체(field)들 간의 제타 함수 특수값 연구를 통합한다. 저자들은 자신의 작업이 오토모픽 형식의 변환 공식이 제타 및 L-함수의 특수값을 부호화(encode)한다는 철학을 보여준다고 강조한다.

구체적인 의의는 다음과 같다:

• 일반화: 고전적 항등식을 $\mathbb{Q}$에서 임의의 수체 $F$로 확장하였다.
• 평가의 참신함: 자기어의 로그 적분 기반 평가를 보완하는 $\zeta_F(2)$에 대한 새로운, 빠르게 수렴하는 급수 공식을 제공하였다.
• 통합: 라마누잔-코실리아코프 항등식과 에타 함수의 변환이 더 넓은 범위의 수체 항등식의 특수한 사례임을 보여주었다.
• 명시적 공식: 단순한 폐쇄형이 일반적으로 알려지지 않은 값들의 부류인 $\zeta_F(2m+1)$에 대해 명시적이고 계산 가능한 항등식을 제공하였다.

저자들은 결론적으로, 자신들의 결과가 모듈러 변환 공식과 특수값의 명시적 평가 사이의 상호작용을 보여주는 또 다른 사례를 제공하며, 수체의 산술에 대한 추가적인 조사를 위한 도구를 제공한다고 밝힌다.