An extension of Ramanujan-Guinand identity for the Dedekind zeta function and a new formula for $ζ_\mathbb{F}(2)$ and $ζ_\mathbb{F}(2m+1)$

技術的要約：デデキント・ゼータ関数に関するラマヌジャン・グアインド恒等式の拡張

問題提起
リーマン・ゼータ関数 $\zeta(s)$ とその特殊値は、解析的数論において長らく中心的な役割を果たしてきた。オイラーは偶数整数 $\zeta(2m)$ の閉形式の評価を提供したが、奇数整数 $\zeta(2m+1)$ に対してはそのような単純な公式は存在しない。ラマヌジャンは、一般化された約数関数と修正ベッセル関数を結びつける、驚くべき恒等式（ラマヌジャン・グアインド恒等式）を発見した。これはアイゼンシュタイン級数の変換に関連しており、奇数ゼータ値の公式を導き出すものである。

奇数ゼータ値に関するラマヌジャンの恒等式の類似物が数体へと拡張されてきた一方で、デデキント・ゼータ関数 $\zeta_F(s)$ に対するラマヌジャン・グアインド恒等式自体の包括的な数体への類似物が確立されることは待ち望まれていた。さらに、ザギエ（Zagier, 1986）が対数積分を用いた $\zeta_F(2)$ の公式を提供したが、任意の数体における $\zeta_F(2)$ および $\zeta_F(2m+1)$ に対する急速に収束する級数公式は、探索すべき未解決の領域であった。

手法
著者である Diksha Rani Bansal と Bibekananda Maji は、自明な型（automorphic forms）の理論と複素解析を用いて彼らの結果を導出している。核心となる手法は以下の通りである：

1. アイゼンシュタイン級数のフーリエ展開： 著者らは、全モジュラー群上の非正則アイゼンシュタイン級数 $G(\tau, s)$ のフーリエ展開を利用している。これは、約数関数と修正ベッセル関数を自然に組み込んでいる。
2. 関数等式： 著者らは、デデキント・ゼータ関数 $\zeta_F(s)$ および積 $\zeta_F(s)\zeta_F(s+z)$ の関数等式を活用している。
3. スティーン関数（Steen function）とメイヤーG関数（Meijer G-functions）： 古典的な恒等式に現れる修正ベッセル関数を任意の数体に一般化するために、著者らは、メリン・バルネース積分によって定義されるスティーン関数 $V(x|a_1, \dots, a_n)$ を導入している。この関数はメイヤーG関数の特殊なケースであり、数体 $F$ における実埋め込み（$r_1$）および複素埋め込み（$r_2$）の次数を扱うことを可能にしている。
4. 輪郭積分： 証明は、複素平面における輪郭の移動と、ガンマ因子とゼータ関数の積に対するコーシーの剰余定理の適用に依拠しており、特に $s=0, 1, -z, 1-z$ における極の解析を行っている。
5. メリン変換技術： 著者らは、スティーン関数を含む級数とゼータ関数の積を関連付けるためにメリン変換を用い、変換公式を確立している。

主要な貢献と結果

1. 主定理（定理 2.1）： 本論文は、ラマヌジャン・グアインド恒等式の数体への類似物を確立している。次数 $d$ の数体 $F$ に対して、著者らは以下の変換公式を証明している：
   $$I_{F,z}(x) = I_{F,-z}\left(\frac{1}{x}\right)$$
   ここで、$I_{F,z}(x)$ は、スティーン関数 $V_{F,z}$ によって重み付けされた一般化約数関数 $\sigma_{F,-z}(n)$ の級数と、$\zeta_F(s)$ の $s=0$ におけるローラン展開の主項、および関数等式因子 $\Omega_F(z)$ を含む項からなる。

2. 古典的恒等式の回収：

   • 系 2.3： $F = \mathbb{Q}$ のとき、本定理は古典的なラマヌジャン・グアインド恒等式に正確に帰着する。
   • 系 2.5： $z=0$ かつ $F=\mathbb{Q}$ と設定することで、ラマヌジャン・コシュリアコフ（Ramanujan-Koshliakov）恒等式を回収する。
   • 系 2.7： $z=1$ かつ $F=\mathbb{Q}$ と設定することで、デデキンド・エータ関数の対数の変換公式に相当する、ラマヌジャンによる既知の恒等式が得られる。

3. 特殊値の新しい公式：

   • $\zeta_F(2)$ （定理 2.8）： $z=1$ の場合の直接的な応用として、著者らは任意の数体 $F$ に対する $\zeta_F(2)$ の新しい公式を導出している。ザギエの公式が対数積分を通じて $\zeta_F(2)$ を表現するのに対し、この新しい公式は、スティーン関数を用いた急速に収束する級数として $\zeta_F(2)$ を提示している。著者らは、この公式の有用性を示すために、二次体（例：$\mathbb{Q}(\sqrt{2}), \mathbb{Q}(\sqrt{5})$）に対する数値評価を提供している。
   • $\zeta_F(2m+1)$ （定理 2.9）： 著者らは、任意の正の整数 $m$ に対して $\zeta_F(2m+1)$ に関する優雅な恒等式を導出している。この公式は、奇数ゼータ値を、スティーン関数と $\zeta_F(2m+2)$ を含む急速に収束する級数を用いて表現する。備考 4 は、$x$ を 1 の原始根として選ぶことで、$\zeta_F(2m+1)$ を明示的に孤立させることができることを強調している。

4. 積の関数等式： 定理 2.2 は、変換公式 (2.1) が積 $\zeta_F(s)\zeta_F(s+z)$ の関数等式を包含することを証明しており、変換公式と関数等式の間の深い結びつきを補強している。

意義と主張
本論文は、ラマヌジャン・グアインド恒等式の「数体への類似物」を提供することを主張しており、これにより異なる体におけるゼータ関数の特殊値の研究を統一している。著者らは、自らの研究が、自明な型（オートモルフィック・フォーム）の変換公式がゼータ関数や L 関数の特殊値を符号化しているという哲学を例証していることを強調している。

具体的には、その意義は以下の点にある：

• 一般化： 古典的な恒等式を $\mathbb{Q}$ から任意の数体 $F$ へと拡張したこと。
• 評価における新規性： ザギエの積分ベースの評価を補完する、$\zeta_F(2)$ に対する新しい、急速に収束する級数公式を提供したこと。
• 統一： ラマヌジャン・コシュリアコフ恒等式とエータ関数の変換公式が、より広範な数体恒等式の特殊なケースであることを示したこと。
• 明示的な公式： 単純な閉形式が一般に未知であるクラスである $\zeta_F(2m+1)$ に対する、計算可能な明示的な恒等式を提供したこと。

著者らは、自らの結果が、モジュラー変換公式と特殊値の明示的な評価との間の相互作用を示すもう一つの事例を提供し、数体の算術に関するさらなる調査のためのツールを提供するものであると結論付けている。