An extension of Ramanujan-Guinand identity for the Dedekind zeta function and a new formula for $ζ_\mathbb{F}(2)$ and $ζ_\mathbb{F}(2m+1)$

技术摘要：Dedekind Zeta 函数的 Ramanujan-Guinand 恒等式的推广

问题陈述
Riemann zeta 函数 $\zeta(s)$ 及其特殊值长期以来一直是解析数论的核心。虽然 Euler 为偶整数 $\zeta(2m)$ 提供了闭式解，但对于奇整数 $\zeta(2m+1)$ 则不存在类似的简单公式。Ramanujan 发现了一个非凡的恒等式（Ramanujan-Guinand 恒等式），它将广义除数函数与修正 Bessel 函数联系起来，这与 Eisenstein 级数的变换有关，并由此产生了关于奇 zeta 值的公式。

虽然针对数域的奇 zeta 值的 Ramanujan 恒等式变体已有扩展，但一个完整的、针对 Dedekind zeta 函数 $\zeta_F(s)$ 的 Ramanujan-Guinand 恒等式的数域模拟版本仍有待建立。此外，尽管 Zagier (1986) 提供了一个涉及对数积分的 $\zeta_F(2)$ 公式，但对于任意数域的 $\zeta_F(2)$ 和 $\zeta_F(2m+1)$ 的快速收敛级数公式仍是一个开放的研究领域。

方法论
作者 Diksha Rani Bansal 和 Bibekananda Maji 利用自守形式和复分析理论推导其结果。其核心方法论包括：

1. Eisenstein 级数的傅里叶展开： 作者利用全模群上非全纯 Eisenstein 级数 $G(\tau, s)$ 的傅里وی展开，该展开自然地包含了除数函数和修正 Bessel 函数。
2. 泛函方程： 他们利用了 Dedekind zeta 函数 $\zeta_F(s)$ 以及乘积 $\zeta_F(s)\zeta_F(s+z)$ 的泛函方程。
3. Steen 函数与 Meijer G-函数： 为了将经典恒等式中出现的修正 Bessel 函数推广到任意数域，作者引入了通过 Mellin-Barnes 积分定义的 Steen 函数 $V(x|a_1, \dots, a_n)$。该函数是 Meijer G-函数的特例，能够处理数域 $F$ 中变化的实嵌入次数 ($r_1$) 和复嵌入次数 ($r_2$)。
4. 轮廓积分： 证明过程依赖于在复平面内移动轮廓，并应用 Cauchy 残数定理来处理 Gamma 因子与 zeta 函数的乘积，特别是在分析 $s=0, 1, -z$ 和 $1-z$ 处的极点。
5. Mellin 变换技术： 作者使用 Mellin 变换将涉及 Steen 函数的级数与 zeta 函数的乘积联系起来，从而建立变换公式。

主要贡献与结果

1. 主定理 (Theorem 2.1)： 本文建立了 Ramanujan-Guinand 恒等式的数域模拟版本。对于度数为 $d$ 的数域 $F$，作者证明了变换公式：
   $$I_{F,z}(x) = I_{F,-z}\left(\frac{1}{x}\right)$$
   其中 $I_{F,z}(x)$ 涉及由广义除数函数 $\sigma_{F,-z}(n)$ 加权的 Steen 函数 $V_{F,z}$ 的级数，外加一项涉及 $\zeta_F(s)$ 在 $s=0$ 处 Laurent 展开的首项系数以及泛函方程因子 $\Omega_F(z)$。

2. 恢复经典恒等式：

   • 推论 2.3： 当 $F = \mathbb{Q}$ 时，主定理精确还原为经典的 Ramanujan-Guinand 恒等式。
   • 推论 2.5： 令 $z=0$ 且 $F=\mathbb{Q}$，可以恢复 Ramanujan-Koshliakov 恒等式。
   • 推论 2.7： 令 $z=1$ 且 $F=\mathbb{Q}$，可以得到一个与 Dedekind eta 函数对数变换公式等价的已知 Ramanujan 恒等式。

3. 特殊值的公式：

   • $\zeta_F(2)$ (Theorem 2.8)： 作为 $z=1$ 情况的直接应用，作者推导出了任何任意数域 $F$ 的 $\zeta_F(2)$ 的一个新公式。与 Zagier 通过对数积分表达 $\zeta_F(2)$ 的公式不同，这个新公式将 $\zeta_F(2)$ 表示为一个涉及 Steen 函数的快速收敛级数。作者提供了二次域（如 $\mathbb{Q}(\sqrt{2}), \mathbb{Q}(\sqrt{5})$）的数值评估，以展示该公式的实用性。
   • $\zeta_F(2m+1)$ (Theorem 2.9)： 作者推导出了对于任何正整数 $m$ 的 $\zeta_F(2m+1)$ 的一个优雅恒等式。该公式将奇 zeta 值表示为涉及 Steen 函数和 $\zeta_F(2m+2)$ 的快速收敛级数。备注 4 强调，通过选择 $x$ 为单位根，可以将 $\zeta_F(2m+1)$ 显式地分离出来。

4. 乘积的泛函方程： 定理 2.2 表明，变换公式 (2.1) 蕴含了 $\zeta_F(s)\zeta_F(s+z)$ 的泛函方程，强化了变换公式与泛函方程之间的深层联系。

意义与主张
本文声称提供了一个 Ramanujan-Guinand 恒等式的“数域模拟版本”，从而统一了不同域下 zeta 函数特殊值的研究。作者强调，他们的工作阐明了自守形式的变换公式编码了 zeta 函数和 L 函数特殊值的这一哲学。

具体而言，其意义在于：

• 推广： 将一个经典的从 $\mathbb{Q}$ 出发的恒等式推广到了任意数域 $F$。
• 评估的新颖性： 提供了一个新的、快速收敛的 $\zeta_F(2)$ 级数公式，补充了 Zagier 基于积分的评估方法。
• 统一性： 展示了 Ramanujan-Koshliakov 恒等式和 eta 函数变换是更广泛的数域恒等式的特例。
• 显式公式： 为 $\zeta_F(2m+1)$ 类通常缺乏简单闭式解的值提供了显式的、可计算的恒等式。

作者得出结论，其结果提供了模变换公式与特殊值显式评估之间相互作用的另一个实例，为进一步研究数域算术提供了工具。