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An extension of Ramanujan-Guinand identity for the Dedekind zeta function and a new formula for $ζ_\mathbb{F}(2)$ and $ζ_\mathbb{F}(2m+1)$

Cet article établit un analogue dans les corps de nombres de l'identité de Ramanujan-Guinand pour la fonction zêta de Dedekind, à partir de laquelle les auteurs dérivent de nouvelles et élégantes formules pour $\zeta_\mathbb{F}(2)$ et $\zeta_\mathbb{F}(2m+1)$ pour tout corps de nombres $\mathbb{F}$ .

Auteurs originaux : Diksha Rani Bansal, Bibekananda Maji

Publié 2026-08-10

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Diksha Rani Bansal, Bibekananda Maji

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Imaginez l'univers des nombres comme une vaste bibliothèque cosmique où chaque livre est un nombre, et les histoires qu'ils racontent sont cachées dans des motifs. Depuis plus d'un siècle, les mathématiciens tentent de décoder les récits les plus mystérieux de cette bibliothèque : les « valeurs spéciales » de la fonction zeta de Riemann. Considérez cette fonction comme une machine magique qui prend un nombre en entrée et recrache un résultat qui révèle de profonds secrets sur la manière dont les nombres premiers sont distribués. Nous savons exactement ce que fait cette machine lorsqu'on la nourrit avec des nombres pairs (comme 2, 4, 6), mais lorsqu'on la nourrit avec des nombres impairs (comme 3, 5, 7), la machine se tait et les réponses restent obstinément cachées. C'est l'un des plus grands puzzles non résolus des mathématiques.

Pour donner un sens à cela, les mathématiciens cherchent souvent des « images miroirs » ou des « formules de transformation ». Imaginez un kaléidoscope : si vous le tournez d'un côté, vous voyez un motif complexe ; si vous le tournez de l'autre, vous voyez un motif différent qui est mathématiquement identique au premier. Dans les années 1920, le légendaire mathématicien Srinivasa Ramanujan a découvert une identité stupéfiante — une relation de miroir parfaite — qui connectait ces mystérieuses valeurs de nombres impairs à une série à convergence rapide (une somme qui atteint la réponse très rapidement). Cela a été redécouvert plus tard et formalisé sous le nom d'identité de Ramanujan-Guinand. C'est comme trouver un code secret qui traduit un problème difficile en un problème facile. Mais ce code était écrit pour le système numérique standard. Et si nous voulions l'utiliser dans des mondes de nombres complexes plus exotiques ? C'est la question que traite cet article.

Dans cette nouvelle étude, les auteurs Diksha Rani Bansal et Bibekananda Maji prennent le célèbre code miroir de Ramanujan et l'étendent pour qu'il fonctionne dans les « corps de nombres ». Vous pouvez considérer un corps de nombres comme un pays différent dans la terre des mathématiques, avec ses propres règles, ses propres paysages et ses propres habitants (idéaux et entiers). Alors que le système numérique standard est comme une plaine plate et familière, ces corps de nombres sont comme des terrains multidimensionnels accidentés. Les auteurs construisent avec succès un pont, créant un « analogue de corps de nombres » de l'identité de Ramanujan-Guinand. Ils prouvent que la même belle relation de miroir reste vraie même dans ces terres complexes et exotiques.

La découverte principale de l'article est une nouvelle formule puissante qui agit comme un traducteur universel pour ces corps de nombres. En établissant cette nouvelle identité, les auteurs accomplissent deux exploits majeurs. Premièrement, ils récupèrent l'identité classique de Ramanujan-Guinand et une formule liée de Ramanujan-Koshliakov comme cas particuliers, prouvant que leur nouvelle théorie est cohérente avec le travail des anciens maîtres. Deuxièmement, et c'est plus excitant encore, ils utilisent ce nouvel outil pour dériver une toute nouvelle formule pour calculer $\zeta_F(2)$ (la valeur de la fonction zeta en 2) pour n'importe quel corps de nombres. Auparavant, un mathématicien nommé Zagier avait trouvé un moyen de calculer cela, mais sa formule impliquait une intégrale logarithmique complexe. La nouvelle formule des auteurs exprime cependant la réponse sous la forme d'une série à convergence rapide, ce qui est souvent beaucoup plus facile à calculer et à comprendre.

De plus, l'équipe dérive une identité élégante pour $\zeta_F(2m + 1)$ (les valeurs aux entiers impairs) pour tout entier positif $m$ . Cela est significatif car, comme mentionné précédemment, les valeurs impaires sont notoirement difficiles à cerner. Les auteurs montrent qu'en utilisant leur nouvelle formule miroir, ils peuvent exprimer ces valeurs insaisissables en termes d'autres séries à convergence rapide. Ils n'ont pas seulement deviné ; ils ont fourni une preuve mathématique rigoureuse, utilisant des outils comme la fonction zeta de Dedekind (la version de la fonction zeta pour ces corps de nombres exotiques) et une fonction spéciale appelée fonction de Steen (qui agit comme un filtre sophistiqué pour gérer la géométrie complexe de ces corps).

Pour démontrer que leur nouvelle formule fonctionne dans le monde réel, les auteurs l'ont appliquée à plusieurs corps de nombres quadratiques spécifiques (comme $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ et $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ ). Ils ont calculé les valeurs de $\zeta_F(2)$ pour ces corps et ont présenté les résultats dans un tableau, montrant que leur méthode produit des réponses numériques précises. Cela confirme que leur pont théorique est assez solide pour transporter des calculs à travers les terrains mathématiques les plus complexes. En bref, cet article ne fait pas que résoudre un puzzle ; il construit un nouvel outil plus versatile, qui permet aux mathématiciens de voir les motifs cachés des nombres sous un tout nouveau jour, transformant les valeurs impaires silencieuses et mystérieuses de la fonction zeta en un chœur de séries calculables à convergence rapide.

Résumé technique : Une extension de l'identité de Ramanujan-Guinand pour la fonction zêta de Dedekind

Énoncé du problème
La fonction zêta de Riemann $\zeta(s)$ et ses valeurs spéciales ont longtemps été centrales en théorie analytique des nombres. Si Euler a fourni des évaluations sous forme de formes fermées pour les entiers pairs $\zeta(2m)$ , aucune formule aussi simple n'existe pour les entiers impairs $\zeta(2m+1)$ . Ramanujan a découvert une identité remarquable (l'identité de Ramanujan-Guinand) reliant une fonction diviseur généralisée à une fonction de Bessel modifiée, laquelle est liée à la transformation des séries de Eisenstein et produit des formules pour les valeurs impaires de la fonction zêta.

Bien que des analogues de l'identité de Ramanujan pour les valeurs impaires de $\zeta$ aient été étendus aux corps de nombres, un analogue complet de l'identité de Raman géométrie de Ramanujan-Guinand elle-même — spécifiquement pour la fonction zêta de Dedekind $\zeta_F(s)$ — restait à établir. De plus, bien que Zagier (1986) ait fourni une formule pour $\zeta_F(2)$ impliquant des intégrales logarithmiques, une formule de série à convergence rapide pour $\zeta_F(2)$ et $\zeta_F(2m+1)$ pour des corps de nombres arbitraires constituait un domaine d'exploration ouvert.

Méthodologie
Les auteurs, Diksha Rani Bansal et Bibekananda Maji, emploient la théorie des formes automorphes et l'analyse complexe pour dériver leurs résultats. La méthodologie centrale implique :

Développement de Fourier des séries de Eisenstein : Les auteurs utilisent le développement de Fourier de la série de Eisenstein non holomorphe $G(\tau, s)$ sur le groupe modulaire complet, qui incorpore naturellement la fonction diviseur et les fonctions de Bessel modifiées.
Équations fonctionnelles : Ils exploitent l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Dedekind $\zeta_F(s)$ et du produit $\zeta_F(s)\zeta_F(s+z)$ .
Fonction de Steen et fonctions G de Meijer : Pour généraliser les fonctions de Bessel modifiées apparaissant dans l'identité classique aux corps de nombres arbitraires, les auteurs introduisent la fonction de Steen $V(x|a_1, \dots, a_n)$ , définie via une intégrale de Mellin-Barnes. Cette fonction est un cas spécifique de la fonction G de Meijer, permettant de gérer les degrés variables d'implantations réelles ( $r_1$ ) et complexes ( $r_2$ ) d'un corps de nombres $F$ .
Intégration de contour : Les preuves reposent sur le déplacement de contours dans le plan complexe et l'application du théorème du résidu de Cauchy au produit des facteurs gamma et des fonctions zêta, en analysant spécifiquement les pôles en $s=0, 1, -z,$ et $1-z$ .
Techniques de transformée de Mellin : Les auteurs utilisent les transformées de Mellin pour relier la série impliquant la fonction de Steen aux produits de fonctions zêta, établissant ainsi les formules de transformation.

Principales contributions et résultats

Théorème principal (Théorème 2.1) : L'article établit un analogue de corps de nombres de l'identité de Ramanujan-Guinand. Pour un corps de nombres $F$ de degré $d$ , les auteurs prouvent la formule de transformation :
$I_{F,z}(x) = I_{F,-z}\left(\frac{1}{x}\right)$
où $I_{F,z}(x)$ implique une série de fonctions diviseurs généralisées $\sigma_{F,-z}(n)$ pondérées par la fonction de Steen $V_{F,z}$ , plus un terme impliquant le coefficient principal de l'expansion de Laurent de $\zeta_F(s)$ en $s=0$ et le facteur d'équation fonctionnelle $\Omega_F(z)$ .
Récupération des identités classiques :
- Corollaire 2.3 : Lorsque $F = \mathbb{Q}$ , le théorème principal se réduit exactement à l'identité classique de Ramanujan-Guinand.
- Corollaire 2.5 : En fixant $z=0$ et $F=\mathbb{Q}$ , on retrouve l'identité de Ramanujan-Koshliakov.
- Corollaire 2.7 : En fixant $z=1$ et $F=\mathbb{Q}$ , on obtient une identité connue de Ramanujan équivalente à la formule de transformation du logarithme de la fonction $\eta$ de Dedekind.
Nouvelles formules pour les valeurs spéciales :
- $\zeta_F(2)$ (Théorème 2.8) : En tant qu'application directe du cas $z=1$ , les auteurs dérivent une nouvelle formule pour $\zeta_F(2)$ pour tout corps de nombres $F$ arbitraire. Contrairement à la formule de Zagier, qui exprime $\zeta_F(2)$ via une intégrale logarithmique, cette nouvelle formule présente $\zeta_F(2)$ comme une série à convergence rapide impliquant la fonction de Steen. Les auteurs fournissent des évaluations numériques pour des corps quadratiques (par exemple, $\mathbb{Q}(\sqrt{2}), \mathbb{Q}(\sqrt{5})$ ) pour démontrer l'utilité de la formule.
- $\zeta_F(2m+1)$ (Théorème 2.9) : Les auteurs dérivent une identité élégante pour $\zeta_F(2m+1)$ pour tout entier positif $m$ . Cette formule exprime les valeurs impaires de la fonction zêta en termes de séries à convergence rapide impliquant la fonction de Steen et $\zeta_F(2m+2)$ . La remarque 4 souligne qu'en choisissant $x$ comme une racine primitive de l'unité, on peut isoler explicitement $\zeta_F(2m+1)$ .
Équation fonctionnelle des produits : Le Théorème 2.2 démontre que la formule de transformation (2.1) implique l'équation fonctionnelle pour le produit $\zeta_F(s)\zeta_F(s+z)$ , renforçant le lien profond entre les formules de transformation et les équations fonctionnelles.

Signification et revendications
L'article affirme fournir un « analogue de corps de nombres » de l'identité de Ramanujan-Guinand, unifiant ainsi l'étude des valeurs spéciales des fonctions zêta à travers différents corps. Les auteurs soulignent que leur travail illustre la philosophie selon laquelle les formules de transformation pour les formes automorphes encodent les valeurs spéciales des fonctions zêta et L.

Plus précisément, la signification réside dans :

Généralisation : Étendre une identité classique de $\mathbb{Q}$ à des corps de nombres $F$ arbitraires.
Nouveauté de l'évaluation : Fournir une nouvelle formule de série à convergence rapide pour $\zeta_F(2)$ qui complète l'évaluation par intégrale de Zagier.
Unification : Montrer que l'identité de Ramanujan-Koshliakov et la transformation de la fonction $\eta$ sont des cas particuliers d'une identité plus large de corps de nombres.
Formules explicites : Offrir des identités explicites et calculables pour $\zeta_F(2m+1)$ , une classe de valeurs pour lesquelles les formes fermes simples sont généralement inconnues.

Les auteurs concluent que leurs résultats offrent un autre exemple de l'interaction entre les formules de transformation modulaire et l'évaluation explicite des valeurs spéciales, fournissant des outils pour de futures investigations dans l'arithmétique des corps de nombres.

Résumé technique : Une extension de l'identité de Ramanujan-Guinand pour la fonction zêta de Dedekind

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