Resource-Efficient QUBO Formulation for Anchored Currency Arbitrage

글로벌 금융의 고속 세계에서 돈은 끊임없이 국가 간을 이동하며, 한 통화에 대한 다른 통화의 가격은 매초 변화합니다. 때때로 이러한 가격들은 서로 맞지 않을 때가 있습니다. 만약 한 시장에서 통화를 사고 다른 시장에서 팔고, 다시 세 번째 통화를 산 다음, 그 세 번째 통화를 원래의 통화로 다시 판다면, 거래자는 처음 시작했을 때보다 더 많은 돈을 손에 쥐게 될 수도 있습니다. 이것을 통화 차익 거래(currency arbitrage)라고 부릅니다. 이는 시장의 미세한 오류로부터 이익을 얻는 방법입니다. 하지만 이러한 수익성 있는 루프를 찾는 것은 매우 어렵습니다. 수십 개의 통화가 존재하기 때문에, 가능한 모든 거래 경로의 수는 너무나 방대하여 표준 컴퓨터로 일일이 확인하는 것은 해변의 모래알 개수를 세는 것과 같습니다. 여기에 특정 통화를 보유한 상태에서 시작해야 한다는 규칙이나 매 거래마다 발생하는 소액의 수수료와 같은 현실 세계의 규칙을 추가하면 문제는 더욱 어려워집니다.

앨라배마 대학교의 에릭 라인하르트(Eric Reinhardt)와 아담 하우저(Adam Hauser) 연구진은 이차 무제약 이진 최적화(QUBO)라는 방법을 사용하여 이 퍼즐을 해결하는 새로운 방법을 개발했습니다. 이 접근 방식은 시스템의 가장 낮은 에너지 상태를 찾는 데 특화된, 미래의 양자 기계를 포함한 특수 유형의 컴퓨터에서 작동하도록 설계되었습니다. 이 팀은 컴퓨터가 가장 수익성이 높은 거래 사이클을 찾도록 강제하면서도, 특정 통화에서 시작하고 거래 수수료를 지불해야 한다는 규칙을 엄격히 준수하는 수학적 모델을 만들었습니다. 그들의 연구는 이 새로운 모델이 이전의 시도들보다 훨씬 효율적이며, 문제를 해결하는 데 필요한 구성 요소가 더 적다는 것을 보여줍니다. 그들은 이 방법이 수익이 단 1페니의 미만이라 할지라도 정확한 최적의 경로를 찾아낼 수 있음을 증명했으며, 이 접근 방식이 실제 양자 하드웨어에서 테스트할 준비가 되었음을 입증했습니다.

연구진은 먼저 수익성 있는 루프를 찾는 것이 이론적으로는 가능하지만, 이를 빠르게 수행하는 것은 큰 도전 과제라는 점을 인정하며 시작했습니다. 완벽하게 균형 잡힌 시장이라면, 앞뒤로 거래를 반복해도 수수료를 제외하면 처음과 정확히 같은 금액을 남길 것입니다. 하지만 현실 세계에는 미세한 불균형이 존재합니다. 어떤 길은 여행 비용이 약간 더 저렴하다고 가정해 봅시다. 영리한 여행자라면 돈을 아끼면서 출발점으로 돌아오는 경로를 찾아낼 것입니다. 어려움은 경로의 엄청난 수에 있습니다. 만약 10개의 통화가 있다면, 가능한 경로의 수는 너무 빠르게 증가하여 컴퓨터가 최선의 경로를 확신하기 위해 수십억 개의 조합을 확인해야 합니다. QUBO를 사용하여 이를 해결하려 했던 이전의 시도들은 종로를 단순화해야 했으며, 종종 수수료를 무시하거나 특정 통화에서 시작해야 하는 필요성을 간과하여 실제 거래자들에게는 덜 유용한 솔루션을 제공했습니다.

라인하르트와 하우저는 이러한 제약 조건을 포함한 더 현실적인 모델을 구축했습니다. 그들은 컴퓨터가 방문할 통화의 순서를 선택하되, 동일한 통화를 연속해서 두 번 방문하지 않고 항상 출발점으로 돌아오도록 설계했습니다. 결정적으로, 그들은 여정의 매 단계마다 거래 수수료를 나타내는 페널티를 추가했습니다. 이는 컴퓨터가 단순히 길고 구불구불한 경로가 아니라, 실제로 비용을 지불하고도 수익이 나는 경로를 찾도록 강제합니다. 또한 그들은 수학적 처리를 더 쉽게 만드는 영리한 기술을 도입했습니다. 통화 가격을 나타내는 숫자는 매우 클 수 있는 반면, 거래를 통한 실제 이익은 매우 작습니다. 이러한 규모의 차이는 하드웨어를 혼란스럽게 할 수 있습니다. 연구진은 모든 숫자를 동일한 작은 규모로 축소하는 수학적 조정을 적용하여, 기계가 큰 숫자들에 길을 잃지 않고도 미세한 이익을 명확하게 볼 수 있도록 했습니다.

그들의 아이디어를 테스트하기 위해 팀은 양자 기계가 어떻게 작동할지를 시뮬레이션하는 고전 컴퓨터를 사용했습니다. 그들은 이 새로운 방법을 다섯 가지의 기존 문제 설정 방식과 비교했습니다. 모든 테스트에서 그들의 새로운 모델만이 수수료를 포함했을 때도 일관되게 정확한 최적의 해를 찾아낸 유일한 방법이었습니다. 그들은 자신들의 방법이 다른 접근 방식들보다 더 적은 변수, 즉 '논리 큐비트'를 필요로 한다는 것을 발견했습니다. 이는 중요한 장점인데, 현재의 양자 컴퓨터는 사용할 수 있는 이러한 변수의 수가 제한되어 있기 때문입니다. 연구진은 자신들의 방법이 17개의 서로 다른 통화와 최대 14단계의 경로를 포함하는 문제를 현재 존재하는 특정 유형의 양자 기계에 적합할 수 있다고 계산했으며, 이러한 규모가 향후 하드웨어 테스트에 적합할 수 있음을 확인했습니다. 이는 모든 옵션을 단순히 나열하여 해결하려고 할 경우 59조 개 이상의 경로를 확인해야 하는, 불가능에 가까운 규모의 문제입니다.

연구는 문제가 커짐에 따라 성능이 어떻게 변하는지도 조사했습니다. 최대 13개의 통화까지 테스트했을 때, 시뮬레이션은 매번 완벽한 답을 찾아냈습니다. 그러나 통화 수가 14개로 증가하자, 시뮬레이션은 때때로 절대적인 최적의 경로를 놓치기도 했지만, 매우 좋은 경로를 찾아내기는 했습니다. 연구진은 일반 컴퓨터에서는 헬드-카프(Held–Karp) 알고리즘이라는 다른 오래된 방법이 여전히 답을 찾는 데 훨씬 빠르다는 점을 언급했습니다. 이는 현재로서는 이 새로운 방법이 일반 컴퓨터에서 더 빠르지는 않다는 것을 의미합니다. 이 방법의 진정한 가치는 물리 법칙 덕분에 고전 컴퓨터가 결코 할 수 없는 속도로 문제를 해결할 수 있는 양자 하드웨어에서 실행될 잠재력에 있습니다.

팀은 또한 거래 수수료가 결과에 어떤 영향을 미치는지 탐구했습니다. 그들은 수수료가 높을 때 컴퓨터가 길고 복잡한 루프를 찾는 것을 멈추고, 대신 가장 짧은 경로(보통 빠르게 앞뒤로 거래하는 것)를 선택한다는 것을 보여주었습니다. 이러한 동작은 실제 거래자가 하는 행동과 일치합니다. 연구진은 페널티 가중치를 설정하는 수학적 규칙이 컴퓨터가 불가능하거나 깨진 경로를 선택하는 것을 방지할 만큼 강력하다는 것을 검증했습니다. 그들은 페널티 가중치가 올바르게 설정되면, 컴퓨터가 찾는 가장 낮은 에너지 상태가 항상 유효하고 수익성이 있는 거래 사이클이 될 것임을 증명했습니다.

이 연구는 양자 컴퓨팅을 금융 분야에서 유용하게 만드는 데 있어 진일보한 성과입니다. 현실적이고 효율적인 모델을 만듦으로써, 연구진은 이러한 강력한 기계를 사용하여 실질적인 거래 문제를 해결하는 청사진을 제공했습니다. 현재의 테스트는 시뮬레이션 상에서 이루어졌지만, 결과는 실제 양자 하드웨어가 준비되었을 때 이 접근 방식이 시장의 복잡성에 의해 현재 숨겨져 있는 수익 기회를 찾는 데 사용될 수 있음을 시사합니다. 연구진은 향후 실제 양자 기계에서 자신들의 모델을 테스트하여, 실제 세계에서 최고의 고전 컴퓨터보다 성능이 뛰어난지 확인하는 것을 목표로 하고 있습니다. 현재로서는, 그들이 복잡한 실제 시장의 세부 사항을 존중하면서도 차세대 컴퓨터가 다룰 수 있을 만큼 단순함을 유지하는 시스템을 구축할 수 있음을 보여주었습니다.