Disease spread in compartmental spaces: Markov and semi-Markov population models

감염병 연구에서 과학자들은 질병이 인구 집단 사이에서 어떻게 이동하는지 예측하기 위해 오랫동안 수학적 모델에 의존해 왔습니다. 전통적인 접근 방식은 사람들이 마치 유리잔 속에서 소용돌이치는 잉크 방울처럼 무작위로 섞인다고 가정하며, 모든 개인이 서로를 만날 동일한 기회를 가진다고 전제합니다. 그러나 현실 세계는 훨씬 더 구조화되어 있습니다. 사람들은 사무실, 학교, 병원, 쇼핑 센터와 같은 특정 환경을 통해 이동하며, 각기 다른 공간에서 서로 다른 시간을 보내고 자신 주변의 일부 사람들하고만 상호작용합니다. 이러한 공간적 조직화는 사람들이 끊임없이 이러한 공간을 드나든다는 사실과 결합하여, 단순한 모델들이 놓치기 쉬운 복잡한 접촉의 그물을 만들어냅니다. 환기가 그리고 공유된 공기가 전파에 중요한 역할을 할 수 있는 상황에서, 이러한 폐쇄되고 구획된 공간 내에서의 질병 확산을 이해하는 것은 효과적인 공중 보건 전략을 설계하는 데 매우 중요합니다.

멕시코의 한 연구팀은 무작위 혼합 가정을 넘어 건물의 특정 배치와 그 안에서 사람들의 움직임을 고려한 프레임워크를 구축함으로써, 이러한 복잡성을 모델링하는 새로운 방법을 개발했습니다. 연구 논문으로 발표된 이들의 작업은 연결된 방들의 네트워크를 통해 감염이 어떻게 확산되는지 추적하는 두 가지 상호 보완적인 수학적 접근 방식을 소개합니다. 첫 번째 접근 방식은 환경을 폐쇄된 시스템으로 취급하여, 정해진 수의 사람들이 방 사이를 이동하지만 아무도 들어오거나 나가지 않는다고 가정합니다. 두로 유연한 두 번째 접근 방식은 환경을 개방형 시스템으로 취급하여, 사람들이 외부에서 도착하거나 언제든 떠날 수 있도록 허용하는 동시에 사람들이 모든 방에서 동일한 시간을 보내지 않는다는 점을 반영합니다. 연구진은 이러한 이동 패턴을 질병이 옮겨지는 특정한 메커니즘과 결합하여, 특정 시점에 건강한 사람, 보균자, 그리고 감염된 사람의 예상 수를 계산할 수 있었습니다.

연구진은 감염의 흐름을 더 잘 이해하기 위해 인구를 세 가지 뚜렷한 그룹으로 나누었습니다. 첫 번째 그룹은 건강하지만 질병에 걸릴 수 있는 감수성 있는 개인들로 구성됩니다. 두 번째 그룹은 이미 감염원을 보유하고 있어 타인에게 전파할 수 있는 보균자들로 구성됩니다. 세 번째 그룹은 시스템 내에 머무는 동안 감염된 사람들입니다. 이 모델의 핵심 특징은 보균자와 새로 감염된 사람을 구분한다는 점입니다. 연구진은 일단 사람이 시스템 내에서 감염되면 즉시 전염성을 갖게 되는 것이 아니라, 관찰되는 동안 질병을 더 이상 퍼뜨리지 않고 '감염된' 범주에 머문다고 가정했습니다. 이러한 구분은 모델이 이차 감염의 연쇄 반응보다는 보균자로부터 감수성 있는 사람으로의 전파 순간에 집중할 수 있게 해줍니다.

사람들의 움직임을 시뮬레이션하기 위해 연구진은 두 가지 다른 수학적 도구를 사용했습니다. 첫 번째 시나리오에서 그들은 총 인원이 일정하게 유지되는 폐쇄된 건물을 모델링했습니다. 사람들은 마치 다음 방에 들어갈지를 결정하기 위해 주사위를 던지는 게임의 플레이어처럼, 고정된 확률에 따라 방에서 방으로 이동합니다. 이 폐쇄형 시스템에서 연구진은 각 방의 평균 인원수와 시간이 지남에 따라 감염이 어떻게 확산되는지를 정확하게 예측할 수 있음을 발견했습니다. 그들은 수천 명의 가상 인원을 이용한 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 이러한 예측을 검증했습니다. 결과적으로 시뮬레이션의 인원수가 증가함에 따라 실제 결과가 수학적 예측과 거의 완벽하게 일치하였으며, 이는 인구의 평균 행동에 대한 그들의 공식이 옳음을 확인해주었습니다.

두 번째 시나리오는 대부분의 건물이 폐쇄된 시스템이 아니라는 현실을 다루었습니다. 사람들은 문을 통해 걸어 들어오고 출구를 통해 나갑니다. 또한 그들이 머무는 시간은 매우 다양합니다. 이를 포착하기 위해 연구진은 더 현실적인 이동 패턴을 허용하는 준마르코프(semi-Markov) 모델을 사용했습니다. 이 프레임워크에서 사람이 한 방에서 보내는 시간은 고정된 평균값에 얽매이지 않으며, 누군가는 대기실에서 한 시간을 머물 수도 있고 복도를 몇 초 만에 빠르게 지나갈 수도 있다는 점을 반영하여 어떤 분포라도 따를 수 있습니다. 이 모델은 또한 '외부 세계'를 나타내는 '흡수 상태(absorbing states)'를 포함합니다. 사람이 흡수 상태에 도달하면 시스템을 떠난 것이며 다시 돌아오지 않습니다. 이 설정을 통해 연구진은 단순히 건물 안에 몇 명이 있는지뿐만 아니라, 그들이 얼마나 오래 머무는지, 그리고 건강한 상태인지, 바이러스를 보유한 상태인지, 혹은 이미 감염된 상태인지에 따라 얼마나 많은 사람이 떠나는지도 계산할 수 있었습니다.

연구진은 두 개의 방과 두 개의 입구 및 출구가 있는 시설을 예로 들어 이 개방형 모델을 적용했습니다. 그들은 무작위 도착을 위한 표준 통계 분포를 사용하여 건강한 사람과 보균자의 도착을 시뮬레이션했습니다. 이러한 시뮬레이션을 통해 그들은 건물에서 나가는 사람들의 건강 카테고리별 정체 상태(steady-state) 숫자를 결정할 수 있었습니다. 연구 결과, 인구의 흐름과 질병의 확산 사이에 명확한 관계가 있음이 드러났습니다. 시스템에 들어오는 보균자의 수가 증가함에 따라 시스템을 나가는 건강한 사람의 수는 감소했는데, 이는 내부에서 더 많은 감염이 일어나고 있음을 나타냅了. 반대로, 감염된 입입(entries) 비율이 높아짐에 따라 감염된 상태로 나가는 사람의 수도 증가했습니다.

특히 흥미로운 발견은 연구진이 단일 입구 및 출구를 가진 시설과 다중 입구 및 출구를 가진 시설을 비교했을 때 나타났습니다. 그들은 건물의 구성이 결과에 상당한 영향을 미친다는 것을 발견했습니다. 단일 입구 및 출구 모델에서는 다중 입구 및 출구 모델에 비해 시스템을 나가는 건강한 사람의 수가 더 적었고, 감염된 상태로 나가는 사람의 수는 더 많았습니다. 이는 더 많은 출입구가 있는 공간이, 언뜻 직관에 어긋나 보일 수 있지만, 이동 패턴을 변화시키고 보균자와의 밀접 접촉 시간을 줄임으로써 전반적인 감염 수를 줄일 수 있음을 시사합니다.

본 연구는 공간의 물리적 구조를 사람의 움직임 및 질병 전파 메커니즘과 통합함으로써, 어떻게 발병이 진화하는지에 대한 훨씬 더 정확한 그림을 그릴 수 있다고 결론짓습니다. 연구진이 도출한 수학적 표현식은 특정 시점에 감수성 있는 사람, 보균자, 감염된 사람의 예상 수를 계산할 수 있는 방법을 제공합니다. 이러한 도구는 공중 보건 관계자와 정책 입안자들이 건물의 어느 부분이 또는 어떤 이동 패턴이 가장 큰 위험을 초래하는지 이해하는 데 도움을 줄 수 있습니다. 현재의 작업은 이론적 프레임워크와 시뮬레이션에 집중하고 있지만, 저자들은 이 모델들이 향로 실제 데이터(사람들이 어떻게 이동하는지에 대한 실제 데이터)를 사용하여 복잡하고 구조화된 공간에서 질병의 확산을 방지하고 더 나은 개입책을 설계하는 데 적용될 수 있다고 제언합니다.