Disease spread in compartmental spaces: Markov and semi-Markov population models

संक्रामक रोगों के अध्ययन में, वैज्ञानिक लंबे समय से यह भविष्यवाणी करने के लिए गणितीय मॉडलों पर भरोसा करते रहे हैं कि कोई बीमारी आबादी में कैसे फैलती है। पारंपरिक दृष्टिकोण अक्सर यह मान लेते हैं कि लोग यादृच्छिक रूप से (randomly) आपस में मिलते हैं, जैसे कि पानी के गिलास में घुली हुई स्याही की बूंदें, जहाँ प्रत्येक व्यक्ति के पास प्रत्येक अन्य व्यक्ति से मिलने का समान अवसर होता है। हालाँकि, वास्तविक दुनिया कहीं अधिक संरचित है। लोग विशिष्ट वातावरणों—जैसे कार्यालय, स्कूल, अस्पताल और शॉपिंग सेंटर—में घूमते हैं, विभिन्न कमरों में अलग-अलग समय बिताते हैं और अपने आस-पास के लोगों के केवल एक समूह के साथ ही अंतःक्रिया करते हैं। यह स्थानिक संगठन, इस तथ्य के साथ मिलकर कि लोग लगातार इन स्थानों में आते और जाते रहते हैं, संपर्क का एक जटिल जाल बनाता है जिसे सरल मॉडल अक्सर नहीं देख पाते। इन बंद, खंडित स्थानों में रोग के प्रसार को समझना प्रभावी सार्वजनिक स्वास्थ्य रणनीतियों को डिजाइन करने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है, विशेष रूप से तब जब वेंटिलेशन और साझा हवा संक्रमण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।

मेक्सिको के शोधकर्ताओं की एक टीम ने इस जटिलता को मॉडल करने का एक नया तरीका विकसित किया है, जो यादृच्छिक मिश्रण (random mixing) के अनुमान से आगे बढ़कर एक ऐसा ढांचा तैयार करता है जो एक इमारत के विशिष्ट लेआउट और उसके भीतर लोगों की आवाजाही को ध्यान में रखता है। उनका कार्य, जो एक शोध लेख के रूप में प्रकाशित हुआ है, दो पूरक गणितीय दृष्टिकोण पेश करता है जो कमरों के एक नेटवर्क के माध्यम से संक्रमण के प्रसार को ट्रैक करते हैं। पहला दृष्टिकोण वातावरण को एक बंद प्रणाली (closed system) के रूप में मानता है, जहाँ लोगों की एक निश्चित संख्या कमरों के बीच घूमती है लेकिन कोई अंदर आता या बाहर नहीं जाता। दूसरा, अधिक लचीला दृष्टिकोण वातावरण को एक खुली प्रणाली (open system) के रूप में मानता है, जो लोगों को बाहर से आने और किसी भी समय जाने की अनुमति देता है, साथ ही इस तथ्य को भी ध्यान में रखता है कि लोग हर कमरे में समान समय नहीं बिताते हैं। इन आवाजाही के पैटर्न को रोग फैलने के एक विशिष्ट तंत्र के साथ जोड़कर, शोधकर्ता किसी भी दिए गए क्षण में स्वस्थ लोगों, वाहकों (carriers) और संक्रमित व्यक्तियों की अपेक्षित संख्या की गणना करने में सक्षम हुए।

शोधकर्ताओं ने संक्रमण के प्रवाह को बेहतर ढंग से समझने के लिए आबादी को तीन अलग-अलग समूहों में विभाजित किया। पहला समूह अतिसंवेदनशील (susceptible) व्यक्तियों का है, जो स्वस्थ हैं लेकिन बीमारी पकड़ सकते हैं। दूसरा समूह वाहकों (carriers) का है, जो पहले से ही संक्रामक एजेंट को धारण किए हुए हैं और दूसरों को इसे दे सकते हैं। तीसरा समूह उन लोगों को शामिल करता है जो सिस्टम के दौरान संक्रमित हुए हैं। इस मॉडल की एक प्रमुख विशेषता यह है कि यह वाहकों और नए संक्रमित व्यक्तियों के बीच अंतर करता है। शोधकर्ताओं ने माना कि एक बार जब कोई व्यक्ति सिस्टम के भीतर संक्रमित हो जाता है, तो वह तुरंत स्वयं संक्रामक नहीं हो जाता; इसके बजाय, वे देखे जाने के समय के दौरान रोग को आगे नहीं फैलाते हुए "संक्रमित" श्रेणी में बने रहते हैं। यह अंतर शोधकर्ताओं को विशेष रूप से एक वाहक से एक अतिसंवेदनशील व्यक्ति तक होने वाले संक्रमण के क्षण पर ध्यान केंद्रित करने की अनुमति देता है, न कि माध्यमिक संक्रमणों की एक श्रृंखला पर।

लोगों की आवाजाही का अनुकरण (simulate) करने के लिए, शोधकर्ताओं ने दो अलग-अलग गणितीय उपकरणों का उपयोग किया। पहले परिदृश्य में, उन्होंने एक बंद इमारत का मॉडल बनाया जहाँ लोगों की कुल संख्या स्थिर रहती है। लोग निश्चित संभावनाओं के आधार पर एक कमरे से दूसरे कमरे में जाते हैं, ठीक वैसे ही जैसे एक खिलाड़ी यह तय करने के लिए पासा फेंकता है कि उसे अगले कमरे में जाना है या नहीं। इस बंद प्रणाली में, शोधकर्ताओं ने पाया कि वे प्रत्येक कमरे में लोगों की औसत संख्या और समय के साथ संक्रमण कैसे फैलता है, इसका सटीक अनुमान लगा सकते हैं। उन्होंने हजारों आभासी लोगों के साथ कंप्यूटर सिमुलेशन चलाकर इन भविष्यवाणियों को सत्यापित किया। परिणामों ने दिखाया कि जैसे-जैसे सिमुलेशन में लोगों की संख्या बढ़ी, वास्तविक परिणाम गणितीय भविष्यवाणियों से लगभग पूरी तरह मेल खा गए, जिससे पुष्टि हुई कि जनसंख्या के औसत व्यवहार के लिए उनके सूत्र सही थे।

दूसरे परिदृश्य ने इस वास्तविकता को संबोधित किया कि अधिकांश इमारतें बंद प्रणालियाँ नहीं होती हैं। लोग दरवाजों से अंदर आते हैं और निकासों से बाहर जाते हैं, और उनके द्वारा बिताया गया समय बहुत भिन्न होता है। इसे पकड़ने के लिए, शोधकर्ताओं ने एक 'सेमी-मार्कोव मॉडल' (semi-Markov model) का उपयोग किया, जो अधिक यथार्थवादी आवाजाही पैटर्न की अनुमति देता है। इस ढांचे में, एक व्यक्ति द्वारा एक कमरे में बिताया गया समय निश्चित औसत पर आधारित नहीं होता; इसके बजाय, यह किसी भी वितरण (distribution) का पालन कर सकता है, जो इस तथ्य को दर्शाता है कि कोई व्यक्ति प्रतीक्षा कक्ष में एक घंटे तक रुक सकता है लेकिन गलियारे से कुछ ही सेकंड में गुजर सकता है। इस मॉडल में "एब्जॉर्बिंग स्टेट्स" (absorbing states) भी शामिल हैं, जो बाहरी दुनिया का प्रतिनिधित्व करते हैं। एक बार जब कोई व्यक्ति एब्जॉर्बिंग स्टेट तक पहुँच जाता है, तो उसका अर्थ है कि वह सिस्टम से बाहर निकल गया है और वापस नहीं आएगा। इस सेटअप ने शोधकर्ताओं को न केवल यह गणना करने की अनुमति दी कि कितने लोग अंदर हैं, बल्कि यह भी कि वे कितने समय तक रुकते हैं और कितने लोग स्वस्थ, वायरस के वाहक या संक्रमित अवस्था में बाहर निकलते हैं।

शोधकर्ताओं ने अपने खुले मॉडल को दो कमरों और दो प्रवेश/निकास वाले एक विशिष्ट उदाहरण पर लागू किया। उन्होंने यादृच्छिक आगमन के लिए एक मानक सांख्यिकीय वितरण का उपयोग करके स्वस्थ लोगों और वाहकों के आगमन का अनुकरण किया। इन सिमुलेशन को चलाकर, वे स्वास्थ्य की प्रत्येक श्रेणी में इमारत से बाहर जाने वाले लोगों की स्थिर-अवस्था (steady-state) संख्या निर्धारित करने में सक्षम रहे। उनके निष्कर्षों ने स्पष्ट किया कि लोगों के प्रवाह और बीमारी के प्रसार के बीच एक स्पष्ट संबंध है। जैसे-जैसे सिस्टम में प्रवेश करने वाले वाहकों की संख्या बढ़ी, सिस्टम से बाहर जाने वाले स्वस्थ लोगों की संख्या कम हो गई, जो यह दर्शाता है कि अंदर अधिक संक्रमण हो रहे हैं। इसके विपरीत, संक्रमित प्रविष्टियों की दर बढ़ने के साथ संक्रमित होकर बाहर जाने वाले लोगों की संख्या बढ़ गई।

एक विशेष रूप से दिलचस्प निष्कर्ष तब सामने आया जब शोधकर्ताओं ने एक एकल प्रवेश और निकास वाली सुविधा की तुलना कई प्रवेश और निकास बिंदुओं वाली सुविधा से की। उन्होंने पाया कि इमारत का विन्यास (configuration) परिणाम को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करता है। एकल प्रवेश और निकास वाले मॉडल में, सिस्टम से बाहर जाने वाले स्वस्थ लोगों की संख्या कम थी, और संक्रमित होकर बाहर जाने वाले लोगों की संख्या अधिक थी, जो कई प्रवेश और निकास बिंदुओं वाले मॉडल की तुलना में थी। यह सुझाव देता है कि स्थान में प्रवेश करने और बाहर निकलने के अधिक तरीके होना, जो कि सहज ज्ञान के विपरीत लग सकता है, वास्तव में आंदोलन के पैटर्न को बदलकर और वाहकों के साथ लोगों के निकट संपर्क के समय को कम करके समग्र संक्रमणों की संख्या को कम कर सकता है।

अध्ययन यह निष्कर्ष निकालता है कि स्थान की भौतिक संरचना को लोगों की आवाजाही और रोग संचरण के तंत्र के साथ एकीकृत करके, प्रकोप कैसे विकसित होता है, इसकी बहुत अधिक सटीक तस्वीर बनाई जा सकती है। शोधकर्ताओं द्वारा व्युत्पन्न गणितीय अभिव्यक्ति एक तरीका प्रदान करती है जिससे किसी भी समय अतिसंवेदनशील, वाहक और संक्रमित व्यक्तियों की अपेक्षित संख्या की गणना की जा सकती है। ये उपकरण सार्वजनिक स्वास्थ्य अधिकारियों और नीति निर्माताओं को यह समझने में मदद कर सकते हैं कि इमारत के कौन से हिस्से या कौन से आवागमन के पैटर्न सबसे बड़ा जोखिम पैदा करते हैं। जबकि वर्तमान कार्य सैद्धांतिक ढांचे और सिमुलेशन पर केंद्रित है, लेखक सुझाव देते हैं कि इन मॉडलों को अंततः वास्तविक दुनिया के वातावरण में, लोगों की आवाजाही के वास्तविक डेटा का उपयोग करके, जटिल और संरचित स्थानों में संक्रामक रोगों के प्रसार को कम करने के लिए बेहतर हस्तक्षेपों को डिजाइन करने के लिए लागू किया जा सकता है।