Disease spread in compartmental spaces: Markov and semi-Markov population models

En el estudio de las enfermedades infecciosas, los científicos han dependido durante mucho tiempo de modelos matemáticos para predecir cómo una enfermedad se desplaza a través de una población. Los enfoques tradicionales suelen asumir que las personas se mezclan de forma aleatoria, como gotas de tinta agitándose en un vaso de agua, donde cada individuo tiene la misma probabilidad de encontrarse con cualquier otro. Sin embargo, el mundo real es mucho más estructurado. Las personas se mueven a través de entornos específicos —oficinas, escuelas, hospitales y centros comerciales— pasando diferentes cantidades de tiempo en diferentes habitaciones e interactuando solo con un subconjunto de las personas que las rodean. Esta organización espacial, combinada con el hecho de que las personas entran y salen de estos espacios constantemente, crea una compleja red de contacto que los modelos simples a menudo pasan por alto. Comprender cómo se propaga la enfermedad en estos espacios cerrados y compartimentados es crucial para diseñar estrategias de salud pública efectivas, especialmente cuando la ventilación y el aire compartido juegan un papel significativo en la transmisión.

Un equipo de investigadores de México ha desarrollado una nueva forma de modelar esta complejidad, yendo más allá de la suposición de la mezcla aleatoria para crear un marco que tenga en cuenta la disposición específica de un edificio y el movimiento de las personas dentro del mismo. Su trabajo, publicado en un artículo de investigación, introduce dos enfoques matemáticos complementarios para rastrear cómo se propaga una infección a través de una red de habitaciones conectadas. El primer enfoque trata el entorno como un sistema cerrado, donde un número fijo de personas se mueve entre habitaciones pero nadie entra ni sale. El segundo enfoque, más flexible, trata el entorno como un sistema abierto, permitiendo que las personas lleguen desde el exterior y se marchen en cualquier momento, al tiempo que tiene en cuenta el hecho de que las personas no pasan la misma cantidad de tiempo en cada habitación. Al combinar estos patrones de movimiento con un mecanismo específico de cómo se contrae la enfermedad, los investigadores pudieron calcular el número esperado de personas sanas, portadores e infectados en cualquier momento dado.

Los investigadores dividieron la población en tres grupos distintos para comprender mejor el flujo de la infección. El primer grupo consiste en individuos susceptibles, que están sanos pero pueden contraer la enfermedad. El segundo grupo comprende a los portadores, que ya albergan el agente infeccioso y pueden transmitirlo a otros. El tercer grupo incluye a aquellos que se han infectado durante su tiempo en el sistema. Una característica clave de este modelo es que distingue entre los portadores y los recién infectados. Los investigadores asumieron que, una vez que una persona se infecta dentro del sistema, no se vuelve contagiosa inmediatamente, sino que permanece en la categoría de "infectado" sin propagar la enfermedad más allá durante el tiempo en que se le observa. Esta distinción permite que el modelo se concentre específicamente en el momento de la transmisión de un portador a una persona susceptible, en lugar de una reacción en cadena de infecciones secundarias.

Para simular cómo se mueven las personas, los investigadores utilizaron dos herramientas matemáticas diferentes. En el primer escenario, modelaron un edificio cerrado donde el número total de personas permanece constante. Las personas se mueven de una habitación a otra basándose en probabilidades fijas, de forma muy parecida a un juego donde un jugador lanza un dado para decidir en qué habitación entrar a continuación. En este sistema cerrado, los investigadores descubrieron que podían predecir con precisión el promedio de personas en cada habitación y cómo se propagaría la infección a lo largo del tiempo. Verificaron estas predicciones mediante simulaciones por computadora con miles de personas virtuales. Los resultados mostraron que, a medida que aumentaba el número de personas en la simulación, los resultados reales coincidían casi perfectamente con las predicciones matemáticas, confirmando que sus fórmulas para el comportamiento promedio de la población eran correctas.

El segundo escenario abordó la realidad de que la mayoría de los edificios no son sistemas cerrados. Las personas entran por las puertas y salen por las salidas, y el tiempo que pasan en una habitación varía ampliamente. Para capturar esto, los investigadores utilizaron un modelo semi-Markoviano, que permite patrones de movimiento más realistas. En este marco, el tiempo que una persona pasa en una habitación no está fijado a un promedio estándar; en cambio, puede seguir cualquier distribución, reflejando el hecho de que alguien podría demorarse en una sala de espera durante una hora, pero pasar rápidamente por un pasillo en segundos. Este modelo también incluye "estados absorbentes", que representan el mundo exterior. Una vez que una persona alcanza un estado absorbente, ha salido del sistema y no regresará. Esta configuración permitió a los investigadores calcular no solo cuántas personas hay dentro, sino también cuánto tiempo permanecen y cuántas salen sanas, portadoras del virus o ya infectadas.

Los investigadores aplicaron su modelo abierto a un ejemplo específico que involucraba una instalación con dos habitaciones y dos entradas y salidas. Simularon la llegada de personas sanas y portadores utilizando una distribución estadística estándar para llegadas aleatorias. Al realizar estas simulaciones, pudieron determinar los números en estado estacionario de personas que salían del edificio en cada categoría de salud. Sus hallazgos revelaron una relación clara entre el flujo de personas y la propagación de la enfermedad. A medida que aumentaba el número de portadores que entraban al sistema, el número de personas sanas que salían del sistema disminuía, lo que indica que se producían más infecciones dentro. Por el contrario, el número de personas que salían con la infección aumentó a medida que aumentaba la tasa de entradas infectadas.

Un hallazgo particularmente interesante surgió cuando los investigadores compararon una instalación con una sola entrada y salida con una que tenía múltiples entradas y salidas. Descubrieron que la configuración del edificio influía significamente en el resultado. En el modelo con una sola entrada y salida, el número de personas sanas que salían del sistema era menor, y el número de personas infectadas que salían era mayor, en comparación con el modelo con múltiples puntos de entrada y salida. Esto sugiere que tener más formas de entrar y salir de un espacio, lo que podría parecer contraintuitivo, podría en realidad reducir el número total de infecciones al alterar los patrones de movimiento y reducir el tiempo que las personas pasan en contacto cercano con los portadores.

El estudio concluye que, al integrar la estructura física de un espacio con el movimiento de las personas y la mecánica de la transmisión de enfermedades, es posible crear una imagen mucho más precisa de cómo evoluciona un brote. Las expresiones matemáticas derivadas por los investigadores proporcionan una forma de calcular el número esperado de individuos susceptibles, portadores e infectados en cualquier momento dado. Estas herramientas pueden ayudar a los funcionarios de salud pública y a los responsables de la toma de decisiones a comprender qué partes de un edificio o qué patrones de movimiento representan el mayor riesgo. Aunque el trabajo actual se centra en el marco teórico y las simulaciones, los autores sugieren que estos modelos podrían aplicarse eventualmente a entornos del mundo real, utilizando datos reales sobre cómo se mueven las personas para diseñar mejores intervenciones y reducir la propagación de enfermedades infecciosas en espacios complejos y estructurados.