Disease spread in compartmental spaces: Markov and semi-Markov population models

Nello studio delle malattie infettive, gli scienziati si sono a lungo affidati a modelli matematici per prevedere come un'illness si propaghi attraverso una popolazione. Gli approcci tradizionali spesso assumono che le persone si mescolino casualmente, come gocce d'inchiostro che si mescolano in un bicchiere d'acqua, dove ogni individuo ha la stessa probabilità di incontrare ogni altro. Tuttavia, il mondo reale è molto più strutturato. Le persone si muovono attraverso ambienti specifici — uffici, scuole, ospedali e centri commerciali — trascorrendo tempi diversi in diverse stanze e interagendo solo con un sottoinsieme delle persone presenti intorno a loro. Questa organizzazione spaziale, combinata con il fatto che le persone entrano ed escono da questi spazi costantemente, crea una complessa rete di contatti che i modelli semplici spesso non colgono. Comprendere come le malattie si diffondano in questi spazi chiusi e compartimentati è fondamentale per progettare strategie di salute pubblica efficaci, specialmente quando la ventilazione e l'aria condivisa giocano un ruolo significativo nella trasmissione.

Un team di ricercatori provenienti dal Messico ha sviluppato un nuovo modo per modellare questa complessità, andando oltre l'assunto del mescolamento casuale per creare un quadro che tenga conto della specifica disposizione di un edificio e del movimento delle persone al suo interno. Il loro lavoro, pubblicato in un articolo di ricerca, introduce due approcci matematici complementari per tracciare come un'infezione si diffonda attraverso una rete di stanze collegate. Il primo approccio tratta l'ambiente come un sistema chiuso, dove un numero fisso di persone si muove tra le stanze ma nessuno entra o esce. Il secondo approccio, più flessibile, tratta l'ambiente come un sistema aperto, permettendo alle persone di arrivare dall'esterno e partire in qualsiasi momento, tenendo conto anche del fatto che le persone non trascorrono lo stesso tempo in ogni stanza. Combinando questi modelli di movimento con un meccanismo specifico di come la malattia viene contratta, i ricercatori sono stati in grado di calcolare il numero atteso di persone sane, portatrici e infette in un dato momento.

I ricercatori hanno diviso la popolazione in tre gruppi distinti per comprendere meglio il flusso dell'infezione. Il primo gruppo consiste in individui suscettibili, che sono sani ma possono contrarre la malattia. Il secondo gruppo comprende i portatori, che già ospitano l'agente infettivo e possono trasmetterlo ad altri. Il terzo gruppo include coloro che sono diventati infetti durante il loro tempo nel sistema. Una caratteristica chiave di questo modello è che distingue tra portatori e nuovi infetti. I ricercatori hanno ipotizzato che una volta che una persona viene infettata all'interno del sistema, non diventi immediatamente contagiosa, bensì rimane nella categoria "infetta" senza diffondere ulteriormente la malattia durante il tempo in cui viene osservata. Questa distinzione permette al modello di concentrarsi specificamente sul momento della trasmissione da un portatore a una persona suscettibile, piuttosto che su una reazione a catena di infezioni secondarie.

Per simulare come le persone si muovono, i ricercatori hanno utilizzato due diversi strumenti matematici. Nel primo scenario, hanno modellato un edificio chiuso dove il numero totale di persone rimane costante. Le persone si spostano da una stanza all'altra in base a probabilità fisse, in modo simile a un gioco in cui un giocatore lancia un dado per decidere in quale stanza entrare successivamente. In questo sistema chiuso, i ricercatori hanno scoperto di poter prevedere accuratamente il numero medio di persone in ogni stanza e come l'infezione si diffonde nel tempo. Hanno verificato queste previsioni eseguendo simulazioni al computer con migliaia di persone virtuali. I risultati hanno mostrato che, all'aumentare del numero di persone nella simulazione, gli esiti reali corrispondevano quasi perfettamente alle previsioni matematiche, confermando che le loro formule per il comportamento medio della popolazione erano corrette.

Il secondo scenario affrontava la realtà che la maggior parte degli edifici non sono sistemi chiusi. Le persone entrano dalle porte e lasciano attraverso le uscite, e il tempo che trascorrono in una stanza varia ampiamente. Per catturare questo, i ricercatori hanno utilizzato un modello semi-Markoviano, che permette schemi di movimento più realistici. In questo quadro, il tempo che una persona trascorre in una stanza non è fisso a una media standard; invece, può seguire qualsiasi distribuzione, riflettendo il fatto che qualcuno potrebbe indugiare in una sala d'attesa per un'ora ma passare velocemente in un corridoio in pochi secondi. Questo modello include anche "stati assorbenti", che rappresentano il mondo esterno. Una volta che una persona raggiunge uno stato assorbente, ha lasciato il sistema e non tornerà. Questa configurazione ha permesso ai ricercatori di calcolare non solo quante persone sono all'interno, ma anche quanto tempo restano e quanti lasciano il sistema essendo sani, portatori del virus o già infetti.

I ricercatori hanno applicato il loro modello aperto a un esempio specifico riguardante una struttura con due stanze e due ingressi e uscite. Hanno simulato l'arrivo di persone sane e portatrici utilizzando una distribuzione statistica standard per gli arrivi casuali. Eseguendo queste simulazioni, sono stati in grado di determinare i numeri stabili di persone che lasciano l'edificio in ciascuna categoria di salute. I loro risultati hanno rivelato una chiara relazione tra il flusso di persone e la diffusione della malattia. All'aumentare del numero di portatori che entrano nel sistema, il numero di persone sane che lasciano il sistema diminuiva, indicando che all'interno avvenivano più infezioni. Al contrario, il numero di persone che lasciano con l'infezione aumentava al crescere del tasso di ingressi infetti.

Un risultato particolarmente interessante è emerso quando i ricercatori hanno confrontato una struttura con un singolo ingresso e uscita con una con molteplici ingressi ed uscite. Hanno scoperto che la configurazione dell'edificio influenzava significativamente l'esito. Nel modello con un unico ingresso e uscita, il numero di persone sane che lasciavano il sistema era inferiore, e il numero di persone infette che lasciavano era superiore, rispetto al modello con molteplici punti di ingresso e uscita. Ciò suggerisce che avere più modi per entrare e uscire da uno spazio, il che potrebbe sembrare controintuitivo, potrebbe in realtà ridurre il numero complessivo di infezioni alterando i modelli di movimento e riducendo il tempo che le persone trascorrono a stretto contatto con i portatori.

Lo studio conclude che, integrando la struttura fisica di uno spazio con il movimento delle persone e la meccanica della trasmissione delle malattie, è possibile creare un quadro molto più accurato di come si evolva un focolaio. Le espressioni matematiche derivate dai ricercatori forniscono un modo per calcolare il numero atteso di individui suscettibili, portatori e infetti in qualsiasi momento. Questi strumenti possono aiutare i funzionari di sanità pubblica e i decisori politici a capire quali parti di un edificio o quali modelli di movimento pongano il rischio maggiore. Sebbene l'attuale lavoro si concentri sul quadro teorico e sulle simulazioni, gli autori suggeriscono che questi modelli potrebbero essere eventualmente applicati ad ambienti del mondo reale, utilizzando dati reali su come le persone si muovono per progettare migliori interventi e ridurre la diffusione di malattie infettive in spazi complessi e strutturati.