Abelian varieties genuinely of $\mathrm{GL}_n$-type

Technische Samenvatting: Abelische Variëteiten die Echt van $GL_n$-type zijn

Probleemstelling
Het artikel behandelt de classificatie en de arithmetische eigenschappen van een eenvoudige abelsche variëteit $A$ gedefinieerd over een getallenlichaam $k$ die van "$GL_n$-type" is. Een abelsche variëteit is van $GL_n$-type als er een getallenlichaam $E$ van graad $2\dim(A)/n$ bestaat die ingebed is als een subalgebra van haar endomorfie-algebra $\text{End}_0(A)$. De auteurs richten zich specifiek op variëteiten die echt van $GL_n$-type zijn, wat betekent dat $A$ eenvoudig is, van $GL_n$-type, en dat haar basissubstitutie $A_{\bar{k}}$ geen isogene factor bevat van $GL_m$-type voor $m < n$.

Het centrale probleem is het generaliseren van de theorie van abelsche variëteiten van $GL_2$-type (geïntroduceerd door Ribet) naar hogere $n$. Specifiek beogen de auteurs de resultaten van Chi, Banaszak, Gajda en Krasoń te generaliseren met betrekking tot het beeld van $\ell$-adische Galois-representaties behorend bij deze variëteiten. Eerdere resultaten stelden vast dat indien het centrum $H$ van $\text{End}_0(A)$ totaal reëel is, de geassocieerde Galois-representaties symplectisch of orthogonaal zijn. Dit artikel tracht deze hypothese te verzwakken: kan de symplectische of orthogonale aard van de representaties worden teruggewonnen als enkel het centrum $F$ van $\text{End}_0(A_{\bar{k}})$ (de endomorfie-algebra van de geometrische basissubstitutie) totaal reëel is, in plaats van $H$?

Methodologie
De auteurs ontwikkelen een structurele theorie waarbij gebruik wordt gemaakt van "bouwstenen" (building blocks), "innerlijke twistingen" (inner twists) en "nebentypes" om deze variëteiten te analyseren.

1. Bouwstenen: De auteurs stellen vast dat indien $A$ echt van $GL_n$-type is, $A_{\bar{k}}$ is isogeen aan een macht $B^r$ van een eenvoudige abelsche variëteit $B$ gedefinieerd over $\bar{k}$. Deze $B$ wordt de bouwsteen genoemd die geassocieerd is met $A$. Zij bewijzen dat $B$ een $GL_n$-type bouwsteen is, wat betekent dat $\text{End}_0(B)$ een centrale divisie-algebra is over een veld $F$ met Schur-index $t_B$ waarvoor $n t_B [F:\mathbb{Q}] = 2\dim(B)$ geldt.
2. Brauer-groep Relaties: Een cruciale algebraïsche stap is het relateren van de Brauer-klassen van $\text{End}_0(A)$ en $\text{End}_0(B)$. De auteurs tonen aan dat $[\text{End}_0(A)] = [\text{End}_0(B) \otimes_F H]$ in de Brauer-groep van $H$. Dit maakt het mogelijk om de Albert-typen (classificatie van divisie-algebra's met positieve involutie) van $A$ en $B$ te relateren.
3. Innerlijke Twistingen en Nebentypes: De auteurs passen de theorie van innerlijke twistingen (oorspronkelijk voor $GL_2$) aan voor de $GL_n$-setting. Zij construeren een karakter $\varepsilon$ (het nebentype) dat waarden aanneemt in $H^\times$ zodanig dat de Galois-representatie $\varrho_\lambda$ isomorf is aan $\varepsilon \otimes \varrho_\lambda$ (getwist door complexe conjugatie). Deze constructie berust op het feit dat indien $A$ geometrisch van de eerste soort is (dat wil zeggen, $F$ is totaal reëel), de extensie $H/F$ Abel is.
4. Descent van Representaties: Door middel van cohomologische methoden (specifiek het analyseren van 2-cocycles in $H^2(\text{Gal}(E/H), E^\times)$) bewijzen de auteurs dat de $\ell$-adische representaties descenderen naar het veld $H_\lambda$ onder de voorwaarde dat het priemgetal $\lambda$ de endomorfie-algebra splitst.
5. Constructie van de Pairing: Door gebruik te maken van de absolute irreducibiliteit van de representaties en de lemma van Schur, construeren zij een niet-degeneratieve, $G_k$-equivariante pairing $\psi_\lambda$ op de representatieruimte. De symmetrie (alternerend of symmetrisch) van deze pairing wordt bepaald door het Albert-type van de bouwsteen $B$.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Generalisering van de resultaten van Chi et al.: De Hoofdstelling (Stelling 7.5) stelt dat indien $A$ echt van $GL_n$-type is en geometrisch van de eerste soort (wat betekent dat het centrum $F$ van $\text{End}_0(A_{\bar{k}})$ totaal reëel is), er voor priemgetallen $\lambda$ waar $\text{End}_0(A)$ splitst, een absoluut irreducibele representatie $\varrho_\lambda: G_k \to \text{Aut}(W_\lambda(A))$ van graad $n$ bestaat. Bovendien bestaat er een $G_k$-equivariante pairing $\psi_\lambda$ met waarden in $H_\lambda(\varepsilon \chi_\ell)$, waarbij $\varepsilon$ het nebentype karakter is en $\chi_\ell$ het cyclotomische karakter.

  • Indien de bouwsteen $B$ Albert-type I of II heeft, is $\psi_\lambda$ alternerend (symplectisch).
  • Indien $B$ Albert-type III heeft, is $\psi_\lambda$ symmetrisch (orthogonaal).
  • Dit resultaat blijft geldig zelfs als het centrum $H$ niet totaal reëel is, mits $F$ dat wel is.

• Karakterisering van echte $GL_n$-type: Het artikel biedt een criterium (Propositie 2.9) dat echte $GL_n$-type variëteiten karakteriseert: een eenvoudige abelsche variëteit $A$ is echt van $GL_n$-type dan en slechts dan als $\text{End}_0(A_{\bar{k}})$ simpel is en er een maximaal subveld van $\text{End}_0(A)$ bestaat dat ook een maximaal subveld van $\text{End}_0(A_{\bar{k}})$ is.

• Expliciete Constructie van Voorbeelden: In Sectie 8 construeren de auteurs een expliciete familie van abelsche viervouden die echt van $GL_4$-type zijn. Deze worden verkregen als de restrictie van scalairen van Jacobiennes van genus 2 curven gedefinieerd over een kwadratisch veld $k$. De curven worden geconstrueerd zodanig dat zij isogeen zijn aan hun Galois-conjugaten via een Richelot-isogenie.

  • Voorbeeld 8.6: Zij bieden een specifieke curve $C$ over $k = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ die de Jacobian $J$ heeft met een triviale endomorfie-ring over $\mathbb{Q}$ (dat wil zeggen, $\text{End}(J_{\mathbb{Q}}) = \mathbb{Z}$), maar die isogeen is aan haar Galois-conjugaat. De restrictie van scalairen $A = \text{Res}_{k/\mathbb{Q}}(J)$ is een abelsche viervoud echt van $GL_4$-type met $\text{End}_0(A) \cong \mathbb{Q}(\sqrt{-2})$.
  • Dit voorbeeld is significant omdat het centrum $H = \mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ een CM-veld is, en geen totaal reëel veld. Hiermee is de Hoofdstelling van toepassing, terwijl de eerdere resultaten van Chi, Banaszak, Gajda en Krasoń (die vereisten dat $H$ totaal reëel was) hier niet gelden.

• Criterium voor Triviale Endomorfismen: Sectie 9 biedt een computationeel criterium (Propositie 9.3) om te verifiëren dat een abelsche variëteit een triviale endomorfie-ring over $\mathbb{Q}$ heeft. Dit behelst het controleren van de stabiele irreducibiliteit van de karakteristieke polynomen van Frobenius bij twee verschillende priemgetallen en het waarborgen dat hun splitsingsvelden lineair disjunct zijn.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt de theorie van abelsche variëteiten van $GL_n$-type uit te breiden door de voorwaarde op het centrum van de endomorfie-algebra te versoepelen van "totaal reëel" naar de eis dat enkel het centrum van de geometrische endomorfie-algebra totaal reëel moet zijn. Dit staat de inclusie toe van variëteiten waarbij de endomorfie-algebra over het basisveld een CM-veld is, een geval dat voorheen werd uitgesloten van de symplectische/orthogonale classificatie binnen de context van $GL_n$-type abelsche variëteiten.

De auteurs benadrukken dat hun constructie van de familie van abelsche viervouden in Sectie 8 de eerste expliciete voorbeelden levert van variëteiten die echt van $GL_4$-type zijn en van de "tweede soort" zijn (in de zin van het endomorfie-algebra van het basisveld) maar geometrisch van de "eerste soort". Dit demonstreert de noodzaak en het nut van hun gegeneraliseerde kader. Het werk steunt op en generaliseert de fundamentele technieken van Ribet, Pyle en Chi et al., door deze aan te passen aan de hogere dimensie van de $GL_n$-context via het systematisch gebruik van bouwstenen en innerlijke twistingen.