Abelian varieties genuinely of $\mathrm{GL}_n$-type

技術要約：真に $GL_n$ 型であるアーベル多様体

問題提起
本論文は、数体 $k$ 上で定義された「$GL_n$ 型」の単純アーベル多様体 $A$ の分類および算術的性質を扱う。アーベル多様体が $GL_n$ 型であるとは、その自己同型代数 $\text{End}_0(A)$ に埋め込まれた次数 $2\dim(A)/n$ の数体 $E$ が存在することを指す。著者らは、特に「真に（genuinely）」$GL_n$ 型であるもの、すなわち、$A$ が単純であり、$GL_n$ 型であり、かつその基底変更 $A_{\bar{k}}$ が $m < n$ なる $GL_m$ 型の成分を含まないものに焦点を当てる。

中心的な問題は、$GL_2$ 型（Ribetによって導入された）のアーベル多様体の理論を、より高い $n$ へと一般化することである。具体的には、これらに付随する $\ell$ 進ガロア表現の像に関する、Chi、Banaszak、Gajda、およびKrasońによる研究を拡張することを目指している。先行研究では、$\text{End}_0(A)$ の中心 $H$ が完全実数体であれば、関連するガロア表現はシンプレクティックまたは直交的であることが確立されていた。本論文は、この仮定を弱めることができるか、すなわち、$\text{End}_0(A)$ の中心 $H$ ではなく、$\text{End}_0(A_{\bar{k}})$ の中心 $F$ が完全実数体である場合にのみ、表現のシンプレクティックまたは直交的な性質を回収できるかを追求している。

手法
著者らは、「ビルディングブロック」、「内部ねじれ（inner twists）」、「ネベントイプ（nebentypes）」を含む構造理論を開発し、これらの多様体を分析する。

1. ビルディングブロック: 著者らは、$A$ が真に $GL_n$ 型であれば、$A_{\bar{k}}$ は $\bar{k}$ 上で定義された単純アーベル多様体 $B$ の冪 $B^r$ に同種であると確立している。この $B$ は、$A$ に付随する $GL_n$ 型ビルディングブロックと呼ばれる。彼らは、$B$ が $GL_n$ 型ビルディングブロックであること、すなわち $\text{End}_0(B)$ が、シュア指数 $t_B$ を満たす体 $F$ 上の中心単純リー代数であり、$n t_B [F:\mathbb{Q}] = 2\dim(B)$ となることを証明している。
2. ブラウアー群の関係: 著者らは、$\text{End}_0(A)$ と $\text{End}_0(B)$ のブラウアー類を関連付けるための重要な代数的ステップとして、ブラウアー群 $H$ における $[\text{End}_0(A)] = [\text{End}_0(B) \otimes_F H]$ という関係を示す。これにより、$A$ と $B$ のアルバート型（正の対合を持つ分割代数の分類）を関連付けることが可能になる。
3. 内部ねじれとネベントイプ: 著者らは、内部ねじれの理論（元々は $GL_2$ 用のもの）を $GL_n$ の設定へと適応させる。彼らは、ガロア表現 $\varrho_\lambda$ が $\varepsilon \otimes \varrho_\lambda$（複素共役によるねじれ）と同型となるような、$H^\times$ に値を取る指標 $\varepsilon$（ネベントイプ）を構成する。この構成は、$A$ が第一種幾何学的（すなわち $F$ が完全実数体）であるという事実に基づいている。
4. 表現の降下: コホモロジー的手法（具体的には $H^2(\text{Gal}(E/H), E^\times)$ における2コサイクルを分析すること）を用いて、素数 $\lambda$ が自己同型代数を分解するという条件下で、$\ell$ 進表現が $H_\lambda$ へと降下することを証明する。
5. ペアリングの構成: 表現の絶対既約性とシュアの補題を利用して、表現空間上の非退化な $G_k$ 平行なペアリング $\psi_\lambda$ を構成する。このペアリングの対称性（交代または対称）は、ビルディングブロック $B$ のアルバート型によって決定される。

主要な貢献と結果

• Chiらの結果の一般化: 主定理（定理 7.5）は、$A$ が真に $GL_n$ 型であり、幾何学的に第一種（すなわち $\text{End}_0(A_{\bar{k}})$ の中心 $F$ が完全実数体）である場合、$\text{End}_0(A)$ が分解する素数 $\lambda$ に対して、次数 $n$ の絶対既約表現 $\varrho_\lambda: G_k \to \text{Aut}(W_\lambda(A))$ が存在することを述べている。さらに、$G_k$ 平行なペアリング $\psi_\lambda$ が、$H_\lambda(\varepsilon \chi_\ell)$ に値を取る形で存在する。ここで $\varepsilon$ はネベントイプであり、$\chi_\ell$ は円分指標である。

  • ビルディングブロック $B$ がアルバート型 I または II の場合、$\psi_\lambda$ は交代的（シンプレクティック）である。
  • $B$ がアルバート型 III の場合、$\psi_\lambda$ は対称的（直交的）である。
  • この結果は、$H$ が完全実数体でない場合でも、$F$ が完全実数体であれば成立する。

• 真の $GL_n$ 型の特性付け: 論文は、真の $GL_n$ 型多様体を特徴付ける判定基準（命題 2.9）を提供している。単純アーベル多様体 $A$ が真に $GL_n$ 型であるための必要十分条件は、$\text{End}_0(A_{\bar{k}})$ が単純であり、かつ $\text{End}_0(A)$ の極大部分体が $\text{End}_0(A_{\bar{k}})$ の極大部分体でもあることである。

• 例の明示的な構成: 第8節において、著者らは真に $GL_4$ 型であるアーベル四つ組の明示的な族を構成している。これらは、二次体 $k$ 上の種数2の曲線のスカラー拡大（restriction of scalars）として得られる。これらの曲線は、リチェロット・イソジェニー（Richelot isogeny）を介してそのガロア共役と同種となるように構成されている。

  • 例 8.6: 著者らは、$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 上の曲線 $C$ を具体的に提示しており、そのヤコビアン $J$ は $\mathbb{Q}$ 上の自己同型環が自明（すなわち $\text{End}(J_{\mathbb{Q}}) = \mathbb{Z}$）であるが、ガロア共役と同種である。スカラー拡大 $A = \text{Res}_{k/\mathbb{Q}}(J)$ は、$\text{End}_0(A) \cong \mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ を持つ、真に $GL_4$ 型のアーベル四つ組である。
  • この例は重要である。なぜなら、中心 $H = \mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ はCM体であり、完全実数体ではないからである。したがって、主定理は適用可能であるが、Chi、Banaszak、Gajda、およびKrasońによる先行研究（$H$ が完全実数体であることを要求していた）は適用できない。

• 自明な自己同型の判定基準: 第9節は、アーベル多様体が $\mathbb{Q}$ 上の自明な自己同型環を持つことを検証するための計算的判定基準（命題 9.3）を提供している。これは、2つの異なる素数におけるフロベニウスの特性多項式の安定既約性をチェックし、それらの分解体が線形独立であることを確認することを含む。

意義と主張
本論文は、自己同型代数の中心に関する条件を、「中心が完全実数体であること」から「幾何学的自己同型代数の中心が完全実数体であること」へと緩和することで、$GL_n$ 型のアーベル多様体の理論を拡張すると主張している。これにより、基底体の自己同型代数がCM体であるような多様体（以前は除外されていたケース）を含めることが可能になる。

著者らは、第8節におけるアーベル四つ組の構成が、真に $GL_4$ 型であり、かつ（基底体の意味での）「第二種の」性質を持ちながら「幾何学的には第一種の」性質を持つ（すなわち、基底体の自己同型代体はCM体だが、幾何学的中心は完全実数体である）初の明示的な例を提供していることを強調している。この成果は、彼らの一般化された枠組みの必要性と有用性を実証している。本研究は、Ribet、Pyle、およびChiらによる基礎的な手法に依拠し、ビルディングブロックと内部ねじれの体系的な使用を通じて、それらを高次元の $GL_n$ の文脈へと適応させ、一般化したものである。