Abelian varieties genuinely of $\mathrm{GL}_n$-type

Resumo Técnico: Variedades Abelianas Genuinamente do Tipo $GL_n$

Enunciado do Problema
O artigo aborda a classificação e as propriedades aritméticas de uma variedade abeliana simples $A$ definida sobre um corpo numérico $k$ que é "do tipo $GL_n$". Uma variedade abeliana é do tipo $GL_n$ se existir um corpo numérico $E$ de grau $2\dim(A)/n$ imerso como uma subálgebra de sua álgebra de endomorfismos $\text{End}_0(A)$. Os autores focam especificamente em variedades que são genuinamente do tipo $GL_n$, o que significa que $A$ é simples, do tipo $GL_n$, e sua mudança de base $A_{\bar{k}}$ não contém um fator de isogenia de tipo $GL_m$ para $m < n$.

O problema central é generalizar a teoria das variedades abelianas do tipo $GL_2$ (introduzida por Ribet) para $n$ superior. Especificamente, os autores visam estender os resultados de Chi, Banaszak, Gajda e Krasoń relativos à imagem das representações de Galois $\ell$-ádicas associadas a essas variedades. Resultados anteriores estabeleceram que, se o centro $H$ de $\text{End}_0(A)$ é totalmente real, as representações de Galois associadas são simpléticas ou ortogonais. O artigo busca enfraquecer essa hipótese: será que a natureza simplética ou ortogonal das representações pode ser recuperada se apenas o centro $F$ de $\text{End}_0(A_{\bar{k}})$ (a álgebra de endomorfismos da mudança de base geométrica) for totalmente real, em vez de $H$?

Metodologia
Os autores desenvolvem uma teoria estrutural envolvendo "blocos de construção" (building blocks), "torções internas" (inner twists) e "tipos de nebentyp" (nebentypes) para analisar essas variedades.

1. Blocos de Construção: Os autores estabelecem que, se $A$ é genuinamente do tipo $GL_n$, então $A_{\bar{k}}$ é isógena a uma potência $B^r$ de uma variedade abeliana simples $B$ definida sobre $\bar{k}$. Este $B$ é denominado o bloco de construção associado a $A$. Eles provam que $B$ é um bloco de construção do tipo $GL_n$, o que significa que $\text{End}_0(B)$ é uma álgebra de divisão central sobre um corpo $F$ com índice de Schur $t_B$ satisfazendo $n t_B [F:\mathbb{Q}] = 2\dim(B)$.
2. Relações de Grupos de Brauer: Um passo algébrico fundamental envolve relacionar as classes de Brauer de $\text{End}_0(A)$ e $\text{End}_0(B)$. Os autores mostram que $[\text{End}_0(A)] = [\text{End}_0(B) \otimes_F H]$ no grupo de Brauer de $H$. Isso permite relacionar os tipos de Albert (classificação de álgebras de divisão com involução positiva) de $A$ e $B$.
3. Torções Internas e Nebentypos: Os autores adaptam a teoria de torções internas (originalmente para $GL_2$) para o contexto de $GL_n$. Eles constroem um caractere $\varepsilon$ (o nebentyp) tomando valores em $H^\times$ tal que a representação de Galois $\varrho_\lambda$ é isomórfica a $\varepsilon \otimes \varrho_\lambda$ (torcida pela conjugação complexa). Essa construção depende do fato de que, se $A$ é geometricamente do primeiro tipo (ou seja, $F$ é totalmente real), a extensão $H/F$ é abeliana.
4. Descida de Representações: Usando métodos cohomológicos (especificamente analisando 2-cocycles em $H^2(\text{Gal}(E/H), E^\times)$), os autores provam que as representações $\ell$-ádicas descem para o corpo $H_\lambda$ sob a condição de que o primo $\lambda$ divide a álgebra de endomorfismos.
5. Construção de Emparelhamento: Ao explorar a irreducibilidade absoluta das representações e o lema de Schur, eles constroem um emparelhamento não degenerado, $G_k$-equivariante $\psi_\lambda$ no espaço da representação. A simetria (alternada ou simétrica) deste emparelhamento é determinada pelo tipo de Albert do bloco de construção $B$.

Principais Contribuições e Resultados

• Generalização dos Resultados de Chi et al.: O Teorema Principal (Teorema 7.5) afirma que, se $A$ é genuinamente do tipo $GL_n$ e geometricamente do primeiro tipo (significando que o centro $F$ de $\text{End}_0(A_{\bar{k}})$ é totalmente real), então para primos $\lambda$ onde $\text{End}_0(A)$ se divide, existe uma representação absolutamente irredutível $\varrho_\lambda: G_k \to \text{Aut}(W_\lambda(A))$ de grau $n$. Além disso, existe um emparelhamento $G_k$-equivariante $\psi_\lambda$ com valores em $H_\lambda(\varepsilon \chi_\ell)$, onde $\varepsilon$ é o nebentyp e $\chi_\ell$ é o caractere ciclotômico.

  • Se o bloco de construção $B$ possui tipo de Albert I ou II, $\psi_\lambda$ é alternado (simplético).
  • Se $B$ possui tipo de Albert III, $\psi_\lambda$ é simétrico (ortogonal).
  • Este resultado mantém-se válido mesmo se o centro $H$ de $\text{End}_0(A)$ não for totalmente real, desde que $F$ seja.

• Caracterização de Variedades de Tipo $GL_n$ Genuínas: O artigo fornece um critério (Proposição 2.9) que caracteriza variedades genuinamente do tipo $GL_n$: uma variedade abeliana simples $A$ é genuinamente do tipo $GL_n$ se, e somente se, $\text{End}_0(A_{\bar{k}})$ é simples e existe um subcampo maximal de $\text{End}_0(A)$ que também é um subcampo maximal de $\text{End}_0(A_{\bar{k}})$.

• Construção Explícita de Exemplos: Na Seção 8, os autores constroem uma família explícita de quatrovariedades abelianas genuinamente do tipo $GL_4$. Estas são obtidas como restrições de escalar de jacobianos de curvas de gênero 2 definidas sobre um corpo quadrático $k$. As curvas são construídas para serem isógenas às suas conjugadas de Galois via uma isogenia de Richelot.

  • Exemplo 8.6: Eles fornecem uma curva específica $C$ sobre $k = \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ tal que seu jacobiano $J$ tem anel de endomorfismos trivial sobre $\mathbb{Q}$ (ou seja, $\text{End}(J_{\mathbb{Q}}) = \mathbb{Z}$), mas é isógeno à sua conjugada de Galois. A restrição de escalar $A = \text{Res}_{k/\mathbb{Q}}(J)$ é uma quatrovariedade abeliana genuinamente do tipo $GL_4$ com $\text{End}_0(A) \cong \mathbb{Q}(\sqrt{-2})$.
  • Este exemplo é significativo porque o centro $H = \mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ é um corpo CM, não um corpo totalmente real. Assim, o Teorema Principal aplica-se, mas os resultados anteriores de Chi, Banaszak, Gajda e Krasoń (que exigiam que $H$ fosse totalmente real) não se aplicam.

• Critério para Endomorfismos Triviais: A Seção 9 fornece um critério computacional (Proposição 9.3) para verificar que uma variedade abeliana possui um anel de endomorfismos trivial sobre $\mathbb{Q}$. Isso envolve verificar a irreducibilidade estável dos polinômios característicos de Frobenius em dois primos distintos e garantir que seus corpos de decomposição sejam linearmente disjuntos.

Significância e Alegações
O artigo afirma estender a teoria das variedades abelianas do tipo $GL_n$ ao relaxar a condição sobre o centro da álgebra de endomorfismos de ser totalmente real para exigir apenas que o centro da álgebra de endomorfismos geométrica seja totalmente real. Isso permite a inclusão de variedades onde a álgebra de endomorfismos sobre o corpo base é um corpo CM, um caso anteriormente excluído da classificação simplética/ortogonal no contexto de variedades do tipo $GL_n$.

Os autores enfatizam que sua construção da família de quatrovariedades abelianas na Seção 8 fornece os primeiros exemplos explícitos de variedades genuinamente do tipo $GL_4$ que são "do segundo tipo" (no sentido da álgebra de endomorfismos do corpo base) mas "geometricamente do primeiro tipo". Isso demonstra a necessidade e a utilidade de seu arcabouço generalizado. O trabalho baseia-se e generaliza as técnicas fundamentais de Ribet, Pyle e Chi et al., adaptando-as ao contexto de dimensão superior de $GL_n$ através do uso sistemático de blocos de construção e torções internas.