Smooth categories in a 6 functor formalism and compact generation for nuclear categories in analytic geometry

Technische Samenvatting: Gladde Categorieën in een 6-Functie Formalisme en Compacte Generatie voor Nucleaire Categorieën in Analytische Meetkunde

Probleemstelling
Het artikel behandelt een fundamentele incompatibiliteit tussen de standaard categorische definities van gladheid en properheid in niet-commutatieve algebraïsche meetkunde en de analytische setting. In de algebraïsche context is een variëteit $X$ glad dan en slechts dan als de bijbehorende categorie van perfecte complexen, $\text{Perf}(X)$, een gladde $\infty$-categorie is (gedefinieerd via de dualiseerbaarheid van de diagonale bimodule). Echter, in de rigide analytische meetkunde voldoet het standaard tensorproduct van stabiele presentabele $\infty$-categorieën niet aan de Künneth-formule voor Tate-algebra's (bijvoorbeeld $\text{Perf}(k\langle t \rangle) \otimes_k \text{Perf}(k\langle u \rangle) \neq \text{Perf}(k\langle t, u \rangle)$). Bijgevolg is de standaard categorische notie van gladheid intrinsiek algebraïsch en ongeschikt voor analytische variëteiten. Dit falen leidt tot een breuk waarbij een rigide analytische variëteit $X$ geometrisch glad kan zijn, terwijl $\text{Perf}(X)$ niet categorisch glad is, tenzij $X$ algebraïseerbaar is (d.w.z. voortkomt uit een algebraïsch schema).

Methodologie
Om dit op te lossen, maakt de auteur gebruik van het raamwerk van gecondenseerde wiskunde en analytische stapels ontwikkeld door Clausen en Scholze. De methodologie verloopt via enkele sleutelstappen:

1. Afgeleide Rigide Analytische Meetkunde: Het artikel maakt gebruik van de theorie van geanimeerde affinoïde algebra's en afgeleide rigide analytische ruimten (volgend op Mikaelian en Porta–Yu). Deze ruimten worden geconstrueerd door het samenvoegen van geanimeerde affinoïde algebra's langs rationale localisaties.
2. Nucleaire Categorieën: In plaats van te werken met $\text{Perf}(X)$, richt de auteur zich op de $\infty$-categorie van nucleaire schoven, aangeduid als $\text{Nuc}(X)$. Nucleaire categorieën, geïntroduceerd in gecondenseerde wiskunde, zijn rigide en staan een "voltooid" tensorproduct toe dat voldoet aan de Künneth-formule voor rigide variëteiten.
3. 6-Functie Formalisme: Er wordt een robuust 6-functie formalisme gevestigd voor nucleaire categorieën over afgeleide rigide analytische ruimten. Dit formalisme omvat pullback ($f^*$), pushforward ($f_*$) en de onder-shriek ($f_!$) functors, waarbij $f_!$ wordt geïdentificeerd met $f_*$ voor quasi-compacte, semi-gescheiden afbeeldingen.
4. Relatieve Gladheid: Het artikel definieert intern gladde $\infty$-categorieën relatief ten opzichte van een basale symmetrisch monoidale $\infty$-categorie $\mathcal{V}$ (specifiek $\text{Nuc}(k)$). Een $\infty$-categorie $\mathcal{C}$ is intern glad als de co-evaluatiemap een $\mathcal{V}$-lineaire rechteradjunct toestaat die colimieten behoudt.
5. Atomaire Generatie: De studie onderzoekt het bestaan van een enkele compacte (of "atomaire") generator voor deze categorieën, en koppelt deze eigenschap aan de algebraïsering van de onderliggende variëteit.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Equivalentie van Geometrische en Categorische Gladheid: Het primaire resultaat (Stelling 1.4 / Stelling 5.1) stelt dat voor een klassieke rigide analytische variëteit $X$ over een niet-Archimedse veld $k$, $X$ geometrisch glad is dan en slechts dan als de $\infty$-categorie $\text{Nuc}(X)$ intern glad is over $\text{Nuc}(k)$. Dit wordt bereikt door te bewijzen dat de diagonale afbeelding $\Delta^* \mathcal{O}_X$ een perfect complex (compact object) is in $\text{Nuc}(X \hat{\times} X)$ dan en slechts dan als $X$ glad is.
• GAGA voor Nucleaire Categorieën: Het artikel bewijst een GAGA-achtige stelling (Corollarium 5.7) die de nucleaire categorie van een analytificatie $X^{\text{an}}$ relateert aan de algebraïsche categorie: $\text{Nuc}(X^{\text{an}}) \simeq \text{QCoh}(X) \otimes_{\text{Mod}_k} \text{Nuc}(k)$.
• Karakterisering van Algebraïseerbaarheid: Stelling 1.8 (Stelling 5.9) biedt een categorisch criterium voor algebraïsering. Een gladde, proper, quasi-compacte, gescheiden rigide analytische variëteit $X$ is algebraïseerbaar dan en slechts dan als $\text{Nuc}(X)$ een enkele $\text{Nuc}(k)$-atomaire (equivalent, compacte) generator toestaat.
• Tegenvoorbeeld voor Vermoeden 1.7: Het artikel construeert een tegenvoorbeeld voor het vermoeden dat elke gladde, atomaire gegenereerde $\mathcal{V}$-lineaire $\infty$-categorie een enkele atomaire generator toestaat (Vermoeden 1.7). Door te kijken naar een niet-algebraïseerbare gladde en proper rigide analytische variëteit (bijvoorbeeld het $p$-adische Hopf-oppervlak), demonstreert de auteur dat $\text{Nuc}(X)$ intern glad is maar faalt om een enkele compacte generator te hebben. Dit toont aan dat de eigenschap van het samenvoegen van lokale compacte generators om een globale te vormen, die geldt in algebraïsche meetkunde, faalt in de analytische topologie.

Beteekenis
Het artikel claimt betekenis op drie hoofdgebieden:

1. Niet-Commutatieve Analytische Meetkunde: Het transporteert succesvol de krachtige machinerie van categorische gladheid naar rigide analytische meetkunde door het standaard tensorproduct te vervangen door het nucleaire tensorproduct. Dit maakt een precieze niet-commutatieve karakterisering van geometrische gladheid mogelijk, die eerder werd geblokkeerd door het falen van de Künneth-formule in de klassieke setting.
2. Criteria voor Algebraïsering: Het biedt een nieuwe, puur categorische methode om te detecteren of een rigide analytische variëteit algebraïseerbaar is, door het bestaan van een globale compacte generator in de nucleaire categorie te koppelen aan de geometrische eigenschap van algebraïsering.
3. Fundamentele Distincties: De resultaten benadrukken een fundamenteel structureel verschil tussen algebraïsche en analytische topologieën. Specifiek dient het falen van het "samenvoegen van lokale compacte generators" in de analytische setting als een tegenvoorbeeld voor generalisaties van algebraïsche resultaten (zoals Vermoeden 1.7) naar willekeurige rigide basissen, wat aantoont dat het gedrag van nucleaire categorieën verschilt van dat van modules over ringen in de algebraïsche setting.

Het artikel concludeert dat hoewel het categorische raamwerk van gladheid kan worden aangepast aan analytische meetkunde via gecondenseerde wiskunde en nucleaire categorieën, de resulterende theorie intrinsieke beperkingen blootlegt met betrekking tot compacte generatie die niet bestaan in de algebraïsche wereld.