Smooth categories in a 6 functor formalism and compact generation for nuclear categories in analytic geometry

Résumé technique : Catégories lisses dans un formalisme à six foncteurs et génération compacte pour les catégories nucléaires en géométrie analytique

Énoncé du problème
L'article traite d'une incompatibilité fondamentale entre les définitions catégorielles standards de la lissité et de la propreté en géométrie algébrique non commutative et le cadre analytique. Dans le contexte algébrique, une variété $X$ est lisse si et seulement si sa catégorie associée de complexes parfaits, $\text{Perf}(X)$, est une $\infty$-catégorie lisse (définie via la dualisabilité du bimodule diagonal). Cependant, en géométrie analytique rigide, le produit tensoriel standard des $\infty$-catégories stables présentables ne satisfait pas la formule de Künneth pour les algèbres de Tate (par exemple, $\text{Perf}(k\langle t \rangle) \otimes_k \text{Perf}(k\langle u \rangle) \neq \text{Perf}(k\langle t, u \rangle)$). Par conséquent, la notion catégorielle standard de lissité est intrinsèquement algébrique et mal adaptée aux variétés analytiques. Cet échec entraîne une rupture où une variété analytique rigide $X$ peut être géométriquement lisse, pourtant $\text{Perf}(X)$ échoue à être catégoriellement lisse sauf si $X$ est algébrisable (c'est-à-dire qu'elle provient d'un schéma algébrique).

Méthodologie
Pour résoudre ce problème, l'auteur utilise le cadre des mathématiques condensées et des champs analytiques développés par Clausen et Scholze. La méthodologie procède par plusieurs étapes clés :

1. Géométrie analytique rigide dérivée : L'article utilise la théorie des algèbres affinoides animées et des espaces analytiques rigides dérivés (suivant Mikaelian et Porta–Yu). Ces espaces sont construits par recollement d'algèbres affinoides animées le long de localisations rationnelles.
2. Catégories nucléaires : Au lieu de travailler avec $\text{Perf}(X)$, l'auteur se concentre sur la $\infty$-catégorie des faisceaux nucléaires, notée $\text{Nuc}(X)$. Les catégories nucléaires, introduites dans les mathématiques condensées, sont rigides et admettent un produit tensoriel « complété » qui satisfait la formule de Künneth pour les variétés rigides.
3. Formalisme à six foncteurs : Un formalisme robuste à six foncteurs est établi pour les catégories nucléaires sur les espaces analytiques rigides dérivés. Ce formalisme inclut les foncteurs de réciproque ($f^*$), d'image directe ($f_*$) et d'image directe à support compact ($f_!$), avec $f_!$ identifié à $f_*$ pour les applications quasi-compactes et semi-séparées.
4. Lissité relative : L'article définit des $\infty$-catégories intérieurement lisses par rapport à une $\infty$-catégorie de base monoïdale symétrique $\mathcal{V}$ (spécifiquement $\text{Nuc}(k)$). Une $\infty$-catégorie $\mathcal{C}$ est intérieurement lisse si l'application de coévaluation admet un adjoint à droite $\mathcal{V}$-linéaire préservant les colimites.
5. Génération atomique : L'étude examine l'existence d'un unique générateur compact (ou « atomique ») pour ces catégories, reliant cette propriété à l'algébrisation de la variété sous-jacente.

Contributions et résultats clés

• Équivalence de la lissité géométrique et catégorielle : Le résultat principal (Théorème 1.4 / Théorème 5.1) établit que pour une variété analytique rigide classique $X$ sur un corps non archimédien $k$, $X$ est géométriquement lisse si et seulement si la $\infty$-catégorie $\text{Nuc}(X)$ est intérieurement lisse sur $\text{Nuc}(k)$. Cela est obtenu en prouvant que l'application diagonale $\Delta^* \mathcal{O}_X$ est un complexe parfait (objet compact) dans $\text{Nuc}(X \hat{\times} X)$ si et seulement si $X$ est lisse.
• GAGA pour les catégories nucléaires : L'article prouve un théorème de type GAGA (Corollaire 5.7) reliant la catégorie nucléaire d'une analytification $X^{\text{an}}$ à la catégorie algébrique : $\text{Nuc}(X^{\text{an}}) \simeq \text{QCoh}(X) \otimes_{\text{Mod}_k} \text{Nuc}(k)$.
• Caractérisation de l'algébrisabilité : Le Théorème 1.8 (Théorème 5.9) fournit un critère catégoriel pour l'algébrisation. Une variété analytique rigide lisse, propre, quasi-compacte et séparée $X$ est algébrisable si et seulement si $\text{Nuc}(X)$ admet un unique générateur $\text{Nuc}(k)$-atomique (équivalent, compact).
• Contre-exemple à la conjecture 1.7 : L'article construit un contre-exemple à la conjecture selon laquelle toute $\infty$-catégorie $\mathcal{V}$-linéaire lisse et générée atomiquement admet un unique générateur atomique (Conjecture 1.7). En considérant une variété analytique rigide lisse et propre non algébrisable (par exemple, la surface de Hopf $p$-adique), l'auteur démontre que $\text{Nuc}(X)$ est intérieurement lisse mais échoue à avoir un unique générateur compact. Cela montre que la propriété de collage des générateurs compacts locaux pour en former un global, qui vaut en géométrie algébrique, échoue dans la topologie analytique.

Signification
L'article revendique une importance dans trois domaines principaux :

1. Géométrie analytique non commutative : Il transporte avec succès la puissante machinerie de la lissité catégorielle en géométrie analytique rigide en remplaçant le produit tensoriel standard par le produit tensoriel nucléaire. Cela permet une caractérisation non commutative précise de la lissité géométrique qui était auparavant entravée par l'échec de la formule de Künneth dans le cadre classique.
2. Critères d'algébrisation : Il fournit une nouvelle méthode purement catégorielle pour détecter si une variété analytique rigide est algébrisable, reliant l'existence d'un générateur compact global dans la catégorie nucléaire à la propriété géométrique d'algébrisation.
3. Distinctions fondamentales : Les résultats mettent en évidence une différence structurelle fondamentale entre les topologies algébrique et analytique. Spécifiquement, l'échec du « collage des générateurs compacts locaux » dans le cadre analytique sert de contre-exemple aux généralisations de résultats algébriques (comme la Conjecture 1.7) vers des bases rigides arbitraires, démontrant que le comportement des catégories nucléaires est distinct de celui des modules sur les anneaux dans le cadre algébrique.

L'article conclut que si le cadre catégoriel de la lissité peut être adapté à la géométrie analytique via les mathématiques condensées et les catégories nucléaires, la théorie résultante révèle des limitations intrinsèques concernant la génération compacte qui n'existent pas dans le monde algébrique.