Smooth categories in a 6 functor formalism and compact generation for nuclear categories in analytic geometry

技術的概要：解析幾何における核圏のコンパクト生成と 6 関手形式における滑らかな圏

問題提起
本論文は、非可換代数幾何における滑らかさと固有性の標準的な圏論的定義と、解析的設定との間の根本的な不整合に対処する。代数の文脈では、多様体 $X$ が滑らかであることと、その関連する完全複体の圏 $\text{Perf}(X)$ が滑らかな $\infty$-圏であること（対角双加群の双対性によって定義される）は同値である。しかし、剛解析幾何では、安定な現れる $\infty$-圏の標準的なテンソル積は、テート代数に対する Künneth 公式を満たさない（例えば、$\text{Perf}(k\langle t \rangle) \otimes_k \text{Perf}(k\langle u \rangle) \neq \text{Perf}(k\langle t, u \rangle)$）。その結果、標準的な圏論的滑らかさの概念は本質的に代数的であり、解析的多様体には不適切である。この失敗は、剛解析多様体 $X$ が幾何学的に滑らかであっても、$X$ が代数的化可能（すなわち、代数スキームから生じる）でない限り、$\text{Perf}(X)$ が圏論的に滑らかではないという断絶をもたらす。

手法
これを解決するため、著者は Clausen と Scholze が開発した凝縮数学と解析スタックの枠組みを採用する。手法は以下の主要なステップを経て進行する。

1. 導来剛解析幾何：本論文は、Mikaelian および Porta–Yu に倣ったアニメーション付アフィノイド代数と導来剛解析空間の理論を利用する。これらの空間は、有理局所化に沿ってアニメーション付アフィノイド代数を貼り合わせることで構成される。
2. 核圏：$\text{Perf}(X)$ を扱う代わりに、著者は核層の $\infty$-圏、すなわち $\text{Nuc}(X)$ に焦点を当てる。凝縮数学で導入された核圏は剛的であり、剛多様体に対する Künneth 公式を満たす「完備化された」テンソル積を許容する。
3. 6 関手形式：導来剛解析空間上の核圏に対して、堅牢な 6 関手形式が確立される。この形式には、引き戻し ($f^*$)、押し出し ($f_*$)、および下 shriek ($f_!$) 関数が含まれ、$f_!$ は準コンパクトかつ半分離的な写像に対して $f_*$ と同一視される。
4. 相対的滑らかさ：本論文は、基底対称モノイダル $\infty$-圏 $\mathcal{V}$（具体的には $\text{Nuc}(k)$）に対する内部的に滑らかな $\infty$-圏を定義する。$\infty$-圏 $\mathcal{C}$ が内部的に滑らかであるとは、評価写像が $\mathcal{V}$-線形で余極限を保存する右随伴を持つことをいう。
5. 原子生成：本研究は、これらの圏に対する単一のコンパクト（または「原子」）生成子の存在を調査し、この性質を基礎となる多様体の代数的化と関連付ける。

主要な貢献と結果

• 幾何学的滑らかさと圏論的滑らかさの同値性：主要な結果（定理 1.4 / 定理 5.1）は、非アルキメデス体 $k$ 上の古典的剛解析多様体 $X$ について、$X$ が幾何学的に滑らかであることと、$\infty$-圏 $\text{Nuc}(X)$ が $\text{Nuc}(k)$ 上で内部的に滑らかであることとが同値であることを確立する。これは、対角写像 $\Delta^* \mathcal{O}_X$ が $\text{Nuc}(X \hat{\times} X)$ 内の完全複体（コンパクト対象）であることと、$X$ が滑らかであることとが同値であることを証明することによって達成される。
• 核圏に対する GAGA：本論文は、解析化 $X^{\text{an}}$ の核圏と代数圏を関連付ける GAGA 型の定理（系 5.7）を証明する：$\text{Nuc}(X^{\text{an}}) \simeq \text{QCoh}(X) \otimes_{\text{Mod}_k} \text{Nuc}(k)$。
• 代数的化可能性の特性付け：定理 1.8（定理 5.9）は、代数的化のための圏論的基準を提供する。滑らかで固有、準コンパクト、分離的な剛解析多様体 $X$ が代数的化可能であることと、$\text{Nuc}(X)$ が単一の $\text{Nuc}(k)$-原子（同様にコンパクト）生成子を持つこととは同値である。
• 予想 1.7 への反例：本論文は、すべての滑らかで原子生成される $\mathcal{V}$-線形 $\infty$-圏が単一の原子生成子を持つという予想（予想 1.7）に対する反例を構成する。代数的化不可能な滑らかで固有な剛解析多様体（例えば、$p$-進ホップ曲面）を考慮することで、著者は $\text{Nuc}(X)$ が内部的に滑らかであるが、単一のコンパクト生成子を持たないことを示す。これは、代数幾何では成り立つ局所コンパクト生成子を貼り合わせて大域的な生成子を作るという性質が、解析位相では失敗することを示している。

意義
本論文は、以下の 3 つの主要な領域において意義を主張する。

1. 非可換解析幾何：標準的なテンソル積を核テンソル積に置き換えることで、強力な圏論的滑らかさの機械を剛解析幾何へ成功裏に移植する。これにより、古典的設定における Künneth 公式の失敗によって以前は阻害されていた、幾何学的滑らかさの正確な非可換的な特性付けが可能となった。
2. 代数的化基準：剛解析多様体が代数的化可能かどうかを検出する、新しい純粋に圏論的な方法を提供する。これは、核圏における大域的コンパクト生成子の存在と、代数的化という幾何学的性質を結びつける。
3. 基礎的な相違点：結果は、代数位相と解析位相の間の根本的な構造的相違を浮き彫りにする。具体的には、解析的設定における「局所コンパクト生成子の貼り合わせ」の失敗は、代数の結果（例えば予想 1.7）を任意の剛基底へ一般化することへの反例として機能し、核圏の振る舞いが代数設定における環上の加群の振る舞いとは異なることを示している。

本論文は、凝縮数学と核圏を介して滑らかさの圏論的枠組みを解析幾何に適応させることは可能であるが、その結果として得られる理論は、代数世界には存在しないコンパクト生成に関する本質的な限界を明らかにすると結論づけている。