Correlation visibility and generalized Siegert relation for random light beams

Technische Samenvatting: Correlatiezichtbaarheid en de Veralgemeende Siegert-relatie voor Willekeurige Lichtbundels

Probleemstelling
De klassieke coherentietheorie is sterk afhankelijk van het faseverschil ($\Delta\Phi$) om lichtvelden te karakteriseren, waarbij gebruik wordt gemaakt van de coherentiefunctie van de eerste orde $g^{(1)}$ en de Siegert-relatie ($g^{(2)} = 1 + |g^{(1)}|^2$) om de coherentie van de eerste en tweede orde te koppelen voor Gaussisch thermisch licht. Dit kader is echter ontoereikend voor de karakterisering van moderne, kunstmatig gegenereerde pseudo-thermische lichtbronnen, met name die welke "golffront-som"-correlaties vertonen. In specifieke scenario's, zoals holografisch thermisch licht of geconjugeerde pseudo-thermische bundels, zijn de ruimtelijke golffronten complementair ($\phi_1 + \phi_2 \approx \text{const}$), wat leidt tot een verdwijnende golffront-verschilcorrelatie ($g^{(1)} = 0$) terwijl een sterke tweede-orde correlatie behouden blijft ($g^{(2)} = 2$). De standaard Siegert-relatie faalt in het beschrijven van deze gevallen, en bestaande metrieken kunnen geen onderscheid maken tussen conventioneel thermisch licht (golffront-verschilcorrelatie) en holografisch thermisch licht (golffront-somcorrelatie), aangezien beide een $g^{(2)} = 2$ opleveren. Bovendien is het nog onduidelijk of deze twee soorten correlaties kunnen coëxisteren of gemengd kunnen worden in een enkele bron.

Methodologie
De auteurs stellen een theoretisch en experimenteel kader voor om deze golffrontcorrelaties te kwantificeren en te classificeren:

1. Theoretische Definitie van Golffrontcorrelatiegraad:
   Het artikel introduceert een nieuwe metriek, de graad van golffrontcorrelatie $p^{(1)}$, gedefinieerd als het verschil tussen de grootte van de golffront-verschilcorrelatie ($|g^{(1)}|$) en de golffront-somcorrelatie ($|h^{(1)}|$):
   $$p^{(1)} = |g^{(1)}| - |h^{(1)}|$$
   Deze grootheid varieert symmetrisch van $-1$ tot $+1$. Een positief teken duidt op een neiging tot golffront-verschilcorrelatie (conventioneel thermisch licht), terwijl een negatief teken wijst op golffront-somcorrelatie (holografisch thermisch licht). Een waarde van nul impliceert een evenwicht of afwezigheid van correlatie. Een gewijzigde versie, $p^{(1/2)}$, wordt eveneens voorgesteld om beter rekening te houden met de reikwijdte van fasefluctuaties.

2. Veralgemeende Siegert-relatie:
   Met behulp van de Gaussische momentstelling (Wick's stelling) voor complexe Gaussische variabelen leiden de auteurs een veralgemeende Siegert-relatie af die rekening houdt met niet-cirkelvormig symmetrische gezamenlijke verdelingen en niet-nul gemiddelde velden. De relatie wordt uitgedrukt als:
   $$g^{(2)} = 1 + |g^{(1)}|^2 + |h^{(1)}|^2 - \frac{2|e_1|^2|e_2|^2}{\langle I_1 \rangle \langle I_2 \rangle}$$
   waarbij $e_j$ de niet-nul gemiddelde component voorstelt. Deze formule reduceert tot de klassieke Siegert-relatie wanneer $|h^{(1)}|=0$ en het gemiddelde nul is, en tot $g^{(2)} = 1 + |h^{(1)}|^2$ voor pure geconjugeerde velden met een nulgemiddelde.

3. Experimentele Metrieken: Correlatiezichtbaarheid ($V_g$) en Achtergrond ($\mu_g$):
   Om deze eigenschappen experimenteel te karakteriseren zonder directe fase-meting, stellen de auteurs een opstelling met een common-path interferometer voor. Door een coherente lokale oscillator (referentiebundel) met een instelbare fase $\phi_0$ aan de willekeurige lichtvelden toe te voegen, meten ze de intensiteitscorrelatiefunctie $g^{(2)}(I_x, I_y; \phi_0)$.

   • Correlatiezichtbaarheid ($V_g$): Gedefinieerd als de modulatiediepte van het oscillerende $g^{(2)}$-signaal naarmate $\phi_0$ varieert. $V_g > 0$ dient als een waarneembaar criterium voor het bestaan van golffront-somcorrelatie (niet-cirkelvormige symmetrie).
   • Correlatieachtergrond ($\mu_g$): De gemiddelde waarde van het $g^{(2)}$-signaal, gerelateerd aan de graad van intensiteitscorrelatie.
     Samen vormen $\{\mu_g, V_g\}$ een tweedimensionaal classificatiekader voor diverse Gaussische pseudo-thermische lichtbronnen.

Belangrijkste Resultaten

• Numerieke Verificatie: Simulaties van gemengde bronnen (combinatie van conventioneel en holografisch thermisch licht) tonen aan dat de graad van golffrontcorrelatie ($p^{(1)}$) soepel overgaat van positieve naar negatieve waarden, afhankelijk van het mengverhouding. De veralgemeende Siegert-relatie voorspelt de intensiteitscorrelatie $g^{(2)}$ nauwkeurig over deze mengsels heen, waarbij blijkt dat $g^{(2)}$ kan dalen tot een minimum van 1,5 voor mengsels in gelijke verhouding, wat onderscheidend is ten opzichte van de waarde 2 voor pure bronnen.
• Experimentele Demonstratie: Met behulp van een Ruimtelijke Lichtmodulator (SLM) om drie soorten fasepatronen te genereren (willekeurig, geconjugeerd-symmetrisch en centrosymmetrisch), maten de auteurs $g^{(2)}$ als functie van de referentiefase $\phi_0$.
  • Geval 1 (Conventioneel): Geen oscillatie ($V_g \approx 0$), $g^{(2)} = 1$.
  • Geval 2 (Geconjugeerd/Som): Significante oscillatie ($V_g \approx 0,30$), wat wijst op golffront-somcorrelatie.
  • Geval 3 (Centrosymmetrisch/Verschil): Geen oscillatie ($V_g \approx 0$), maar $g^{(2)} > 1$ door intensiteitscorrelatie.
  • Geval 4 (Gemengde Bron): Een mengsel van geconjugeerde en centrosymmetrische bundels leverde $V_g \approx 0,17$ en $\mu_g \approx 1,13$ op, wat de aanwezigheid van partiële golffront-somcorrelatie bevestigt en het veralgemeende theoretische model valideert.

Betekenis en Beweringen
Het artikel claimt een uitgebreid kader te bieden voor het evalueren van zowel coherentie van de eerste als van de tweede orde in paarsgewijs gegenereerde willekeurige lichtbundels, specifiek voor systemen waarbij golffront-somcorrelaties optreden. De primaire bijdragen zijn:

1. Kwantificering: De introductie van $p^{(1)}$ maakt numeriek onderscheid mogelijk tussen golffront-som- en golffront-verschilcorrelaties, die voorheen alleen op basis van intensiteitscorrelatie niet van elkaar te onderscheiden waren.
2. Veralgemening: De afgeleide veralgemeende Siegert-relatie is geldig voor alle Gaussische pseudo-thermische licht, inclusief complexe mengsels en situaties met een niet-nul gemiddelde, en corrigeert de beperkingen van de klassieke relatie.
3. Experimentele Toegankelijkheid: Het voorstellen van correlatiezichtbaarheid $V_g$ en achtergrond $\mu_g$ biedt een praktische, meetbare methode om deze exotische correlaties te karakteriseren met behulp van standaard lineaire interferometrie en intensiteitscorrelatiemetingen, zonder dat complexe niet-lineaire interferometers of directe fase-sensatie vereist zijn.

De auteurs stellen dat deze set fysische grootheden een vollediger classificatieschema biedt voor Gaussische lichtbronnen en potentieel kan worden uitgebreid naar andere vrijheidsgraden (polarisatie, orbitale impulsmoment) en niet-Gaussisch willekeurig licht in toekomstig onderzoek.