Stability Analysis and Controller Design for a Linear System with Duhem Hysteresis Nonlinearity

Resumo Técnico: Análise de Estabilidade e Projeto de Controlador para um Sistema Linear com Não Linearidade de Histerese de Duhem

Enunciado do Problema
Este artigo aborda a análise de estabilidade e o projeto de controle para interconexões de feedback entre um sistema linear e um operador de histerese de Duhem. A histerese é uma não linearidade prevalente em diversos sistemas, incluindo atuadores piezoelétricos, materiais ferromagnéticos e fricção mecânica. Embora existam vários modelos (ex: Preisach, backlash, elástico-plástico), este trabalho foca no operador de Duhem devido à sua capacidade de capturar dinâmicas complexas de entrada-saída (I/O). Especificamente, os autores investigam sistemas onde a planta linear e o operador de histerese exibem dinâmicas de I/O anti-horárias (CCW) ou horárias (CW). O desafio central é estabelecer condições de estabilidade e projetar controladores para esses sistemas interconectados sem exigir o conhecimento paramétrico preciso do operador de histerese, baseando-se, em vez disso, em suas propriedades estruturais de I/O.

Metodologia
Os autores empregam uma abordagem baseada em dissipatividade, utilizando funções de armazenamento (funções de Lyapunov) derivadas das características específicas de I/O dos subsistemas.

1. Caracterização das Dinâmicas:

   • Dinâmicas CCW: Definidas pela desigualdade $\liminf_{T\to\infty} \int_0^T \langle \dot{y}(t), u(t) \rangle dt > -\infty$. Para operadores de Duhem, isso é caracterizado por uma função de armazenamento $H^\circleleft$ que satisfaz $\frac{d}{dt}H^\circleleft \leq \dot{y}u$.
   • Dinâmicas CW: Definidas pela desigualdade dual $\liminf_{T\to\infty} \int_0^T y(t)^T \dot{u}(t) dt > -\infty$. Para operadores de Duhem, isso é caracterizado por uma função de armazenamento $H^\circleright$ que satisfaz $\frac{d}{dt}H^\circleright \leq y\dot{u}$.
   • O artigo revisa as condições sobre as funções de Duhem $f_1$ e $f_2$ (especificamente envolvendo uma função de anhisterese $f_{an}$ e funções de trajetória) que garantem essas propriedades CCW ou CW.

2. Análise de Estabilidade de Interconexões:
   O artigo analisa quatro casos distintos de interconexão entre um sistema linear $P$ e um operador de Duhem $\Phi$ (resumidos na Tabela I do texto original):

   • Caso (a): Ambos $P$ e $\Phi$ são CCW (Feedback positivo). A estabilidade é provada usando uma função de Lyapunov composta envolvendo a forma quadrática do sistema linear e a função de armazenamento de Duhem $H^\circleleft$. As condições dependem do limite de setor da função de anhisterese $f_{an}$.
   • Caso (b): $P$ é CW e $\Phi$ é CCW (Feedback negativo). A estabilidade é estabelecida via Desigualdades Matriciais Lineares (LMIs) que são independentes dos parâmetros específicos de $\Phi$, baseando-se apenas em sua propriedade CCW.
   • Caso (c): $P$ é CCW e $\Phi$ é CW (Feedback negativo). A estabilidade é provada usando a propriedade S-CCW do sistema linear e a função de armazenamento de Duhem $H^\circleright$.
   • Caso (d): Ambos $P$ e $\Phi$ são CW (Feedback positivo). A estabilidade é analisada usando representações estendidas de espaço de estados e LMIs, exigindo limites sobre as funções $f_1$ e $f_2$.

3. Projeto de Controlador:
   Com base nos teoremas de estabilidade, os autores propõem uma metodologia de projeto de controle. O controlador $C$ é projetado para garantir que o sistema em cascata (planta + controlador) satisfaça as LMIs ou condições algébricas específicas exigidas para o caso de interconexão correspondente. Isso permite a estabilização sem a necessidade de inverter o operador de histerese.

Principais Contribuições e Resultados

• Condições de Estabilidade Suficientes: O artigo fornece condições rigorosas de estabilidade para sistemas em malha fechada envolvendo histerese de Duhem. Estas condições são categorizadas pela natureza CCW/CW da planta e do operador de histerese.
• Construção de Lyapunov: Construções explícitas de funções de Lyapunov são fornecidas para cada caso de interconexão, combinando a energia do sistema linear com as funções de armazenamento ($H^\circleleft$ ou $H^\circleright$) do operador de Duhem.
• Síntese de Controlador: Um algoritmo sistemático é apresentado para projetar controladores para plantas lineares com atuadores ou sensores histeréticos. O método baseia-se na resolução de LMIs ou desigualdades algébricas, evitando a necessidade de modelagem precisa ou compensação inversa da histerese.
• Validação Numérica: Os resultados teóricos são validados através de exemplos numéricos envolvendo um sistema massa-amortecedor-mola com atuadores histeréticos tanto CCW (tipo piezoelétrico) quanto CW (tipo fricção). Simulações demonstram que os controladores projetados estabilizam com sucesso os sistemas, levando as velocidades a zero e as posições a constantes.

Significância e Alegações
Os autores alegam que este trabalho oferece um paradigma diferente para o controle de sistemas com histerese. Diferentemente das abordagens tradicionais que frequentemente exigem a definição de um operador de histerese inverso para cancelar a não linearidade, este método explora as propriedades dissipativas inerentes (CCW ou CW) da histerese. Consequentemente, o projeto de controle não requer informações precisas sobre os parâmetros do operador de histerese, apenas suas dinâmicas qualitativas de I/O. O artigo afirma que esta abordagem de dissipatividade pode ser estendida para plantas não lineares que exibem dinâmicas CCW, ampliando a aplicabilidade dos resultados além dos sistemas lineares. O trabalho é motivado por e baseia-se em resultados anteriores relativos à interconexão de sistemas de imagem negativa e sistemas CCW, estendendo esses conceitos para incluir dinâmicas CW e a estrutura específica do operador de Duhem.