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Stability Analysis and Controller Design for a Linear System with Duhem Hysteresis Nonlinearity

本文基于 Duhem 滞回算子的顺时针或逆时针输入-输出动力学特性，建立了线性系统与该算子反馈互联的充分稳定性条件，并利用这些研究结果提出了一种控制设计方法，用于在无需精确获知滞回模型的情况下，实现对带有滞回执行器或传感器的线性受控对象的稳定控制。

原作者： Ruiyue Ouyang, Bayu Jayawardhana

发布于 2026-06-03

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CC BY 3.0

原作者： Ruiyue Ouyang, Bayu Jayawardhana

原始论文采用 CC BY 3.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

想象一下你正在尝试驾驶一辆汽车，但方向盘有一种奇怪的、粘滞的记忆。如果你向左转，它不仅仅是停在左边；它会“记住”你之前转过的位置，并抵抗回到中心位置。这就是滞后现象（Hysteresis）。这是许多机器中常见的特性，比如磁铁中的金属或减震器中的橡胶。

这篇论文讲述了一支工程师团队（Ouyang 和 Jayawardhana）如何解决即使当其“方向盘”（执行器或传感器）具有这种粘滞、充满记忆的行为时，也能保持机器稳定的问题。他们并没有试图修复这种粘滞感，也没有去精确计算这种粘滞感到底有多强。相反，他们观察了这种粘滞性所推动的方向。

两种类型的“粘滞性”

作者意识到这种记忆效应主要以两种方式表现，他们称之为逆时针（CCW）和顺时针（CW）。把它们想象成两种不同的舞蹈动作：

逆时针（CCW）： 想象一位舞者，当你推他时，他会随着你推得越重而回推得越猛，但他似乎总是在一个特定的、安全的循环中“引领”着动作。在现实世界中，这就像是一个压电执行器（用于高精度显微镜）。当你给它电流时，它会移动，但它有一个遵循特定预测循环的“滞后”。
顺时针（CW）： 想象一位舞者，当你推他时，他似乎反应迟钝并“拖着”脚步，创造出一个相反方向的循环。在现实世界中，这就像是机械系统中的摩擦力。当你试图滑动一个重箱子时，摩擦力会与你对抗，产生另一种形式的循环。

问题所在：反馈回路

论文研究了一个由线性机器（一个可预测的标准引擎）连接到滞后部件（那个粘滞的舞者）组成的系统。它们通过一个回路连接在一起：机器告诉舞者该做什么，而舞者告诉机器发生了什么。

核心问题是：这个回路会失控旋转，还是会趋于稳定？

如果机器和舞者的组合不对，系统可能会把自己震碎。如果他们的舞蹈组合正确，系统则会自然地冷静下来并停止运动。

解决方案：“稳定性图谱”

作者创建了一套规则（数学条件）来预测系统是否安全。他们不需要知道粘滞性的确切公式。他们只需要知道：

机器是“逆时针”还是“顺时针”？
滞后效应是“逆时针”还是“顺时针”？

他们发现了四种可能的配对方式（就像一个 2x2 的网格）：

CCW 机器 + CCW 滞后： 如果使用“正反馈”（比如两个人朝同一个方向推）连接，它们可以协同工作。
CW 机器 + CCW 滞后： 它们在“负反馈”（比如一个在过热时关闭加热的恒温器）下表现良好。
CCW 机器 + CW 滞后： 这些同样适用于“负反馈”。
CW 机器 + CW 滞后： 它们可以使用“正反馈”进行工作。

“能量”技巧

他们是如何证明这一点的？他们使用了一个叫做 李雅普诺夫函数（Lyapunov functions） 的概念，这就像是一个“能量计”。

想象整个系统（机器 + 粘滞部分）都有一个总的“能量”。

如果系统是不稳定的，这个能量计会无限上升，导致机器爆炸或剧烈震动。
如果系统是稳定的，作者证明了这个能量计会随着时间始终下降（或保持不变）。

他们为每一种情况都构建了一个特殊的“能量计”。他们证明了，如果将机器和滞后效应以正确的方式（正反馈或负反馈）连接，这个“能量计”总会逐渐耗尽，直到系统停止运动。

“无需了解一切”的设计

这篇论文中最有用的部分是其控制设计方法。

通常，为了修复带有粘滞部件的机器，工程师必须建立一个复杂的“逆模型”来抵消粘滞感。这就像试图通过计算精确的反向磁场来消除磁铁的影响一样，非常困难且需要完美的信息。

这篇论文指出：你不需要这样做。
你只需要知道粘滞性的“方向”（CCW 或 CW）。一旦你知道了这一点，你就可以设计一个控制器（一组简单的规则给机器），从而保证稳定性，即使你并不了解粘滞性的确切细节。

论文中的实际案例

作者用两个例子测试了他们的理论：

质量-弹簧-阻尼系统： 想象一个带有减震器的带重物的弹簧。
- 他们给它连接了一个压电执行器（CCW）。他们设计了一个控制器，系统平稳地趋于稳定。
- 他们给它连接了一个类摩擦执行器（CW）。他们设计了另一个控制器，系统同样趋于稳定。

总结

这篇论文为带有“粘滞”部件的机器提供了一份通用的安全清单。

不要试图完美地模拟粘滞性。
要识别粘滞性是“逆时针”还是“顺时针”。
要将机器与粘滞效应以匹配的方式（正反馈或负反馈）连接。

如果你遵循这些步骤，系统就会自然地冷静下来，就像一个旋转的陀螺最终会找到平衡并停止一样。这为工程师节省了处理不可能完成的数学运算的时间，并允许他们在不完全了解内部“粘滞”部件的情况下，构建稳定的系统。

技术摘要：具有 Duhem 滞回非线性的线性系统的稳定性分析与控制器设计

问题陈述
本文研究了线性系统与 Duhem 滞回算子之间反馈互连的稳定性分析与控制设计。滞回现象广泛存在于多种系统中，包括压电执行器、铁磁材料和机械摩擦。虽然存在多种模型（例如 Preisach、背隙、弹塑性模型），但本研究侧重于 Duhem 算子，因为它能够捕捉复杂的输入-输出（I/O）动力学特性。具体而言，作者研究了线性受控对象与滞回算子表现出逆时针（CCW）或顺时针（CW）I/O 动力学的互连系统。核心挑战在于，如何在不需要精确了解滞回算子参数知识的情况下，仅依赖其结构化 I/O 特性，建立互连系统的稳定性条件并设计控制器。

方法论
作者采用基于耗散性的方法，利用从子系统特定的 I/O 特性中导出的存储函数（Lyapunov 函数）。

动力学特征描述：
- CCW 动力学： 由不等式 $\liminf_{T\to\infty} \int_0^T \langle \dot{y}(t), u(t) \rangle dt > -\infty$ 定义。对于 Duhem 算子，这由满足 $\frac{d}{dt}H^\circleleft \leq \dot{y}u$ 的存储函数 $H^\circleleft$ 表征。
- CW 动力学： 由对偶不等式 $\liminf_{T\to\infty} \int_0^T y(t)^T \dot{u}(t) dt > -\infty$ 定义。对于 Duhem 算子，这由满足 $\frac{d}{dt}H^\circleright \leq y\dot{u}$ 的存储函数 $H^\circleright$ 表征。
- 文中回顾了关于 Duhem 函数 $f_1$ 和 $f_2$ 的条件（特别涉及无滞回函数 $f_{an}$ 和遍历函数），这些条件保证了上述 CCW 或 CW 特性。
互连稳定性分析：
本文分析了线性系统 $P$ 与 Duhem 算子 $\Phi$ 之间四种不同的互连情况（总结于原论文表 I）：
- 情况 (a)： $P$ 和 $\Phi$ 均为 CCW（正反馈）。稳定性通过包含线性系统二次型与 Duhem 存储函数 $H^\circleleft$ 的复合 Lyapunov 函数来证明。条件取决于无滞回函数 $f_{an}$ 的扇区界限。
- 情况 (b)： $P$ 为 CW 且 $\Phi$ 为 CCW（负反馈）。稳定性通过线性矩阵不等式（LMI）建立，该 LMI 独立于 $\Phi$ 的具体参数，仅依赖于其 CCW 特性。
- 情况 (c)： $P$ 为 CCW 且 $\Phi$ 为 CW（负反馈）。稳定性通过线性系统的 S-CCW 性质以及 Duhem 存储函数 $H^\circleright$ 来证明。
- 情况 (d)： $P$ 和 $\Phi$ 均为 CW（正反馈）。稳定性通过扩展状态空间表示和 LMI 进行分析，需要对函数 $f_1$ 和 $f_2$ 进行约束。
控制器设计：
基于稳定性定理，作者提出了一种控制设计方法。控制器 $C$ 的设计旨在确保级联线性系统（受控对象 + 控制器）满足对应于相应互连情况的特定 LMI 或代数条件。这使得在无需反转滞回算子的情况下实现稳定性控制成为可能。

主要贡献与结果

充分稳定性条件： 本文为涉及 Duhem 滞回的闭环系统提供了严格的充分条件。这些条件根据受控对象和滞回算子的 CCW/CW 性质进行了分类。
Lyapunov 构建： 针对每种互连情况，文中提供了显式的 Lyapunov 函数构建方法，将线性系统的能量与 Duhem 算子的存储函数（ $H^\circleleft$ 或 $H^\circleright$ ）相结合。
控制器综合： 提供了一种用于设计带有滞回执行器或传感器的线性受控对象控制器的系统算法。该方法依赖于求解 LMI 或代数不等式，避免了对精确滞回建模或逆补偿的需求。
数值验证： 通过包含具有 CCW（类压电）和 CW（类摩擦）滞回执行器的质量-阻尼-弹簧系统的数值算例验证了理论结果。仿真表明，设计的控制器成功稳定了系统，使速度趋于零且位置趋于常数。

意义与主张
作者声称，这项工作为控制具有滞回特性的系统提供了一种不同的范式。传统方法通常需要定义一个逆滞回算子来抵消非线性，而本方法则利用了滞回本身的固有耗散特性（CCW 或 CW）。因此，控制设计不需要关于滞回算子参数的精确信息，仅需要其定性的 I/O 动力学。论文断言，这种基于耗散性的方法可以推广到表现出 CCW 动力学的非线性受控对象，从而将研究结果的应用范围从线性系统扩展到更广泛的领域。这项工作受到以往关于负虚性系统（negative imaginary systems）与 CCW 系统互连研究的启发并以此为基础，将其概念扩展到了包括 CW 动力学及 Duhem 算子特定结构的领域。