Stability Analysis and Controller Design for a Linear System with Duhem Hysteresis Nonlinearity

Technische Samenvatting: Stabiliteitsanalyse en Reglerontwerp voor een Lineair Systeem met Duhem-hysteresenonlineariteit

Probleemstelling
Dit artikel behandelt de stabiliteitsanalyse en het ontwerp van regelaars voor feedback-interconnecties tussen een lineair systeem en een Duhem-hysteresenoperator. Hysteresis is een veelvoorkomende nonlineariteit in diverse systemen, waaronder piezo-actuatoren, ferromagnetische materialen en mechanische wrijving. Hoewel er verschillende modellen bestaan (bijv. Preisach, backlash, elastisch-plastisch), richt dit werk zich op de Duhem-operator vanwege het vermogen om complexe input-output (I/O) dynamica te vatten. Specifiek onderzoeken de auteurs systemen waarbij de lineaire plant en de hysteresis-operator ofwel tegenkloksgewijze (CCW) ofwel met de klok mee (CW) I/O-dynamica vertonen. De kernuitdaging is het vaststellen van stabiliteitsvoorwaarden en het ontwerpen van regelaars voor deze verbonden systemen zonder dat een exacte parametrische kennis van de hysteresis-operator vereist is, waarbij in plaats daarvan wordt vertrouwd op de structurele I/O-eigenschappen ervan.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van een dissipativiteits-gebaseerde benadering, waarbij gebruik wordt gemaakt van opslagfuncties (Lyapunov-functies) die zijn afgeleid van de specifieke I/O-karakteristieken van de subsystemen.

1. Karakterisering van Dynamica:

   • CCW-dynamica: Gedefinieerd door de ongelijkheid $\liminf_{T\to\infty} \int_0^T \langle \dot{y}(t), u(t) \rangle dt > -\infty$. Voor Duhem-operators wordt dit gekenmerkt door een opslagfunctie $H^\circleleft$ die voldoet aan $\frac{d}{dt}H^\circleleft \leq \dot{y}u$.
   • CW-dynamica: Gedefinieerd door de duale ongelijkheid $\liminf_{T\to\infty} \int_0^T y(t)^T \dot{u}(t) dt > -\infty$. Voor Duhem-operators wordt dit gekenmerkt door een opslagfunctie $H^\circleright$ die voldoet aan $\frac{d}{dt}H^\circleright \leq y\dot{u}$.
   • Het artikel bespreekt voorwaarden op de Duhem-functies $f_1$ en $f_2$ (specifiek met betrekking tot een anhysteresis-functie $f_{an}$ en traverserende functies) die deze CCW- of CW-eigenschappen garanderen.

2. Stabiliteitsanalyse van Interconnecties:
   Het artikel analyseert vier verschillende gevallen van interconnectie tussen een lineair systeem $P$ en een Duhem-operator $\Phi$ (samengevat in Tabel I van de oorspronkelijke tekst):

   • Geval (a): Zowel $P$ als $\Phi$ zijn CCW (positieve feedback). Stabiliteit wordt bewezen met een samengestelde Lyapunov-functie bestaande uit de kwadratische vorm van het lineaire systeem en de Duhem-opslagfunctie $H^\circleleft$. De voorwaarden zijn afhankelijk van de sectorgrens van de anhysteresis-functie $f_{an}$.
   • Geval (b): $P$ is CW en $\Phi$ is CCW (negatieve feedback). Stabiliteit wordt vastgesteld met lineaire matrix-ongelijkheden (LMI's) die onafhankelijk zijn van de specifieke parameters van $\Phi$, waarbij enkel wordt vertrouwd op de CCW-eigenschap ervan.
   • Geval (c): $P$ is CCW en $\Phi$ is CW (negatieve feedback). Stabiliteit wordt bewezen met de S-CCW eigenschap van het lineaire systeem en de Duhem-opslagfunctie $H^\circleright$.
   • Geval (d): Zowel $P$ als $\Phi$ zijn CW (positieve feedback). Stabiliteit wordt geanalyseerd met uitgebreide toestandsruimte-representaties en LMI's, wat grenzen op de functies $f_1$ en $f_2$ vereist.

3. Reglerontwerp:
   Op basis van de stabiliteitstheorema's stellen de auteurs een ontwerpmethodologie voor regelaars voor. De regelaar $C$ wordt ontworpen om ervoor te zorgen dat het gecascadeerde lineaire systeem (plant + regelaar) voldoet aan de specifieke LMI- of algebraïsche voorwaarden die vereist zijn voor het betreffende interconnectiegeval. Dit maakt stabilisatie mogelijk zonder de hysteresis-operator te hoeven inverteren.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

• Voldoende Stabiliteitsvoorwaarden: Het artikel biedt rigoureuze voldoende voorwaarden voor de stabiliteit van closed-loop systemen met Duhem-hysteresis. Deze voorwaarden zijn gecategoriseerd op basis van de CCW/CW-aard van de plant en de hysteresis-operator.
• Lyapunov-constructie: Expliciete constructies van Lyapunov-functies worden verstrekt voor elk interconnectiegeval, waarbij de energie van het lineaire systeem wordt gecombineerd met de opslagfuncties ($H^\circleleft$ of $H^\circleright$) van de hysteresis-operator.
• Reglersynthese: Er wordt een systematisch algoritme gepresenteerd voor het ontwerpen van regelaars voor lineaire planten met hysteretische actuatoren of sensoren. De methode berust op het oplossen van LMI's of algebraïsche ongelijkheden, waardoor de noodzaak voor precieze hysteresis-modellering of inverse compensatie wordt vermeden.
• Numerieke Validatie: De theoretische resultaten worden gevalideerd door numerieke voorbeelden van een massa-demper-veer systeem met zowel CCW (piezo-achtig) als CW (wrijving-achtig) hysteretische actuatoren. Simulaties tonen aan dat de ontworpen regelaars de systemen succesvol stabiliseren, waarbij snelheden naar nul worden gedreven en posities naar constanten.

Betekenis en Claims
De auteurs beweren dat dit werk een ander paradigma biedt voor het regelen van systemen met hysteresis. In tegenstelling tot traditionele benaderingen, die vaak een inverse hysteresis-operator definiëren om de nonlineariteit te elimineren, maakt deze methode gebruik van de inherente dissipatieve eigenschappen (CCW of CW) van de hysteresis. Bijgevolg vereist het ontwerp van de regelaar geen precieze informatie over de parameters van de hysteresis-operator, enkel de kwalitatieve I/O-dynamica. Het artikel stelt dat deze dissipativiteitsbenadering kan worden uitgebreid naar nonlineariteiten die CCW-dynamica vertonen, wat de toepasbaarheid van de resultaten buiten lineaire systemen vergroot. Het werk is gemotiveerd door en bouwt voort op eerdere resultaten met betrekking tot de interconnectie van negatief imaginaire systemen en CCW-systemen, waarbij deze concepten worden uitgebreid naar CW-dynamica en de specifieke structuur van de Duhem-operator.