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Stability Analysis and Controller Design for a Linear System with Duhem Hysteresis Nonlinearity

Cet article établit des conditions de stabilité suffisantes pour les interconnexions par rétroaction entre des systèmes linéaires et des opérateurs d'hystérésis de Duhem basées sur leur dynamique entrée-sortie horaire ou antihoraire, et exploite ces résultats pour proposer une méthodologie de conception de commande qui stabilise des plantes linéaires avec des actionneurs ou des capteurs hystérétiques sans nécessiter de connaissance précise du modèle d'hystérésis.

Auteurs originaux : Ruiyue Ouyang, Bayu Jayawardhana

Publié 2026-06-03

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CC BY 3.0

Auteurs originaux : Ruiyue Ouyang, Bayu Jayawardhana

Article original sous licence CC BY 3.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

Imaginez que vous essayez de conduire une voiture, mais que le volant possède une mémoire étrange et collante. Si vous tournez à gauche, il ne se contente pas de rester à gauche ; il « se souvient » de l'endroit où vous l'avez tourné auparavant, et il résiste au retour au centre. C'est l'hystérésis. C'est un travers courant dans de nombreuses machines, comme le métal dans un aimant ou le caoutchouc dans un amortisseur.

Ce document traite d'une équipe d'ingénieurs (Ouyang et Jayawardhana) qui a trouvé comment maintenir une machine stable même lorsque son « volant » (l'actionneur ou le capteur) présente ce comportement collant et doté de mémoire. Ils n'ont pas essayé de corriger l'aspect collant ou de calculer exactement à quel point il est collant. Au lieu de cela, ils ont étudié la direction vers laquelle l'aspect collant pousse les choses.

Les deux types de « collant »

Les auteurs ont réalisé que cet effet de mémoire se comporte principalement de deux manières, qu'ils appellent Anti-horaire (CCW - Counter-Clockwise) et Horaire (CW - Clockwise). Voyez cela comme deux mouvements de danse différents :

Anti-horaire (CCW) : Imaginez un danseur qui, lorsqu'on le pousse, réagit en poussant plus fort à mesure qu'on le pousse, mais qui semble toujours « mener » le mouvement dans une boucle spécifique et sûre. Dans le monde réel, c'est comme un actionneur piézoélectrique (utilisé dans les microscopes de haute précision). Lorsqu'on lui donne de l'électricité, il bouge, mais il possède un « retard » qui suit une boucle spécifique et prévisible.
Horaire (CW) : Imaginez un danseur qui, lorsqu'on le pousse, semble être en retard et « traîner » les pieds, créant une boucle dans la direction opposée. Dans le monde réel, c'est comme la friction dans un système mécanique. Lorsque vous essayez de faire glisser une boîte lourde, la force de friction vous combat, créant un type de boucle différent.

Le problème : La boucle de rétroaction

Le document examine un système où une Machine Linéaire (un moteur standard et prévisible) est connectée à une Partie Hystérétique (le danseur collant). Ils sont connectés en une boucle : la machine dit au danseur quoi faire, et le danneur dit à la machine ce qui s'est passé.

La grande question est : Cette boucle va-t-elle s'emballer ou va-t-elle se stabiliser ?

Si la machine et le danseur effectuent une mauvaise combinaison de « danse », le système risque de s'autodétruire par des vibrations. S'ils dansent dans la bonne combinaison, le système se calmera naturellement et s'arrêtera de bouger.

La solution : Une « Carte de Stabilité »

Les auteurs ont créé un ensemble de règles (conditions mathématiques) pour prédire si le système sera sûr. Ils n'avaient pas besoin de connaître la formule exacte de l'aspect collant. Ils avaient seulement besoin de savoir :

La machine est-elle « Anti-horaire » ou « Horaire » ?
L'hystérésis est-elle « Anti-horaire » ou « Horaire » ?

Ils ont identifié quatre combinaisons possibles (comme une grille 2x2) :

Machine CCW + Hystérésis CCW : Ces deux-là peuvent fonctionner ensemble s'ils sont connectés avec une rétroaction « positive » (comme deux personnes poussant dans la même direction).
Machine CW + Hystérésis CCW : Ceux-ci fonctionnent bien avec une rétroaction « négative » (comme un thermostat qui coupe le chauffage lorsqu'il fait trop chaud).
Machine CCW + Hystérésis CW : Ceux-ci fonctionnent également avec une rétroaction « négative ».
Machine CW + Hystérésis CW : Ceux-ci peuvent fonctionner avec une rétroaction « positive ».

L'astuce de l'« Énergie »

Comment ont-ils prouvé cela ? Ils ont utilisé un concept appelé fonctions de Lyapunov, qui est comme un « Compteur d'Énergie ».

Imaginez que l'ensemble du système (machine + partie collante) possède une quantité totale d'« énergie ».

Si le système est instable, ce compteur d'énergie grimpe indéfiniment, et la machine explose ou vibre violemment.
Si le système est stable, les auteurs ont montré que ce compteur d'énergie diminue toujours (ou reste constant) au fil du temps.

Ils ont construit un « Compteur d'Énergie » spécial pour chacun des quatre cas. Ils ont prouvé que si l'on connecte la machine et l'hystérésis de la bonne manière (rétroaction positive ou négative), le « Compteur d'Énergie » se videra toujours jusqu'à ce que le système s'arrête de bouger.

La conception « Sans besoin de tout savoir »

La partie la plus utile de ce document est la Méthode de Conception de Contrôle.

Habituellement, pour corriger une machine avec des parties collantes, les ingénieurs doivent construire un modèle « inverse » complexe pour annuler l'effet collant. C'est comme essayer de décoller un aimant en calculant exactement le champ magnétique inverse. C'est difficile et cela nécessite des informations parfaites.

Ce document affirme : Vous n'avez pas besoin de faire cela.
Il vous suffit de connaître la « direction » de l'aspect collant (CCW ou CW). Une fois que vous savez cela, vous pouvez concevoir un contrôleur (un ensemble de règles simples pour la machine) qui garantit la stabilité, même si vous ne connaissez pas les détails exacts de l'aspect collant.

Exemples concrets dans le document

Les auteurs ont testé leur théorie avec deux exemples :

Un système Masse-Ressort-Amortisseur : Imaginez un poids sur un ressort avec un amortisseur.
- Ils y ont attaché un actionneur piézoélectrique (CCW). Ils ont conçu un contrôleur, et le système s'est stabilisé en douceur.
- Ils y ont attaché un actionneur de type friction (CW). Ils ont conçu un contrôleur différent, et là encore, le système s'est stabilisé.

L'essentiel à retenir

Ce document fournit une liste de contrôle de sécurité universelle pour les machines dotées de pièces « collantes ».

Ne tentez pas de modéliser parfaitement l'aspect collant.
Identifiez si l'aspect collant est « Anti-horaire » ou « Horaire ».
Connectez la machine et l'aspect collant de la manière correspondante (rétroaction Positive ou Négative).

Si vous suivez ces étapes, le système se calmera naturellement, tout comme une toupie qui finit par trouver son équilibre et s'arrêter. Cela permet aux ingénieurs d'éviter des calculs impossibles et de construire des systèmes stables, même lorsqu'ils ne comprennent pas totalement les détails « collants » qui se trouvent à l'intérieur.

Résumé Technique : Analyse de Stabilité et Conception de Contrôleur pour un Système Linéaire avec une Nonlinéarité d'Hystérésis de Duhem

Énoncé du Problème
Cet article traite de l'analyse de stabilité et de la conception de commande pour les interconnexions par rétroaction entre un système linéaire et un opérateur d'hystérésis de Duhem. L'hystérésis est une nonlinéarité prévalente dans divers systèmes, notamment les actionneurs piézoélectriques, les matériaux ferromagnétiques et le frottement mécanique. Bien que divers modèles existent (par exemple, Preisach, jeu de force, élastique-plastique), ce travail se concentre sur l'opérateur de Duhem en raison de sa capacité à capturer des dynamiques d'entrée-sortie (I/O) complexes. Plus précisément, les auteurs étudient des systèmes où le réseau linéaire et l'opérateur d'hystérésis présentent des dynamiques I/O soit anti-horaires (CCW), soit horaires (CW). Le défi central consiste à établir des conditions de stabilité et à concevoir des contrôleurs pour ces systèmes interconnectés sans nécessiter de connaissance paramétrique précise de l'opérateur d'hystérésis, en s'appuyant plutôt sur ses propriétés structurelles I/O.

Méthodologie
Les auteurs emploient une approche basée sur la dissipativité, utilisant des fonctions de stockage (fonctions de Lyapunov) dérivées des caractéristiques I/O spécifiques des sous-systèmes.

Caractérisation des Dynamiques :
- Dynamiques CCW (Anti-horaires) : Définies par l'inégalité $\liminf_{T\to\infty} \int_0^T \langle \dot{y}(t), u(t) \rangle dt > -\infty$ . Pour les opérateurs de Duhem, cela est caractérisé par une fonction de stockage $H^\circleleft$ satisfaisant $\frac{d}{dt}H^\circleleft \leq \dot{y}u$ .
- Dynamiques CW (Horaires) : Définies par la dualité de l'inégalité $\liminf_{T\to\infty} \int_0^T y(t)^T \dot{u}(t) dt > -\infty$ . Pour les opérateurs de Duhem, cela est caractérisé par une fonction de stockage $H^\circleright$ satisfaisant $\frac{d}{dt}H^\circleright \leq y\dot{u}$ .
- L'article examine les conditions sur les fonctions de Duhem $f_1$ et $f_2$ (impliquant spécifiquement une fonction d'anhystérésis $f_{an}$ et des fonctions de traversée) qui garantissent ces propriétés CCW ou CW.
Analyse de Stabilité des Interconnexions :
L'article analyse quatre cas distincts d'interconnexion entre un système linéaire $P$ et un opérateur de Duhem $\Phi$ (résumés dans le Tableau I du texte original) :
- Cas (a) : $P$ et $\Phi$ sont tous deux CCW (Rétroaction positive). La stabilité est prouvée à l'aide d'une fonction de Lyapunov composite impliquant la forme quadratique du système linéaire et la fonction de stockage $H^\circleleft$ de Duhem. Les conditions dépendent de la borne de secteur de la fonction d'anhystérésis $f_{an}$ .
- Cas (b) : $P$ est CW et $\Phi$ est CCW (Rétroaction négative). La stabilité est établie à l'aide d'Inégalités Matricielles Linéaires (LMI) qui sont indépendantes des paramètres spécifiques de $\Phi$ , s'appuyant uniquement sur sa propriété CCW.
- Cas (c) : $P$ est CCW et $\Phi$ est CW (Rétroaction négative). La stabilité est prouvée en utilisant la propriété S-CCW du système linéaire et la fonction de stockage $H^\circleright$ de Duhem.
- Cas (d) : $P$ et $\Phi$ sont tous deux CW (Rétroaction positive). La stabilité est analysée à l'aide de représentations d'espace d'état étendues et de LMI, nécessitant des bornes sur les fonctions $f_1$ et $f_2$ .
Conception de Contrôleur :
Sur la base des théorèmes de stabilité, les auteurs proposent une méthodologie de conception de contrôleur. Le contrôleur $C$ est conçu pour garantir que le système linéaire en cascade (plan + contrôleur) satisfait les conditions LMI ou algébriques spécifiques requises pour le cas d'interconnexion correspondant. Cela permet la stabilisation sans inverser l'opérateur d'hystérésis.

Contributions Clés et Résultats

Conditions de Stabilité Suffisantes : L'article fournit des conditions de stabilité suffisantes rigoureuses pour les systèmes en boucle fermée impliquant l'hystérésis de Duhem. Ces conditions sont catégorisées par la nature CCW/CW du réseau et de l'opérateur d'hystérésis.
Construction de Lyapunov : Des constructions explicites de fonctions de Lyapunov sont fournies pour chaque cas d'interconnexion, combinant l'énergie du système linéaire avec les fonctions de stockage ( $H^\circleleft$ ou $H^\circleright$ ) de l'opérateur de Duhem.
Synthèse de Contrôleur : Un algorithme systématique est présenté pour la conception de contrôleurs pour des réseaux linéaires avec des actionneurs ou des capteurs hystérétiques. La méthode repose sur la résolution de LMI ou d'inégalités algébriques, évitant ainsi le besoin d'une modélisation précise ou d'une compensation par inverse.
Validation Numérique : Les résultats théoriques sont validés par des exemples numériques impliquant un système masse-amortisseur-ressort avec des actionneurs hystérétiques CCW (type piézoélectrique) et CW (type frottement). Les simulations démontrent que les contrôleurs conçus stabilisent avec succès les systèmes, ramenant les vitesses à zéro et les positions à des constantes.

Signification et Revendications
Les auteurs affirment que ce travail offre un paradigme différent pour le contrôle des systèmes avec hystérésis. Contrairement aux approches traditionnelles qui nécessitent souvent de définir un opérateur d'hystérésis inverse pour annuler la nonlinéarité, cette méthode exploite les propriétés dissipatives intrinsèques (CCW ou CW) de l'hystérésis. Par conséquent, la conception du contrôle ne nécessite pas d'informations précises sur les paramètres de l'opérateur d'hystérésis, seulement sur sa dynamique I/O qualitative. L'article affirme que cette approche de dissipativité peut être étendue à des réseaux non linéaires qui présentent des dynamiques CCW, élargissant l'applicabilité des résultats au-delà des systèmes linéaires. Ce travail est motivé par et s'appuie sur des résultats antérieurs concernant l'interconnexion de systèmes à image imaginaire négative et de systèmes CCW, en étendant ces concepts pour inclure les dynamiques CW et la structure spécifique de l'opérateur de Duhem.