Wasserstein Spatial Depth

Título: Wasserstein Spatial Depth (Profundidade Espacial de Wasserstein)

Autores: François Bachoc, Alberto González-Sanz, Jean-Michel Loubes, Yisha Yao.

---

1. Problema e Motivação

O tratamento de dados complexos como distribuições de probabilidade (dados distribucionais) dentro de espaços de Wasserstein tem ganhado popularidade em diversas áreas científicas. Diferente dos espaços euclidianos tradicionais, o espaço de Wasserstein ($P_2(\mathbb{R}^d)$) possui uma geometria não linear, estruturada como uma variedade Riemanniana, onde as distâncias e médias seguem geodésicas definidas pelo transporte ótimo.

O problema central abordado é a falta de ferramentas estatísticas adaptadas a essa geometria. Métodos convencionais de profundidade estatística (como profundidade de Tukey ou espacial) foram projetados para espaços euclidianos e não se generalizam diretamente para espaços de Wasserstein devido à:

• Ausência de estrutura linear.
• Complexidade computacional exponencial de certas profundidades (ex: Tukey) em dimensões altas.
• Incapacidade de capturar a estrutura geodésica intrínseca das distribuições.

Há uma necessidade urgente de definir uma noção de "ordem" ou "centralidade" para objetos distribucionais que respeite a métrica de Wasserstein, permitindo a detecção de outliers, clustering e testes de hipóteses.

2. Metodologia: Definição da Profundidade Espacial de Wasserstein (WSD)

Os autores propõem a Wasserstein Spatial Depth (WSD), uma extensão da profundidade espacial euclidiana para o espaço de medidas.

• Conceito Base: Na profundidade espacial euclidiana, a profundidade de um ponto $x$ é definida pela norma do vetor esperado das direções unitárias dos pontos amostrais em relação a $x$.
• Generalização Geodésica: No espaço de Wasserstein, a "direção" entre duas distribuições $Q$ e $P$ é definida pelo campo de velocidade da geodésica que as conecta. Para medidas absolutamente contínuas, essa geodésica é dada pelo mapa de transporte ótimo $T_{Q,P}$.
• Definição Formal: A WSD de uma distribuição $Q$ em relação a uma distribuição de distribuições $P$ é definida como:
  $$WSD(Q; P) := 1 - \left( \int \left\| \mathbb{E}_{P \sim \mathcal{P}} \left[ \frac{x - T_{Q,P}(x)}{W_2(P, Q)} \right] \right\|^2 dQ(x) \right)^{1/2}$$
  Onde $T_{Q,P}$ é o mapa de transporte ótimo de $Q$ para $P$, e $W_2$ é a distância de Wasserstein.
• Estimadores: O artigo define estimadores empíricos para dois cenários de amostragem:
  1. Amostragem de um estágio: As distribuições $P_1, \dots, P_n$ são observadas diretamente.
  2. Amostragem de dois estágios: Apenas amostras de dados $X_{i,j}$ de cada distribuição $P_i$ são observadas, exigindo a estimação das distribuições empíricas antes do cálculo da profundidade.

3. Principais Contribuições e Propriedades Teóricas

O artigo estabelece rigorosamente que a WSD preserva as propriedades axiomáticas desejáveis de uma profundidade estatística:

1. Intervalo e Normalização: Os valores da WSD estão estritamente no intervalo $[0, 1]$.
2. Invariância: A profundidade é invariante sob transformações isométricas e geodésicas do espaço de Wasserstein.
3. Vanishing at Infinity: A profundidade tende a zero à medida que a distribuição se afasta do centro (distância de Wasserstein tende ao infinito).
4. Maximalidade no Centro: A profundidade atinge seu máximo (valor 1) na mediana geométrica (barricentro) da distribuição de distribuições.
5. Continuidade: A função de profundidade é contínua em relação tanto à distribuição alvo quanto à distribuição de referência.
6. Robustez:
   • Ponto de Ruptura (Breakdown Point): Os autores caracterizam o ponto de ruptura das regiões de profundidade empírica, mostrando que é robusto (aproximadamente $\alpha/2$).
   • Função de Influência: A função de influência da WSD é limitada, indicando robustez contra outliers.

4. Resultados Empíricos e Simulações

Os autores realizaram extensas simulações numéricas e uma aplicação em dados reais para validar a metodologia:

• Consistência: As simulações confirmam que o estimador empírico converge para o valor populacional à medida que o tamanho da amostra aumenta, validando os teoremas de consistência e normalidade assintótica.
• Comparação com Outros Métodos:
  • A WSD superou métodos baseados em embeddings em espaços de Hilbert (RKHS) e profundidades funcionais (como Modified Band Depth e Functional Spatial Depth). Os métodos baseados em embeddings falharam em capturar a estrutura de ordenação correta das distribuições, distorcendo as distâncias relativas.
  • A WSD também superou profundidades métricas gerais adaptadas (como Metric Lens Depth e Metric Spatial Depth), que não conseguiram detectar outliers em cenários complexos.
• Detecção de Outliers: A WSD demonstrou alta eficácia em identificar distribuições atípicas em conjuntos de dados sintéticos e reais, separando claramente outliers do núcleo da distribuição.
• Teste de Duas Amostras: Foi proposto um teste não paramétrico baseado em permutação utilizando a WSD. O teste mostrou controle rigoroso do erro Tipo I e poder assintótico crescente, superando ou sendo complementar a testes baseados em perfis de distância (Distance Profiles).

5. Aplicação em Dados Reais

O método foi aplicado a um conjunto de dados climáticos históricos da Europa (temperaturas diárias de 1874 a 2023 em 40 estações).

• Abordagem: As temperaturas mensais de cada ano foram tratadas como uma distribuição sobre $\mathbb{R}^{12}$ (vetor de 12 meses).
• Descoberta: A WSD identificou anos com "profundidade" extremamente baixa (outliers), que correspondem a eventos climáticos históricos extremos (ex: invernos rigorosos de 1879, 1929, 1947 e ondas de calor de 2018).
• Validação: A análise visual das curvas de temperatura desses anos "exóticos" confirmou que eles apresentavam padrões drasticamente diferentes dos anos centrais, validando a utilidade prática da WSD para análise exploratória de dados distribucionais.

6. Significado e Impacto

O trabalho é fundamental para a análise estatística de dados distribucionais porque:

1. Preenche uma Lacuna Teórica: Fornece a primeira definição de profundidade espacial que respeita a geometria não linear do espaço de Wasserstein, superando as limitações de adaptar métodos euclidianos.
2. Viabilidade Computacional: Diferente da profundidade de Tukey em espaços de Wasserstein, a WSD é computável em tempo polinomial, tornando-a aplicável a problemas práticos.
3. Ferramentas Estatísticas Completas: O artigo não apenas define a profundidade, mas fornece todo o ecossistema estatístico necessário: estimadores consistentes, intervalos de confiança, testes de hipóteses e medidas de robustez.
4. Aplicabilidade: Demonstra que a modelagem de dados como distribuições, combinada com a WSD, revela insights (como mudanças climáticas globais) que seriam perdidos ao tratar os dados apenas como vetores ou funções em espaços lineares.

Em resumo, a Wasserstein Spatial Depth estabelece um novo padrão para a análise de dados distribucionais, permitindo a ordenação, classificação e inferência estatística robusta em espaços de métrica de transporte ótimo.