Wasserstein Spatial Depth

1. Problématique et Contexte

L'analyse statistique moderne fait face à des données de plus en plus complexes, souvent modélisées non pas comme des vecteurs dans un espace euclidien, mais comme des distributions de probabilité (ou mesures) appartenant à des espaces métriques non linéaires. L'espace de Wasserstein ($\mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d)$), muni de la distance de Wasserstein $W_2$, est particulièrement pertinent car il capture la géométrie et la variabilité des données (par exemple, les images longitudinales, les modèles de langage, les arbres de données).

Cependant, les outils statistiques classiques, conçus pour les espaces euclidiens linéaires, échouent à s'adapter directement à la structure géométrique complexe de l'espace de Wasserstein :

• Non-linéarité : L'espace des distributions n'est pas un espace vectoriel.
• Absence d'ordre canonique : Dans les dimensions supérieures ($d > 1$), il n'existe pas d'ordre naturel pour les distributions, rendant les concepts de quantiles, de rangs et de médianes difficiles à définir.
• Limites des méthodes existantes : Les profondeurs statistiques existantes (Tukey, Monge-Kantorovich, etc.) ne généralisent pas bien aux espaces non linéaires ou sont computationally prohibitives (complexité exponentielle) dans ce contexte.

Il existe donc un besoin critique de définir une notion de profondeur statistique spécifique aux données de type distribution dans l'espace de Wasserstein, permettant de les ordonner, de détecter des valeurs aberrantes et d'effectuer des inférences.

2. Méthodologie : La Profondeur Spatiale de Wasserstein (WSD)

Les auteurs proposent une extension naturelle de la profondeur spatiale (introduite par G. M. G. et al. pour les espaces euclidiens) à l'espace de Wasserstein, en exploitant sa structure d'espace métrique géodésique.

Définition Fondamentale

Dans l'espace euclidien, la profondeur spatiale d'un point $x$ par rapport à une loi $P$ est définie comme $1 - \| \mathbb{E}[\frac{X-x}{\|X-x\|}] \|$.
Dans l'espace de Wasserstein, les auteurs généralisent ce concept en utilisant les géodésiques et les applications de transport optimal.

Soit $Q$ une distribution (absolument continue) et $\mathcal{P}$ une loi sur l'espace des distributions (une "distribution de distributions"). La Profondeur Spatiale de Wasserstein (WSD) est définie par :

$$\text{WSD}(Q; \mathcal{P}) := 1 - \left( \int \left\| \mathbb{E}_{P \sim \mathcal{P}} \left[ \frac{x - T_{Q,P}(x)}{W_2(P, Q)} \right] \right\|^2 dQ(x) \right)^{1/2}$$

Où :

• $T_{Q,P}$ est l'application de transport optimal (gradient d'une fonction convexe) qui pousse $Q$ vers $P$.
• $W_2(P, Q)$ est la distance de Wasserstein entre $P$ et $Q$.
• Le terme à l'intérieur de la norme représente la vitesse moyenne des géodésiques reliant $Q$ aux échantillons $P$ tirés de $\mathcal{P}$, normalisée par la distance.

Cette définition mesure la "centralité" de $Q$ : une valeur proche de 1 indique que $Q$ est au centre géométrique (médiane géométrique), tandis qu'une valeur proche de 0 indique une position périphérique (outlier).

Estimation Empirique

Les auteurs considèrent deux modèles d'échantillonnage :

1. Échantillonnage à une étape : On observe directement des distributions $P_1, \dots, P_n$.
2. Échantillonnage à deux étapes : On observe des tableaux de données où chaque ligne $i$ est un échantillon $X_{i,1}, \dots, X_{i,m}$ provenant d'une distribution inconnue $P_i$. On estime d'abord les $P_i$ par des mesures empiriques $P_{i,m}$, puis on calcule la WSD empirique.

3. Contributions Clés

1. Définition Théorique : Introduction de la WSD comme une mesure de profondeur valide pour les données distributionnelles, respectant les axiomes fondamentaux de la théorie de la profondeur.
2. Propriétés Mathématiques : Démonstration que la WSD hérite des propriétés cruciales des profondeurs euclidiennes :
   • Invariance : Invariante par isométrie et par transformation géodésique.
   • Bornes : Valeurs comprises dans $[0, 1]$.
   • Comportement asymptotique : S'annule à l'infini et atteint son maximum (1) à la médiane spatiale.
   • Continuité : Continuité par rapport à la distribution de référence et à la distribution cible.
3. Robustesse : Caractérisation du point de rupture (breakdown point) des régions de profondeur empirique (montrant une robustesse similaire aux profondeurs spatiales euclidiennes, $\approx \alpha/2$) et preuve que la fonction d'influence est bornée.
4. Estimation et Asymptotique :
   • Preuve de la consistance de l'estimateur empirique.
   • Établissement de la normalité asymptotique (théorème central limite) pour l'estimateur.
   • Analyse des taux de convergence dans le modèle à deux étapes.
5. Tests d'Hypothèses : Développement d'un test à deux échantillons non paramétrique basé sur la WSD, utilisant une procédure de permutation pour comparer deux populations de distributions.
6. Comparaison Empirique : Démonstration via des simulations que la WSD surpasse les méthodes alternatives (profondeur fonctionnelle via RKHS, profondeur de Tukey métrique, profondeur de Lens) en termes de capacité à détecter des outliers et de respect de la géométrie de l'espace.

4. Résultats Principaux

• Validité Théorique : Les simulations confirment que l'estimateur empirique converge vers la valeur théorique et que la distribution asymptotique est normale.
• Détection d'Outliers : Dans des scénarios simulés (distributions gaussiennes, uniformes, etc.), la WSD identifie avec précision les distributions aberrantes, là où les profondeurs fonctionnelles (basées sur l'embedding dans un espace de Hilbert) échouent car elles déforment la géométrie intrinsèque de l'espace de Wasserstein.
• Comparaison avec d'autres profondeurs métriques : La WSD est supérieure à la profondeur de Lens et à la profondeur spatiale métrique (MSD) pour les espaces de Wasserstein, notamment car elle garantit que la médiane spatiale est bien un point de profondeur maximale (ce qui n'est pas toujours vrai pour la MSD).
• Application Réelle (Climatologie) : L'application à un jeu de données de températures journalières européennes (1874-2023) a permis d'identifier des années "anormales" (ex: 1879, 1929, 2018) correspondant à des événements climatiques historiques extrêmes (hivers rigoureux, canicules), validant l'utilité pratique de l'outil.

5. Signification et Impact

Cet article constitue une avancée majeure dans l'analyse de données distributionnelles (Distributional Data Analysis).

• Complétude Théorique : Il comble le vide méthodologique en fournissant un outil d'exploration (classement, centrage) spécifiquement conçu pour la géométrie non linéaire de l'espace de Wasserstein, évitant ainsi les pièges des embeddings linéaires.
• Faisabilité Computationnelle : Contrairement à la profondeur de Tukey ou Monge-Kantorovich dans les espaces de haute dimension, la WSD est calculable en temps polynomial (complexité $O(nm^2)$), ce qui la rend applicable à des problèmes réels.
• Nouvelles Perspectives : La WSD ouvre la voie à de nouvelles méthodes statistiques non paramétriques (tests d'hypothèses, régression, clustering) pour des données complexes, avec des garanties théoriques solides (consistance, normalité, robustesse).

En résumé, la Wasserstein Spatial Depth est un outil robuste, computationnellement efficace et théoriquement fondé qui permet d'appliquer les principes de l'ordre statistique et de la robustesse aux données distribuées, un domaine en pleine expansion dans les sciences des données modernes.