Wasserstein Spatial Depth

Titel: Wasserstein Spatial Depth

Auteurs: François Bachoc, Alberto González-Sanz, Jean-Michel Loubes, Yisha Yao.

---

1. Probleemstelling

Moderne wetenschappelijke data worden steeds complexer en worden vaak gemodelleerd als random distributies (waarschijnlijkheidsmaat) in plaats van als punten in een Euclidische ruimte. Voorbeelden zijn longitudinale beelden, teksten in AI-modellen, en grafische structuren. Deze data objecten leven in Wasserstein-ruimten (ruimtes van waarschijnlijkheidsmaat met de Wasserstein-metriek $W_2$).

De uitdagingen zijn als volgt:

• Niet-lineariteit: De ruimte van distributies op $\mathbb{R}^d$ (voor $d > 1$) is niet lineair; het gedraagt zich meer als een Riemannse variëteit dan als een vectorruimte.
• Onvoldoende bestaande tools: Conventionele statistische methoden (ontworpen voor Euclidische ruimtes) en bestaande dieptemaatstaven (statistical depths) zoals Tukey-depth of Monge-Kantorovich-depth zijn niet direct toepasbaar of computationally onhaalbaar in deze niet-lineaire context.
• Gebrek aan ordening: Er ontbreekt een canonieke manier om distributies te rangschikken (ordenen) of uitbijters te detecteren in Wasserstein-ruimten, wat essentieel is voor exploratieve data-analyse en niet-parametrische inferentie.

2. Methodologie: Wasserstein Spatial Depth (WSD)

De auteurs introduceren een nieuw concept: Wasserstein Spatial Depth (WSD). Dit is een generalisatie van de klassieke spatial depth (gebaseerd op de richting van vectoren) naar de geometrie van de Wasserstein-ruimte.

Definitie:
Voor een distributie $Q$ (absoluut continu met betrekking tot het Lebesgue-maat) en een populatie van distributies $P$ (een maat op de ruimte van distributies), wordt de WSD gedefinieerd als:

$$\text{WSD}(Q; P) := 1 - \left( \int \left\| \mathbb{E}_{P \sim P} \left[ \frac{x - T_{Q,P}(x)}{W_2(P, Q)} \right] \right\|^2 dQ(x) \right)^{1/2}$$

Waarbij:

• $T_{Q,P}$ de optimale transportkaart is van $Q$ naar $P$.
• $W_2(P, Q)$ de Wasserstein-afstand tussen $P$ en $Q$ is.
• De term binnen de integraal representeert de gemiddelde "snelheid" of richting van de geodetische kromme die $Q$ verbindt met $P$ in de Wasserstein-ruimte.

Conceptuele basis:
In plaats van vectoren te gebruiken (zoals in de Euclidische ruimte), gebruiken de auteurs de geodetische structuur van de Wasserstein-ruimte. De diepte wordt bepaald door hoe "centraal" een distributie $Q$ ligt ten opzichte van de gemiddelde richting van de transportkaarten naar de andere distributies in de steekproef.

3. Belangrijkste Bijdragen

1. Theoretische Eigenschappen:
   De auteurs bewijzen dat WSD voldoet aan de essentiële axioma's van statistische diepte:

   • Waardebereik: De diepte ligt strikt tussen 0 en 1.
   • Invariantheid: De diepte is invariant onder isometrieën en transport-gebaseerde transformaties (geodetische invariantheid).
   • Maximaliteit: De diepte bereikt zijn maximum (waarde 1) bij de geometrische mediaan (de barycentrum) van de populatie.
   • Vervaging: De diepte nadert 0 als de afstand tot de mediaan naar oneindig gaat.
   • Continuïteit: De functie is continu met betrekking tot zowel de doel-distributie als de populatie-maat.

2. Robuustheid:

   • Breakdown Point: De auteurs karakteriseren het breakdown punt van de empirische diepteregio's. Ze tonen aan dat de diepte robuust is tegenover uitbijters, vergelijkbaar met de Euclidische spatial depth.
   • Invloedfunctie: De invloedfunctie van de WSD is begrensd, wat aangeeft dat de methode robuust is tegenover kleine vervuilingen in de data.

3. Schatters en Asymptotiek:

   • Er worden schatters voorgesteld voor twee scenario's:
     • Een-fase steekproef: De distributies $P_i$ zijn direct waargenomen.
     • Twee-fase steekproef: Alleen ruwe data-punten uit de distributies zijn waargenomen (de distributies moeten eerst worden geschat via empirische maat).
   • Er wordt bewezen dat deze schatters consistent zijn en asymptotisch normaal verdeeld zijn naarmate de steekproefgrootte toeneemt.

4. Niet-parametrische Twee-Stalen Test:
   De auteurs ontwikkelen een permutatietest om te testen of twee populaties van distributies ($P$ en $Q$) uit dezelfde verdeling komen. Deze test gebruikt de WSD-waarden en de Kolmogorov-Smirnov statistiek. Ze bewijzen dat de test exacte controle heeft over het Type I-fout en dat de macht (power) asymptotisch naar 1 gaat.

4. Resultaten en Simulaties

De auteurs valideren hun methode uitgebreid via numerieke simulaties en een real-world toepassing:

• Consistentie: Simulaties tonen aan dat de empirische WSD snel convergeert naar de theoretische waarde.
• Vergelijking met bestaande methoden:
  • Tegenover Functionele Diepte: Het embedden van distributies in een Hilbert-ruimte (RKHS) en daar standaard functionele diepte toe te passen, faalt omdat de intrinsieke geodetische structuur van de Wasserstein-ruimte verloren gaat. WSD presteert aanzienlijk beter in het onderscheiden van uitbijters.
  • Tegenover andere Metrische Dieptes: Methoden zoals Metric Lens Depth en Metric Spatial Depth (uit eerdere literatuur) blijken minder informatief en falen vaak bij het detecteren van uitbijters in de Wasserstein-ruimte.
  • Tegenover Distance Profiles: De WSD-based test toont een vergelijkbare of betere prestatie dan tests gebaseerd op Distance Profiles (DP), met name bij variabele spreiding van de data.
• Uitbijterdetectie: WSD slaagt erin om distributies die ver van de populatie liggen (uitbijters) effectief te identificeren, zelfs in hoge dimensies ($d=10$).
• Real-world Toepassing (Klimaatdata):
  De methode werd toegepast op dagelijkse temperatuurdata van 40 meteorologische stations in Europa (1874–2023). Elke jaar werd gemodelleerd als een distributie van maandgemiddelden.
  • De WSD identificeerde specifieke "abnormale jaren" (bijv. 1879, 1929, 1942, 2018) met zeer lage dieptewaarden.
  • Deze identificaties bleken historisch accuraat te zijn (bijv. extreme koude winters of hittegolven), wat de praktische bruikbaarheid van WSD voor het analyseren van klimaatverandering bevestigt.

5. Betekenis en Conclusie

Dit artikel is een fundamentele bijdrage aan de statistiek van distributie-data.

• Theoretische Innovatie: Het overbrugt de kloof tussen de abstracte meetkunde van Wasserstein-ruimten en praktische statistische tools door een nieuwe, goed gedefinieerde dieptemaatstaf te introduceren.
• Praktische Impact: Het biedt een computationally haalbare manier om distributies te ordenen, uitbijters te detecteren en hypothesen te testen zonder de complexe geometrie van de data te negeren.
• Toekomstperspectief: De methode opent de deur voor nieuwe niet-parametrische inferentiemethoden in de analyse van complexe data-objecten, wat relevant is voor velden zoals machine learning, klimatologie en biostatistiek.

Kortom, Wasserstein Spatial Depth is een robuust, consistent en informatief instrument dat de analyse van data die van nature als distributies optreden, mogelijk maakt binnen hun natuurlijke meetkundige context.