Wasserstein Spatial Depth

以下は、Francois Bachoc らによる論文「Wasserstein Spatial Depth」の技術的な詳細な要約です。

1. 問題設定と背景

現代のデータ分析では、観測値を単なるベクトルではなく、「分布（確率測度）」として扱うケースが増加しています（例：画像、テキスト、時系列データのバッチ処理など）。これらの分布は、ユークリッド空間ではなく、**ワルシュタイン空間（Wasserstein space, $P_2(\mathbb{R}^d)$）**という非線形な幾何構造を持つ空間に埋め込まれます。

従来の統計的深さ（Statistical Depth）の概念（Tukey 深さ、空間深さなど）は、主にユークリッド空間や線形空間（ヒルベルト空間など）を前提として設計されています。しかし、ワルシュタイン空間は以下の特徴により、従来の手法を直接適用することが困難です。

• 非線形性: 空間がリーマン多様体の幾何構造を持ち、線形結合が存在しない。
• 最適輸送の計算コスト: ユークリッド空間の深さ計算に用いられる手法（例：Tukey 深さ）は、ワルシュタイン距離の計算コストが高いため、実用的な計算が不可能になる場合がある。
• 幾何構造の無視: 分布を線形空間（RKHS など）に埋め込んで既存の深さを適用するアプローチは、ワルシュタイン空間固有の「測地線（geodesic）」構造を無視しており、分布間の順序付けや外れ値検出において情報が失われる。

したがって、ワルシュタイン空間の幾何構造を尊重し、分布値データに対して順序付けや外れ値検出を可能にする新しい統計的深さの定義が必要とされていました。

2. 提案手法：ワルシュタイン空間深さ (WSD)

著者らは、ユークリッド空間における「空間深さ（Spatial Depth）」の概念を、ワルシュタイン空間の測地線構造を用いて拡張した**「ワルシュタイン空間深さ（Wasserstein Spatial Depth: WSD）」**を提案しました。

定義

$Q$ を絶対連続な確率分布（$Q \in P_2^{a.c.}(\mathbb{R}^d)$）、$P$ をワルシュタイン空間上の確率分布（分布の分布）とします。$Q$ に対する $P$ の WSD は以下のように定義されます。

$$\text{WSD}(Q; P) := 1 - \left( \int \left\| \mathbb{E}_{P \sim P} \left[ \frac{x - T_{Q,P}(x)}{W_2(P, Q)} \right] \right\|^2 dQ(x) \right)^{1/2}$$

ここで、

• $T_{Q,P}$ は分布 $Q$ から $P$ への**最適輸送写像（Optimal Transport Map）**です。
• $W_2(P, Q)$ は $P$ と $Q$ の間の 2 乗ワルシュタイン距離です。
• 式内の $\frac{x - T_{Q,P}(x)}{W_2(P, Q)}$ は、測地線上での「速度ベクトル」の方向成分に対応します。
• ユークリッド空間の空間深さが「点から分布への平均的な方向ベクトルのノルム」を測るのに対し、WSD は「分布から他の分布への最適輸送写像の平均的な方向ベクトル」を測ります。

計算の現実性

• 2 段階サンプリングモデル: 実際のデータでは、分布 $P_i$ 自体は観測されず、そのサンプル $X_{i,j}$ が観測されるケース（2 段階サンプリング）が一般的です。この場合、経験分布 $\hat{P}_{i,m}$ を用いて WSD を推定できます。
• 計算量: 最適輸送写像の計算コストは $O(m^2)$ ですが、一度計算すればワルシュタイン距離はほぼゼロコストで得られるため、WSD の推定量の計算量は $O(nm^2)$ となり、多項式時間で計算可能です。

3. 主要な理論的性質

提案された WSD は、従来の統計的深さが満たすべき望ましい性質を、ワルシュタイン空間の文脈で満たすことを証明しました。

1. 値の範囲: $[0, 1]$ の値をとる。
2. 変換不変性（Transformation Invariance）: ユークリッド空間の等長変換（isometry）や、ワルシュタイン空間特有の形状保存変換に対して不変である（$d \ge 2$ の場合）。
3. 測地線不変性（Geodesic Invariance）: 測地線に沿って分布を補間しても、深さの値は変化しない。
4. 無限遠での消失（Vanishing at Infinity）: 分布が中心から遠ざかるにつれ、深さは 0 に収束する。
5. 中心での最大化: 空間中央値（Geometric Median）において深さは最大値（1）に達する。
6. 連続性: 分布 $Q$ および $P$ に対して連続である。
7. ロバスト性:
   • 崩壊点（Breakdown Point）: 経験分布の深さ領域の崩壊点は $\alpha/2$ であり、従来の空間深さと同様のロバスト性を持つ。
   • 影響関数（Influence Function）: 有界であり、外れ値に対する感度が制御されている。

4. 推定量の性質と漸近理論

• 一貫性（Consistency）: サンプルサイズ $n$（分布の数）および $m$（各分布からのサンプル数）が増加するにつれ、経験 WSD は母集団の WSD に確率収束する。
• 漸近正規性: 適切な条件下で、推定量は漸近的に正規分布に従うことが示されました。これにより、信頼区間の構築や仮説検定が可能になります。

5. 数値シミュレーションと実データ応用

著者らは、合成データおよび実データを用いた広範なシミュレーションを行い、WSD の有効性を検証しました。

• 外れ値検出: ユークリッド空間の空間深さや、他のメトリック空間向けに提案された深さ（Lens Depth, Metric Spatial Depth など）と比較し、WSD が分布の「外れ値」をより明確に検出できることを示しました。特に、分布を線形空間に埋め込む手法では見逃される構造的外れ値を捉える能力に優れています。
• 2 標本検定: WSD に基づくノンパラメトリックな 2 標本検定（置換検定）を提案し、Type I エラーの制御と検出力の向上を確認しました。これは、複数のバッチ（例：異なる実験室からのデータ）を持つデータセットの比較に特に有効です。
• 実データ応用（気候変動）: 過去 150 年間のヨーロッパ 40 地点の月別気温データを分析しました。各年の気温分布を 1 つの分布とみなし、WSD を計算することで、歴史的に異常だった年（例：1879 年の極寒、2018 年の干ばつ・熱波）を統計的に「外れ値」として特定し、歴史的記録と一致することを示しました。

6. 論文の意義と貢献

この論文の主な貢献は以下の通りです。

1. 新しい深さ概念の確立: ユークリッド空間の直観を失わずに、非線形なワルシュタイン空間に統計的深さを拡張する最初の体系的なアプローチを提供しました。
2. 理論的基盤の整備: WSD が持つ数学的性質（不変性、連続性、ロバスト性、漸近性）を厳密に証明し、統計的推論の基礎を固めました。
3. 計算可能性の示唆: 最適輸送写像を用いることで、理論的に定義された深さを実際のデータで計算可能であることを示し、実用性を担保しました。
4. 既存手法との比較優位性: 分布を線形空間に埋め込む既存の手法（FDA 手法など）や、他のメトリック空間向け深さ手法と比較し、WSD が分布の幾何構造をより適切に捉え、より情報量の多い順序付けを提供することを実証しました。

結論として、WSD は分布値データ分析のための強力なツールであり、外れ値検出、クラスタリング、仮説検定など、多様な統計的タスクをワルシュタイン空間で実行可能にする基盤技術として位置づけられます。