What is your Prior Worth? Effective Sample Size and Sample Size Planning for Gaussian Graphical Models

Resumo Técnico: Valor da Priori? Tamanho de Amostra Efetivo e Planejamento de Tamanho de Amostra para Modelos Gráficos Gaussianos

Definição do Problema
Na análise Bayesiana de Modelos Gráficos Gaussianos (GGMs), pesquisadores frequentemente utilizam priores informativas derivadas de estudos anteriores para regularizar a estimação da matriz de precisão $\Theta$. As priores conjugadas padrão para GGMs são a distribuição Wishart (para grafos completos) e a distribuição G-Wishart (para grafos esparsos). Estas priores são governadas por hiperparâmetros: graus de liberdade ($\nu$) e uma matriz de escala ($\Psi$).

Existe uma lacuna crítica na literatura quanto à quantificação do "tamanho de amostra efetivo (ESS) da priori" para estas distribuições multivariadas e restritas. $\nu$ é frequentemente interpretado como o tamanho do estudo prévio, mas não reflete com precisão o conteúdo de informação real da priori em unidades de observações independentes. Isso ocorre porque as entradas da matriz de precisão são dependentes, e a informatividade da priori depende da estrutura completa de covariância codificada em $\Psi$ e na topologia do grafo $G$. Sem uma medida principiada de ESS da priori, os pesquisadores carecem de uma base para o planejamento do tamanho da amostra: eles não podem determinar quão grande um novo conjunto de dados deve ser para que os dados dominem a priori, nem podem projetar estudos de forma eficaz usando a Análise de Design de Fator de Bayes (BFDA) quando priores informativas estão envolvidas. Os métodos de ESS existentes são amplamente restritos a configurações univariadas ou multivariadas não restritas e não se estendem às distribuições Wishart ou G-Wishart.

Metodologia
Os autores formalizam um framework de ESS pré-dados para GGMs, operando exclusivamente antes da coleta de dados para garantir a aplicabilidade ao design do estudo. A metodologia envolve três componentes principais:

1. Adaptação de Estimadores de ESS: Cinco estimadores de ESS pré-dados, originalmente desenvolvidos para contextos univariados ou multivariados gerais (Neuenschwander et al., 2020), são adaptados para a matriz de precisão $\Theta$ sob priores Wishart e G-Wishart. Estes incluem:

   • Razão de Variância (VR)
   • Razão de Precisão (PR)
   • Morita-Thall-Müller (MTM)
   • Pennello-Thompson (PT)
   • Razão de Informação Local Esperada (ELIR)

   Os autores definem dois esquemas de agregação para estes estimadores:

   • ESS Global: Computado via razão do determinante das matrizes numerador e denominador (representando a informação esperada e a variância da priori, respectivamente), elevado à potência de $1/d$ (onde $d = p(p+1)/2$).
   • ESS por Parâmetro: Derivado via decomposição de Cholesky das matrizes numerador e denominador, fornecendo um valor de ESS para cada entrada única $\theta_{ij}$ da matriz de precisão.

   Para a prioria Wishart, expressões analíticas de forma fechada são derivadas. Para a prioria G-Wishart, onde as constantes de normalização são intratáveis para grafos não decomponíveis, os estimadores são computados via simulação de Monte Carlo.

2. Razão de Informação Dados-para-Priori (DPIR): Uma estratégia de planejamento inédita é introduzida para determinar o tamanho da amostra $n^\star$ necessário para que os dados dominem a priori. A DPIR é definida como a razão do determinante da informação de Fisher esperada dos dados para o determinante da informação de Fisher observada da priori. O tamanho de amostra ideal é o mínimo $n$ tal que a probabilidade de a informação dos dados exceder a informação da priori (por um fator $\xi \ge 1$) atinja um limiar alvo $\tau$ (padrão 0,99) sob a distribuição preditiva da priori.

3. Extensão da Análise de Design de Fator de Bayes (BFDA) para GGMs: Os autores estendem a BFDA para GGMs para determinar o tamanho da amostra necessário para obter evidência suficiente para inclusão ou exclusão de arestas. Isso envolve:

   • Formular hipóteses para independência condicional ($H_0: \rho_{ij} = 0$ vs. $H_1: \rho_{ij} \neq 0$).
   • Usar a razão de densidade de Savage-Dickey para grafos completos e estimativa de Monte Carlo de constantes de normalização para grafos esparsos.
   • Selecionar uma "aresta de planejamento" baseada no quantil $q$-ésimo das correlações parciais da priori para garantir que o tamanho da amostra seja suficiente para a aresta mais fraca detectável, aproveitando a monotonicidade do tamanho de amostra necessário em relação ao tamanho do efeito.

Principais Resultados
Dois estudos de simulação foram conduzidos para validar os métodos propostos:

• Estudo de Simulação 1 (Comportamento do ESS):

  • Os estimadores MTM, PT e ELIR mostraram depender apenas de $\nu$ e do número de variáveis $p$, tornando-se invariantes à matriz de escala $\Psi$ e à estrutura do grafo.
  • Os estimadores VR e PR mostraram-se sensíveis à estrutura completa de $\Psi$ e à topologia do grafo.
  • Uma "lacuna de Jensen" sistemática foi observada entre VR e PR. O estimador VR geralmente produz valores maiores que $\nu$ ($ESS_{VR} > \nu$), enquanto o estimador PR produz valores menores que $\nu$ ($ESS_{PR} < \nu$).
  • A lacuna entre VR e PR aumenta com o tamanho da rede ($p$) e diminui com o tamanho da amostra da priori ($\nu$).
  • Para a priori G-Wishart, a razão $ESS/\nu$ exibe comportamento não monotônico em relação à densidade da rede. O estimador $ESS_{VR}/\nu$ atinge o pico em densidades intermediárias, enquanto o $ESS_{PR}/\nu$ diminui monotonicamente conforme a densidade aumenta. Isso sugere que redes mais densas reduzem a informação efetiva da priori em relação a $\nu$ devido ao aumento das dependências paramétricas.

• Estudo de Simulação 2 (Planejamento de Tamanho de Amostra):

  • As estratégias DPIR e BFDA foram validadas através de várias estruturas de grafos (Erdős-Rényi, Barabási-Albert, Watts-Strogatz) e especificações de priori.
  • Os resultados confirmaram que as duas estratégias visam objetivos complementares: a DPIR garante a dominância dos dados sobre a priori, enquanto a BFDA garante poder suficiente para a detecção de arestas específicas.
  • Os tamanhos de amostra planejados ($n^\star$) mostraram-se sensíveis à especificação incorreta da priori, particularmente em relação à escolha da aresta de planejamento e à força do sinal da priori.
  • O estudo demonstrou que confiar apenas em $\nu$ para o planejamento do tamanho da amostra pode ser enganoso; o ESS real e o $n^\star$ resultante podem diferir significamente dependendo da densidade do grafo e da geometria específica da matriz de precisão da priori.

Significância e Contribuições
O artigo afirma preencher uma lacuna crítica na literatura de GGMs Bayesianos ao fornecer o primeiro framework para quantificar o ESS de uma priori e realizar o planejamento do tamanho da amostra para estes modelos. As contribuições específicas são:

1. Formalização do ESS Pré-Dados: Derivação de medidas de ESS global e por parâmetro para priores Wishart e G-Wishart, reconhecendo a estrutura de dependência inerente às matrizes de precisão.
2. Estratégias de Planejamento: Introdução do procedimento DPIR e extensão da BFDA para GGMs, oferecendo duas rotas complementares para determinar o tamanho da amostra que consideram a informatividade da priori.
3. Implementação de Software: Disponibilização de um pacote R de código aberto, designbgm, que implementa todos os estimadores e o pipeline completo DPIR–BFDA, tornando estes métodos acessíveis aos pesquisadores.

Os autores concluem que, sem estas ferramentas, pesquisadores que utilizam priores informativas para GGMs carecem de uma base rigorosa para determinar tamanhos de amostra, podendo levar a estudos onde a priori domina a posteriori ou onde a detecção de arestas é insuficiente em termos de poder estatístico. Os métodos propostos permitem que pesquisadores avaliem se o estudo planejado carrega informação suficiente para superar a priori e desenhem estudos que alcancem evidências conclusivas para arestas específicas de redes.