What is your Prior Worth? Effective Sample Size and Sample Size Planning for Gaussian Graphical Models

Resumen Técnico: ¿Valor de la Prioridad? Tamaño de Muestra Efectivo y Planificación del Tamaño de la Muestra para Modelos Gráficos Gaussianos

Planteamiento del Problema
En el análisis bayesiano de Modelos Gráficos Gaussianos (MGG), los investigadores suelen utilizar distribuciones a priori informativas derivadas de estudios previos para regularizar la estimación de la matriz de precisión $\Theta$. Las distribuciones a priori conjugadas estándar para los MGG son la distribución Wishart (para grafos completos) y la distribución G-Wishart (para grafos dispersos). Estas distribuciones están gobernadas por hiperparámetros: grados de libertad ($\nu$) y una matriz de escala ($\Psi$).

Existe una brecha crítica en la literatura con respecto a la cuantificación del "tamaño de muestra efectivo" (ESS, por sus siglas en inglés) de la prioridad para estas distribuciones multivariantes y restringidas. $\nu$ se interpreta a menudo como el tamaño del estudio previo, pero no refleja con exactitud el contenido de información real de la prioridad en unidades de observaciones independientes. Esto se debe a que las entradas de la matriz de precisión son dependientes, y la capacidad de información de la prioridad depende de la estructura de covarianza completa codificada en $\Psi$ y la topología del grafo $G$. Sin una medida de ESS de la prioridad basada en principios, los investigadores carecen de una base para la planificación del tamaño de la muestra: no pueden determinar qué tan grande debe ser un nuevo conjunto de datos para que los datos dominen a la prioridad, ni pueden diseñar estudios de manera efectiva mediante el Análisis de Diseño de Factor de Bayes (BFDA) cuando se utilizan prioris informativas. Los métodos de ESS existentes están limitados principalmente a entornos univariantes o multivariantes no restringidos y no se extienden a las distribuciones Wishart o G-Wishart.

Metodología
Los autores formalizan un marco de trabajo de ESS pre-datos para los MGG, operando exclusivamente antes de la recolección de datos para asegurar su aplicabilidad en el diseño de estudios. La metodología consta de tres componentes principales:

1. Adaptación de Estimadores de ESS: Cinco estimadores de ESS pre-datos, desarrollados originalmente para entornos univariantes o multivariantes generales (Neuenschwander et al., 2020), se adaptan a la matriz de precisión $\Theta$ bajo distribuciones a priori Wishart y G-Wishart. Estos incluyen:

   • Relación de Varianza (VR)
   • Relación de Precisión (PR)
   • Morita-Thall-Müller (MTM)
   • Pennello-Thompson (PT)
   • Relación de Información Local Esperada (ELIR)

   Los autores definen dos esquemas de agregación para estos estimadores:

   • ESS Global: Computado mediante la razón de los determinantes de las matrices numerador y denominador (que representan la información esperada y la varianza de la prioridad, respectivamente), elevado a la potencia $1/d$ (donde $d = p(p+1)/2$).
   • ESS por Parámetro: Derivado mediante la descomposición de Cholesky de las matrices numerador y denominador, proporcionando un valor de ESS para cada entrada única $\theta_{ij}$ de la matriz de precisión.

   Para la distribución a priori Wishart, se derivan expresiones analíticas de forma cerrada. Para la distribución G-Wishart, donde las constantes de normalización son intratables para grafos no decomponibles, los estimadores se computan mediante simulación de Monte Carlo.

2. Relación de Información de Datos-a-Prioridad (DPIR): Se introduce una novedosa estrategia de planificación para determinar el tamaño de muestra $n^\star$ requerido para que los datos dominen a la prioridad. La DPIR se define como la razón del determinante de la información de Fisher esperada de los datos respecto al determinante de la información de Fisher observada de la prioridad. El tamaño de muestra óptimo es el mínimo $n$ tal que la probabilidad de que la información de los datos exceda la información de la prioridad (por un factor $\xi \ge 1$) alcance un umbral objetivo $\tau$ (por defecto 0.99) bajo la distribución predictiva a priori.

3. Extensión del Análisis de Diseño de Factor de Bayes (BFDA) a los MGG: Los autores extienden el BFDA a los MGG para determinar el tamaño de muestra necesario para lograr evidencia suficiente para la inclusión o exclusión de aristas. Esto implica:

   • Formular hipótesis para la independencia condicional ($H_0: \rho_{ij} = 0$ vs. $H_1: \rho_{ij} \neq 0$).
   • Utilizar la razón de densidad de Savage-Dickey para grafos completos y la estimación de Monte Carlo de las constantes de normalización para grafos dispersos.
   • Seleccionar una "arista de planificación" basada en el cuantil $q$-ésimo de las correlaciones parciales a priori para asegurar que el tamaño de muestra sea suficiente para la arista más débil detectable, aprovechando la monotonicidad del tamaño de muestra requerido con respecto al tamaño del efecto.

Resultados Clave
Se realizaron dos estudios de simulación para validar los métodos propuestos:

• Estudio de Simulación 1 (Comportamiento del ESS):

  • Se encontró que los estimadores MTM, PT y ELIR dependen únicamente de $\nu$ y del número de variables $p$, lo que los hace invariantes a la matriz de escala $\Psi$ y a la estructura del grafo.
  • Se encontró que los estimadores VR y PR son sensibles a la estructura completa de $\Psi$ y a la topología del grafo.
  • Se observó un "gap de Jensen" sistemático entre VR y PR. El estimador VR generalmente arroja valores mayores que $\nu$ ($ESS_{VR} > \nu$), mientras que el estimador PR arroja valores menores que $\nu$ ($ESS_{PR} < \nu$).
  • El gap entre VR y PR aumenta con el tamaño de la red ($p$) y disminuye con el tamaño del estudio previo ($\nu$).
  • Para la distribución G-Wishart, la razón $ESS/\nu$ exhibe un comportamiento no monotónico con respecto a la densidad de la red. El $ESS_{VR}/\nu$ alcanza su máximo en densidades intermedias, mientras que el $ESS_{PR}/\nu$ disminuye monótonamente a medida que la densidad aumenta. Esto sugiere que las redes más densas reducen la información efectiva de la prioridad respecto a $\nu$ debido al aumento de las dependencias entre parámetros.

• Estudio de Simulación 2 (Planificación del Tamaño de la Muestra):

  • Las estrategias DPIR y BFDA fueron validadas a través de diversas estructuras de grafos (Erdős-Rényi, Barabási-Albert, Watts-Strogatz) y especificaciones de la prioridad.
  • Los resultados confirmaron que las dos estrategias apuntan a objetivos complementarios: la DPIR asegura la dominancia de los datos sobre la prioridad, mientras que el BFDA asegura el poder suficiente para la detección de aristas específicas.
  • Se demostró que los tamaños de muestra planificados ($n^\star$) son sensibles a la especificación errónea de la prioridad, particularmente respecto a la elección de la arista de planificación y la fuerza de la señal de la prioridad.
  • El estudio demostró que confiar únicamente en $\nu$ para la planificación del tamaño de la muestra puede ser engañoso; el ESS real y el $n^\star$ resultante pueden diferir significamente dependiendo de la densidad del grafo y la geometría específica de la matriz de precisión de la prioridad.

Significancia y Contribuciones
El artículo afirma llenar una brecha crítica en la literatura de los MGG al proporcionar el primer marco conceptual para cuantificar el ESS de la prioridad y realizar la planificación del tamaño de la muestra para estos modelos. Las contribuciones específicas son:

1. Formalización del ESS Pre-Datos: Derivación de medidas de ESS global y por parámetro para las distribuciones Wishart y G-Wishart, reconociendo la estructura de dependencia inherente a las matrices de precisión.
2. Estrategias de Planificación: Introducción del procedimiento DPIR y la extensión del BFDA a los MGG, ofreciendo dos rutas complementarias para determinar el tamaño de la muestra que tienen en cuenta la informatividad de la prioridad.
3. Implementación de Software: Provisión de un paquete de R de código abierto, designbgm, que implementa todos los estimadores y el flujo completo de DPIR–BFDA, haciendo que estos métodos sean accesibles para los investigadores.

Los autores concluyen que, sin estas herramientas, los investigadores que elicitan prioris informativas para los MGG carecen de una base rigurosa para determinar los tamaños de muestra, lo que puede conducir a estudios donde la prioridad domina a la posterior o donde la detección de aristas carece de potencia estadística. Los métodos propuestos permiten a los investigadores evaluar si su estudio planeado posee suficiente información para superar a la prioridad y diseñar estudios que logren evidencia concluyente para aristas de red específicas.